2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-1-2導(dǎo)數(shù)的幾何意義同步練習(xí) 新人教A版選修1-1

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-1-2導(dǎo)數(shù)的幾何意義同步練習(xí) 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1.曲線y=x3-3x在點(diǎn)(2,2)的切線斜率是(  ) A.9          B.6 C.-3 D.-1 [答案] A [解析] Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6Δx2+Δx3, =9+6Δx+Δx2, = (9+6Δx+Δx2)=9, 由導(dǎo)數(shù)的幾何意可知,曲線y=x3-3x在點(diǎn)(2,2)的切線斜率是9. 2.曲線y=x3-2在點(diǎn)(-1,-)處切線的傾斜角為(  ) A.30° B.45° C.135° D.

2、60° [答案] B [解析] Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3=Δx-Δx2+Δx3,=1-Δx+Δx2, = (1-Δx+Δx2)=1, ∴曲線y=x3-2在點(diǎn)處切線的斜率是1,傾斜角為45°. 3.函數(shù)y=-在點(diǎn)(,-2)處的切線方程是(  ) A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4(x+1) D.y=2x+4 [答案] B [解析] Δy=,=, =4, ∴切線的斜率為4.∴切線方程為y=4-2=4x-4. 4.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0,那么(  ) A.f′(x0)>0

3、 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 [答案] B [解析] 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f′(x0)=-<0,故選B. 5.下列說法正確的是(  ) A.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處就沒有切線 B.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有切線,則f′(x0)必存在 C.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在 D.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在,則曲線在該點(diǎn)處就沒有切線 [答案] C [解析] 由于對導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的概念及導(dǎo)數(shù)

4、的幾何意義理解不透徹,不能認(rèn)真分析題中所給選項,事實上A、B是一樣的.它們互為逆否命題,討論的是“f′(x0)存在與否”與切線存在與否的關(guān)系,而在導(dǎo)數(shù)的幾何意義中討論的是“切線的斜率”與“f′(x0)”,得C是正確的,而A、B、D都是不正確的,可一一舉例說明. 6.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)且滿足 =-1,則過曲線y=f(x)上點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為(  ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 [答案] B [解析]  = = =f′(1)=-1. 7.在曲線y=x2上的點(diǎn)________處的傾斜角為(  ) A.(0,0)

5、 B.(2,4) C.(,) D.(,) [答案] D [解析] 傾斜角的正切值即為斜率,設(shè)點(diǎn)(x0,y0) 則k=y(tǒng)′|x=x0= = = (2x0+Δx)=2x0=1, ∴x0=,y0=x=,∴點(diǎn)坐標(biāo)(,). 8.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-sinx,則函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的傾斜角為 (  ) A.90° B.0° C.銳角 D.鈍角 [答案] C [解析] 函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線斜率為f′(4)=-sin4>0,所以函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的傾斜角為銳角. 9.曲線y=x

6、3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x-1,則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(  ) A.(0,1) B.(-1,-5) C.(1,0)或(-1,-4) D.(0,1)或(4,1) [答案] C [解析] k= = =[3x+3x0Δx+(Δx)2+1] =3x+1=4, ∴3x=3,即x0=±1, ∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4). 10.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a等于(  ) A.1 B. C.- D.-1 [答案] A [解析] ∵y′|x=1= = = (2a

7、+aΔx)=2a, ∴2a=2,∴a=1. 二、填空題 11.已知函數(shù)f(x)=x3+2,則f′(2)=________. [答案] 12 [解析] f′(2)= = =[4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4] =[12+6Δx+(Δx)2]=12. 12.曲線y=x2-3x的一條切線的斜率為1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為________. [答案] (2,4) [解析] 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0), y′|x=x0= = =2x0-3=1=k, 故x0=2,y0=x=4,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4). 13.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸,x=2所圍成的三角形的面

8、積為________. [答案]  [解析] y′= =3x2,所以k=y(tǒng)′|x=1=3×1=3,所以在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=3x-2,它與x軸的交點(diǎn)為,與x=2的交點(diǎn)為(2,4),所以S=××4=. 14.曲線y=x3+x+1在點(diǎn)(1,3)處的切線是________. [答案] 4x-y-1=0 [解析] 因為y′ = =3x2+1, 所以k=y(tǒng)′|x=1=3+1=4,所以切線的方程為y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. 三、解答題 15.求曲線y=x2+3x+1在點(diǎn)(1,5)處的切線的方程. [分析] →→ [解析] y′|x=1 = = =

9、(5+Δx)=5, 即切線的斜率k=5, ∴曲線在點(diǎn)(1,5)處的切線方程為y-5=5(x-1) 即5x-y=0. 16.直線l:y=x+a(a≠0)和曲線C:y=x3-x2+1相切. (1)求a的值; (2)求切點(diǎn)的坐標(biāo). [解析] 設(shè)直線l與曲線C相切于P(x0,y0)點(diǎn). f′(x)= = =3x2-2x. 由題意知,k=1,即3x-2x0=1,解得x0=-或x0=1. 于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(1,1). 當(dāng)切點(diǎn)為時,=-+a,a=; 當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時,1=1+a,a=0(舍去). ∴a的值為,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-,). [點(diǎn)評] 利用曲線在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于

10、在這一點(diǎn)的切線的斜率,確定出切點(diǎn). 17.求過點(diǎn)(2,0)且與曲線y=相切的直線方程. [解析] 易知(2,0)不在曲線y=上,令切點(diǎn)為(x0,y0),則有y0=. 又y′= = =-, 所以y′|x=x0=-, 即切線方程為y=-(x-2)① 而=-② 由①②可得x0=1, 故切線方程為y+x-2=0. 18.曲線y=x2-3x上的點(diǎn)P處的切線平行于x軸,求點(diǎn)P的坐標(biāo). [解析] 設(shè)P(x0,y0), Δy=(x+Δx)2-3(x+Δx)-(x2-3x) =2x·Δx+(Δx)2-3Δx, ==2x+Δx-3. = (2x+Δx-3)=2x-3, ∴y′|x=x0=2x0-3,令2x0-3=0得x0=, 代入曲線方程得y0=-, ∴P.

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