2018年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題13 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案 文

專(zhuān)題13 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 【2018年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)直線(xiàn)、曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程； (2)直線(xiàn)、曲線(xiàn)的參數(shù)方程； (3)參數(shù)方程與普通方程的互化； (4)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 ，本內(nèi)容的考查要求為B級(jí). 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線(xiàn)的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 (1)直線(xiàn)過(guò)極點(diǎn)：θ＝α； (2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(a,0)(a>0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線(xiàn)過(guò)M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. (4)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．圓心在點(diǎn)A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直線(xiàn)的參數(shù)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線(xiàn)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設(shè)P是直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，則t表示有向線(xiàn)段的數(shù)量． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 6．圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)雙曲線(xiàn)－＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 【題型示例】 題型一　極坐標(biāo) 【例1】【2017課標(biāo)3，文22】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C． （1）寫(xiě)出C的普通方程； （2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)?=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑. 【答案】（1）；（2） 【變式探究】【2016年高考北京文數(shù)】在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，則______. 【答案】2 【解析】直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，因此 【變式探究】在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線(xiàn)方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析　由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0. ∴(x－1)2＋y2＝1， 圓的兩條垂直于x軸的切線(xiàn)方程為x＝0和x＝2. 故極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故選B. 答案　B 【變式探究】(2015·廣東，14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析　∵曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝－2.曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則其直角坐標(biāo)方程為y2＝8x，聯(lián)立解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)． 答案　(2，－4) 【舉一反三】(2015·安徽，12)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝8sin θ上的點(diǎn)到直線(xiàn)θ＝(ρ∈R)距離的最大值是________． 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圓心(0，4)到直線(xiàn)y＝x的距離為2，圓ρ＝8sin θ上的點(diǎn)到直線(xiàn)θ＝的最大距離為4＋2＝6. 答案　6 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，23)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)C1：x＝－2，圓C2：(x－1) 2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程． (2)若直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 【舉一反三】(2015·江蘇。21(C))已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為. 題型二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例3】【2017課標(biāo)1，文22】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 ． （1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求． 【答案】（1），；（2）或． 當(dāng)時(shí)， 的最大值為.由題設(shè)得，所以； 當(dāng)時(shí)， 的最大值為.由題設(shè)得，所以. 綜上， 或. 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xy中,曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C2：ρ=. （I）說(shuō)明C1是哪一種曲線(xiàn),并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； （II）直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿(mǎn)足tan=2,若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 【變式探究】 (2015·重慶，15)已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos 2θ＝4，則直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析　直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線(xiàn)方程解得x＝－2，因此交點(diǎn)為(－2，0)，其極坐標(biāo)為(2，π)． 答案　(2，π) 【變式探究】(2014·福建)已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． (1)求直線(xiàn)l和圓C的普通方程； (2)若直線(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【命題意圖】本小題主要考查直線(xiàn)與圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想． 【解題思路】(1)消去參數(shù)，即可求出直線(xiàn)l與圓C的普通方程． (2)求出圓心的坐標(biāo)，利用圓心到直線(xiàn)l的距離不大于半徑，得到關(guān)于參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a的取值范圍． 【感悟提升】 1．將參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程，常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． 2．在與直線(xiàn)、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線(xiàn)的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． 【變式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線(xiàn)l的方程為ρsin＝m(m∈R)． ①求圓C的普通方程及直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程； ②設(shè)圓心C到直線(xiàn)l的距離等于2，求m的值． 【舉一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直線(xiàn)l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價(jià)于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 9