2022高考物理一輪復(fù)習(xí) 微專題系列之熱點(diǎn)專題突破 專題50 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題學(xué)案

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1、2022高考物理一輪復(fù)習(xí) 微專題系列之熱點(diǎn)專題突破 專題50 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題學(xué)案 由于帶電粒子往往是在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中只運(yùn)動(dòng)一段圓弧就飛出磁場(chǎng)邊界，其軌跡不是完整的圓，因此，此類問題往往要根據(jù)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡作相關(guān)圖去尋找?guī)缀侮P(guān)系，分析臨界條件，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和相應(yīng)物理規(guī)律分析求解． 1．臨界條件的挖掘 (1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。 (2)當(dāng)速率v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓心角越大(前提條件是劣弧)，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。 (3)當(dāng)速率v變化時(shí)，軌跡圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。 (4)

2、當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于圓形磁場(chǎng)半徑時(shí)，則以磁場(chǎng)直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大。 2．不同邊界磁場(chǎng)中臨界條件的分析 (1)平行邊界：常見的臨界情景和幾何關(guān)系如圖所示。 (2)矩形邊界：如圖所示，可能會(huì)涉及與邊界相切、相交等臨界問題。 (3)三角形邊界：如圖所示是正△ABC區(qū)域內(nèi)某正粒子垂直AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子臨界軌跡示意圖。粒子能從AB間射出的臨界軌跡如圖甲所示，粒子能從AC間射出的臨界軌跡如圖乙所示。 3. 審題技巧 許多臨界問題，題干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脫離”等詞語對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示．審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語

3、挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件． 【典例1】如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場(chǎng)力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，下列說法中正確的是(　　) A．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從cd邊射出磁場(chǎng) B．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ad邊射出磁場(chǎng) C．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從bc邊射出磁場(chǎng) D．若該帶電粒子在磁場(chǎng)

4、中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出磁場(chǎng) 【答案】　AC 【解析】　如圖所示， 【典例2】放置在坐標(biāo)原點(diǎn)O的粒子源，可以向第二象限內(nèi)放射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，帶電粒子的速率均為v，方向均在紙面內(nèi)，如圖8－2－14所示．若在某區(qū)域內(nèi)存在垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(垂直紙面向外)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，則這些粒子都能在穿過磁場(chǎng)區(qū)后垂直射到垂直于x軸放置的擋板PQ上，求： (1)擋板PQ的最小長(zhǎng)度； (2)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積． 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得qvB＝，即R＝ 【跟蹤短訓(xùn)】

5、1. 在xOy平面上以O(shè)為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從原點(diǎn)O以初速度v沿y軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t后經(jīng)過x軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度與x軸正方向成θ角，如圖8－2－24所示．不計(jì)重力的影響，則下列關(guān)系一定成立的是(　　)． A．若r<，則0°<θ<90° B．若r≥，則t≥ C．若t＝，則r＝ D．若r＝，則t＝ 【答案】　AD 【解析】　帶電粒子在磁場(chǎng)中從O點(diǎn)沿y軸正方向開始運(yùn)動(dòng)，圓心一定在垂直于速度的方向上，即在x軸上，軌道半徑R＝.

6、當(dāng)r≥時(shí)，P點(diǎn)在磁場(chǎng)內(nèi)，粒子不能射出磁場(chǎng)區(qū)，所以垂直于x軸過P點(diǎn)，θ最大且為90°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期，即t＝；當(dāng)r<時(shí)，粒子在到達(dá)P點(diǎn)之前射出圓形磁場(chǎng)區(qū)，速度偏轉(zhuǎn)角φ在大于0°、小于180°范圍內(nèi)，如圖所示， 能過x軸的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角φ>90°，所以過x軸時(shí)0°<θ<90°，A對(duì)、B錯(cuò)；同理，若t＝，則r≥，若r＝，則t等于，C錯(cuò)、D對(duì)． 2. 如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.15 T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑為R＝0.10 m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右端跟很大的熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)。置于原點(diǎn)的粒子源可沿x軸正方向以不同的速度射出帶

7、正電的粒子流，粒子的重力不計(jì)，比荷＝1.0×108 C/kg。 (1)請(qǐng)判斷當(dāng)粒子分別以v1＝1.5×106 m/s和v2＝0.5×106 m/s的速度射入磁場(chǎng)時(shí)，能否打到熒光屏上； (2)要使粒子能打在熒光屏上，求粒子的速度v0的大小應(yīng)滿足的條件； (3)若粒子的速度v0＝3.0×106 m/s，且以過O點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場(chǎng)逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離。 【答案】　(1)速度為v1時(shí)，能　速度為v2時(shí)，不能 (2)v0>1.5×106 m/s　(3)0.15 m 【解析】　 (1)粒子以不同速度射入磁場(chǎng)的軌跡如圖甲所示，

