6、_.
解析:由cos(α+β)=,
得cos αcos β-sin αsin β=,
即cos αcos β=sin α,
由α,β均為銳角得cos α≠0,tan β>0,
所以tan α=====≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)2tan β=,即tan β=時(shí),等號(hào)成立.
答案:
12.(2018·山西八校聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且3(x-a)+2(y+1)的最大值為5,則a=________.
解析:設(shè)z=3(x-a)+2(y+1),作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
由z=3(x-a)+2(y+1),
得y=-x+,作出直線y=-x,平移該直線,易知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A
7、時(shí),z取得最大值,
由得即A(1,3).
又目標(biāo)函數(shù)的最大值為5,所以3(1-a)+2(3+1)=5,解得a=2.
答案:2
13.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足-y2=1,則3x2-2xy的最小值是________.
解析:法一:因?yàn)椋瓂2=1,
所以3x2-2xy==,
令k=∈,
則3x2-2xy==,
再令t=3-2k∈(2,4),則k=,
故3x2-2xy==≥=6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立.
法二:因?yàn)椋瓂2=1=,所以令+y=t,則-y=,從而則3x2-2xy=6+2t2+≥6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí)等號(hào)成立.
答案:6+4
14.已知函數(shù)f(x)=設(shè)a∈R,若關(guān)于
8、x的不等式f(x)≥在R上恒成立,則a的取值范圍是________.
解析:根據(jù)題意,作出f(x)的大致圖象,如圖所示.
當(dāng)x≤1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故對(duì)于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;當(dāng)x>1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,所以a≤2.綜上,a的取值范圍是.
答案:
B組——力爭(zhēng)難度小題
1.已知函數(shù)f(x)=ax2+x,若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),-1≤f(x)≤1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:
9、當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,不等式成立;
當(dāng)x∈(0,1]時(shí),不等式-1≤f(x)≤1,即
其中∈[1,+∞),
從而
解得-2≤a≤0.
答案:[-2,0]
2.(2018·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))已知a,b,c均為正數(shù),且abc=4(a+b),則a+b+c的最小值為_(kāi)_______.
解析:由a,b,c均為正數(shù),abc=4(a+b),得c=+,代入得a+b+c=a+b++=+≥2 +2 =8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),等號(hào)成立,所以a+b+c的最小值為8.
答案:8
3.(2018·洛陽(yáng)尖子生統(tǒng)考)已知x,y滿足約束條件則的取值范圍是________.
解
10、析:畫(huà)出不等式組表示的可行域,如圖中陰影部分所示,=1+2×,表示可行域中的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)P(-1,-1)連線的斜率.由圖可知,當(dāng)x=0,y=3時(shí),取得最大值,且max=9.因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,-1)在直線y=x上,所以當(dāng)點(diǎn)(x,y)在線段AO上時(shí),取得最小值,且min=3.所以的取值范圍是[3,9].
答案:[3,9]
4.已知函數(shù)f(x)=若存在唯一的整數(shù)x,使得>0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,
易知,點(diǎn)A(1,3),B(-1,2),C(2,0),D(-2,8).
當(dāng)a<0時(shí),則點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)C,點(diǎn)A連線的斜率都大于0,故
11、不符合題意;
當(dāng)0≤a≤2時(shí),則僅有點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)A連線的斜率大于0,故符合題意;
當(dāng)28時(shí),則點(diǎn)M(0,a)與點(diǎn)B,點(diǎn)D連線的斜率都大于0,故不符合題意.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2]∪[3,8].
答案:[0,2]∪[3,8]
5.(2018·鎮(zhèn)江期末)已知a,b∈R,a+b=4,則+的最大值為_(kāi)_______.
解析:法一:(ab作為一個(gè)變?cè)?ab≤2=4,
+=
==.
設(shè)t=9-ab≥5,
則=≤
12、=,
當(dāng)且僅當(dāng)t2=80時(shí)等號(hào)成立,
所以+的最大值為.
法二:(均值換元)因?yàn)閍+b=4,
所以令a=2+t,b=2-t,
則f(t)=+=+
=,
令u=t2+5≥5,
則g(u)==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)u=4時(shí)等號(hào)成立.所以+的最大值為.
答案:
6.已知對(duì)任意的x∈R,3a(sin x+cos x)+2bsin 2x≤3(a,b∈R)恒成立,則當(dāng)a+b取得最小值時(shí),a的值是________.
解析:由題意可令sin x+cos x=-,兩邊平方得1+2sin xcos x=,即sin 2x=-,代入3a(sin x+cos x)+2bsin 2x≤3,解得-a-b≤3,可得a+b≥-2,當(dāng)a+b=-2時(shí),令t=sin x+cos x=sin∈[-, ],則sin 2x=t2-1.
所以3at+2(-a-2)(t2-1)≤3對(duì)t∈[-,]恒成立,
即2(a+2)t2-3at-2a-1≥0對(duì)t∈[-,]恒成立.
記f(t)=2(a+2)t2-3at-2a-1,t∈[-,].
因?yàn)閒=0是f(t)的最小值,所以只能把f(t)看成以t為自變量的一元二次函數(shù),
所以解得a=-.
答案:-