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1、高考數(shù)學一輪總復習 必考解答題 模板成形練 實際應用題 理 蘇教版
(建議用時：60分鐘)
1．在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？
解 (1)設箱底邊長為x，則箱高為h＝×(0＜x＜a)，
箱子的容積為V(x)＝x2×sin 60°×h＝ax2－x3(0＜x＜a)．
由V′(x)＝ax－x2＝0解得x1＝0(舍)，x2＝a，
且當x∈時，V′(x)＞0；
當x∈時，V′(x)＜0，
所以函數(shù)V(x)在x＝a處取得極大值．
這個極大值就
2、是函數(shù)V(x)的最大值：V＝a×2－×3＝a3.
所以當箱子底邊長為a時，箱子容積最大，最大值為a3.
2．如圖，某小區(qū)有一邊長為2(單位：百米)的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳地，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路l(寬度不計)，切點為M，并把該地塊分為兩部分，現(xiàn)以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數(shù)y＝－x2＋2(0≤x≤)的圖象，且點M到邊OA距離為t.
(1)當t＝時，求直路l所在的直線方程；
(2)當t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？
解 (1)M，l：12x＋9y
3、－22＝0
(2)M(t，－t2＋2)，過切點M的切線l：y－(－t2＋2)＝－2t(x－t)
即y＝－2tx＋t2＋2，令y＝2得x＝，故切線l與AB交于點；
令y＝0，得x＝＋，又x＝＋在遞減，所以x＝＋∈故切線l與OC交于點.
∴地塊OABC在切線l右上部分區(qū)域為直角梯形，
面積S＝·2＝4－t－＝4－≤2，t＝1時取到等號，Smax＝2.
3．濟南市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調研．據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k＞0)．現(xiàn)已知相距36 km的A，B兩家化工廠(污染源)
4、的污染強度分別為正數(shù)a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設AC＝x(km)．
(1)試將y表示為x的函數(shù)；
(2)若a＝1時，y在x＝6處取得最小值，試求b的值．
解 (1)設點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k＞0.
從而點C處污染指數(shù)y＝＋(0＜x＜36)．
(2)因為a＝1，所以，y＝＋，
y′＝k，令y′＝0，得x＝，
當x∈時，函數(shù)單調遞減；
當x∈時，函數(shù)單調遞增；
∴當x＝時，函數(shù)取得最小值．
又此時x＝6，解得b＝25，經(jīng)驗證符合題意．
所以，污染源B的污染強度b的值為25.
5、4．某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100米．
(1)現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖(1)，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面積S△DEF的最大值；
(2)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖(2)，建造△DEF連廊(不考慮寬度)供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．
解 (1)Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100米．
∴cos B＝＝，可得B＝60°
∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B＝60°
設
6、＝λ(0＜λ＜1)，則CE＝λCB＝100λ米，
Rt△CEF中，EF＝2CE＝200λ米，
C到FE的距離d＝CE＝50λ米，
∵C到AB的距離為BC＝50米，
∴點D到EF的距離為
h＝50－50λ＝50(1－λ)米
可得S△DEF＝EF·h＝5 000λ(1－λ)米2
∵λ(1－λ)≤[λ＋(1－λ)]2＝，當且僅當λ＝時等號成立，
∴當λ＝時，即E為AB中點時，S△DEF的最大值為
1 250米2
(2)設正△DEF的邊長為a，∠CEF＝α，
則CF＝a·sin α，AF＝－a·sin α.
設∠EDB＝∠1，可得
∠1＝180°－∠B－∠DEB＝120°－∠DEB，α＝180°－60°－∠DEB＝120°－∠DEB
∴∠ADF＝180°－60°－∠1＝120°－α
在△ADF中，＝
即＝，
化簡得a[2sin(120°－α)＋sin α]＝
∴a＝＝≥＝(其中φ是滿足tan φ＝的銳角)．
∴△DEF邊長最小值為米．
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