8、 同理，當(dāng)粒子的速度為v2時(shí)， 解得r2＝R1.5×106 m/s時(shí)，粒子能打到熒光屏上。 課后作業(yè) 1. 如圖所示，圓形區(qū)域半徑為R，區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，P為磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)。大量質(zhì)量為m、電荷量大小為q的帶負(fù)電粒子，以相同的速率從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，速度方向

9、沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向。粒子的軌道半徑為2R，A、C為圓形區(qū)域水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，粒子重力不計(jì)，空氣阻力不計(jì)，則(　　) A．粒子射入磁場(chǎng)的速率為v＝ B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t＝ C．不可能有粒子從C點(diǎn)射出磁場(chǎng) D．若粒子的速率可以變化，則可能有粒子從A點(diǎn)水平射出 【答案】ABD　 2. 如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.60 T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l＝16 cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s。 已知α粒子

10、的電荷量與質(zhì)量之比＝5.0×107 C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。 【答案】 20 cm 【解析】α粒子從S點(diǎn)垂直磁場(chǎng)以一定大小的速度朝各個(gè)方向射入，在磁場(chǎng)中均沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可求出它們的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R，由qvB＝m，得R＝，代入數(shù)值得R＝10 cm，可見2R>l>R. 由于朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，可先考查速度沿負(fù)y方向的α粒子，其軌跡圓心在x軸上的A1點(diǎn)，將α粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心A1點(diǎn)開始，沿著“軌跡圓心圓”逆時(shí)針方向移動(dòng)，如圖所示。 由圖可知，當(dāng)軌跡圓的圓心移至A3 點(diǎn)時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ab相交處P2 到

11、S 的距離為2R，P2 即為粒子打中ab上區(qū)域的右邊最遠(yuǎn)點(diǎn)，由題中幾何關(guān)系得：NP2 ＝ . 當(dāng)α粒子的軌跡的圓心由A3點(diǎn)移至A4點(diǎn)的過程中，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡均會(huì)與ab相交，當(dāng)移動(dòng)A4點(diǎn)后將不再與ab相交了，這說明圓心位于A4點(diǎn)的軌跡圓，與ab相切的P1點(diǎn)為粒子打中區(qū)域的左邊最遠(yuǎn)點(diǎn)。可過A4點(diǎn)作平行于ab的直線cd，再過A4作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1，同樣由幾何關(guān)系可知： NP1＝ 則所求長(zhǎng)度為P1P2＝NP1＋NP2，代入數(shù)值得P1P2＝20 cm. 3. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m＝5.0×10－8 kg、電量為q＝＋1.0

12、×10－6 C的帶電粒子，從靜止開始經(jīng)U0＝10 V的電壓加速后，從P點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知OP＝30 cm(粒子重力不計(jì)，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： (1)粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度v的大??； (2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2.0 T，粒子從x軸上的Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求OQ的距離； (3)若粒子不能進(jìn)入x軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′滿足的條件。 【答案】：(1)20 m/s　(2)0.90 m (3)B′>5.33 T(取“≥”也可) 而＝R＝0.50 m 由幾何關(guān)系知，粒子的軌跡圓心一定在x軸上，粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度方向垂直于x軸，軌跡如圖甲所示。 由幾何

13、關(guān)系可知： OQ＝R＋Rcos 37° 故OQ＝0.90 m。 (3)若粒子恰好不從x軸射出，如圖乙所示， 由幾何關(guān)系得： OP>R′＋R′sin 37° R′＝ 聯(lián)立以上兩式并代入數(shù)據(jù)得： B′> T≈5.33 T(取“≥”也可)。 4. 如圖，圖中坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)處有一帶電粒子源，沿xOy平面向y≥0、x≥0的區(qū)域內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射粒子。粒子的速率均為v、質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q。有人設(shè)計(jì)了方向垂直于xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該區(qū)域的邊界射出時(shí)均能沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，不考慮粒子間相互作用，不計(jì)粒子重力。求： (1)粒子與x軸相交的坐標(biāo)范圍； (2)粒子與y軸相交的坐標(biāo)范圍； (3)該勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。