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1、2022年高二數(shù)學(xué) 1、3-1-2導(dǎo)數(shù)的幾何意義同步練習(xí) 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1.曲線y=x3-3x在點(diǎn)(2,2)的切線斜率是( )
A.9 B.6
C.-3 D.-1
[答案] A
[解析] Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6Δx2+Δx3,
=9+6Δx+Δx2,
= (9+6Δx+Δx2)=9,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意可知,曲線y=x3-3x在點(diǎn)(2,2)的切線斜率是9.
2.曲線y=x3-2在點(diǎn)(-1,-)處切線的傾斜角為( )
A.30° B.45°
C.135° D.
2、60°
[答案] B
[解析] Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3=Δx-Δx2+Δx3,=1-Δx+Δx2,
= (1-Δx+Δx2)=1,
∴曲線y=x3-2在點(diǎn)處切線的斜率是1,傾斜角為45°.
3.函數(shù)y=-在點(diǎn)(,-2)處的切線方程是( )
A.y=4x B.y=4x-4
C.y=4(x+1) D.y=2x+4
[答案] B
[解析] Δy=,=, =4,
∴切線的斜率為4.∴切線方程為y=4-2=4x-4.
4.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0,那么( )
A.f′(x0)>0
3、 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f′(x0)=-<0,故選B.
5.下列說法正確的是( )
A.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處就沒有切線
B.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有切線,則f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在
D.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在,則曲線在該點(diǎn)處就沒有切線
[答案] C
[解析] 由于對(duì)導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的概念及導(dǎo)數(shù)
4、的幾何意義理解不透徹,不能認(rèn)真分析題中所給選項(xiàng),事實(shí)上A、B是一樣的.它們互為逆否命題,討論的是“f′(x0)存在與否”與切線存在與否的關(guān)系,而在導(dǎo)數(shù)的幾何意義中討論的是“切線的斜率”與“f′(x0)”,得C是正確的,而A、B、D都是不正確的,可一一舉例說明.
6.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)且滿足 =-1,則過曲線y=f(x)上點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為( )
A.2 B.-1
C.1 D.-2
[答案] B
[解析]
=
=
=f′(1)=-1.
7.在曲線y=x2上的點(diǎn)________處的傾斜角為( )
A.(0,0)
5、 B.(2,4)
C.(,) D.(,)
[答案] D
[解析] 傾斜角的正切值即為斜率,設(shè)點(diǎn)(x0,y0)
則k=y(tǒng)′|x=x0=
=
= (2x0+Δx)=2x0=1,
∴x0=,y0=x=,∴點(diǎn)坐標(biāo)(,).
8.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-sinx,則函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的傾斜角為
( )
A.90° B.0°
C.銳角 D.鈍角
[答案] C
[解析] 函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線斜率為f′(4)=-sin4>0,所以函數(shù)圖像在點(diǎn)(4,f(4))處的切線的傾斜角為銳角.
9.曲線y=x
6、3+x-2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x-1,則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是( )
A.(0,1) B.(-1,-5)
C.(1,0)或(-1,-4) D.(0,1)或(4,1)
[答案] C
[解析] k=
=
=[3x+3x0Δx+(Δx)2+1]
=3x+1=4,
∴3x=3,即x0=±1,
∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4).
10.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a等于( )
A.1 B.
C.- D.-1
[答案] A
[解析] ∵y′|x=1=
=
= (2a
7、+aΔx)=2a,
∴2a=2,∴a=1.
二、填空題
11.已知函數(shù)f(x)=x3+2,則f′(2)=________.
[答案] 12
[解析] f′(2)=
=
=[4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4]
=[12+6Δx+(Δx)2]=12.
12.曲線y=x2-3x的一條切線的斜率為1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為________.
[答案] (2,4)
[解析] 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
y′|x=x0=
= =2x0-3=1=k,
故x0=2,y0=x=4,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).
13.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸,x=2所圍成的三角形的面
8、積為________.
[答案]
[解析] y′= =3x2,所以k=y(tǒng)′|x=1=3×1=3,所以在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=3x-2,它與x軸的交點(diǎn)為,與x=2的交點(diǎn)為(2,4),所以S=××4=.
14.曲線y=x3+x+1在點(diǎn)(1,3)處的切線是________.
[答案] 4x-y-1=0
[解析] 因?yàn)閥′
= =3x2+1,
所以k=y(tǒng)′|x=1=3+1=4,所以切線的方程為y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
三、解答題
15.求曲線y=x2+3x+1在點(diǎn)(1,5)處的切線的方程.
[分析] →→
[解析] y′|x=1
=
=
=
9、(5+Δx)=5,
即切線的斜率k=5,
∴曲線在點(diǎn)(1,5)處的切線方程為y-5=5(x-1)
即5x-y=0.
16.直線l:y=x+a(a≠0)和曲線C:y=x3-x2+1相切.
(1)求a的值;
(2)求切點(diǎn)的坐標(biāo).
[解析] 設(shè)直線l與曲線C相切于P(x0,y0)點(diǎn).
f′(x)=
=
=3x2-2x.
由題意知,k=1,即3x-2x0=1,解得x0=-或x0=1.
于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(1,1).
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí),=-+a,a=;
當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí),1=1+a,a=0(舍去).
∴a的值為,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).
[點(diǎn)評(píng)] 利用曲線在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于
10、在這一點(diǎn)的切線的斜率,確定出切點(diǎn).
17.求過點(diǎn)(2,0)且與曲線y=相切的直線方程.
[解析] 易知(2,0)不在曲線y=上,令切點(diǎn)為(x0,y0),則有y0=.
又y′= = =-,
所以y′|x=x0=-,
即切線方程為y=-(x-2)①
而=-②
由①②可得x0=1,
故切線方程為y+x-2=0.
18.曲線y=x2-3x上的點(diǎn)P處的切線平行于x軸,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
[解析] 設(shè)P(x0,y0),
Δy=(x+Δx)2-3(x+Δx)-(x2-3x)
=2x·Δx+(Δx)2-3Δx,
==2x+Δx-3.
= (2x+Δx-3)=2x-3,
∴y′|x=x0=2x0-3,令2x0-3=0得x0=,
代入曲線方程得y0=-,
∴P.