（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 講重點 選填題專練 第7講 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、分布列及期望與方差教學案 理

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1、第7講　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、分布列及期望與方差 調(diào)研一　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 ■備考工具—————————————— 1．分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的計算 (1)系統(tǒng)抽樣：總體容量為N，樣本容量為n，則要將總體均分成n組，每組個(有零頭時要先去掉)． 若第一組抽到編號為k的個體，則以后各組中抽取的個體編號依次為k＋，…，k＋(n－1). (2)分層抽樣：按比例抽樣，計算的主要依據(jù)是：各層抽取的數(shù)量之比＝總體中各層的數(shù)量之比． 2．提取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù) (1)組距、頻率：頻率分布直方圖中每個矩形的寬表示的組距，高表示，面積表示該組數(shù)據(jù)的頻率，各個矩形的面積之和為1； (2)眾數(shù)：最高小長方

2、形底邊中心的橫坐標； (3)中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標； (4)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中心的橫坐標之和； (5)參數(shù)：若縱軸上存在參數(shù)，則根據(jù)所有小長方形的面積之和為1，列方程即可求得參數(shù)值． 3．回歸直線方程 ＝x＋，其中＝.＝－，(，)稱為樣本點的中心． 4．相關(guān)系數(shù)：r＝. 主要用于相關(guān)量的顯著性檢驗，以衡量它們之間的線性相關(guān)程度．當r>0時，表示兩個變量正相關(guān)；當r<0時，表示兩個變量負相關(guān)．|r|越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；當|r|接近0時，表明兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系． 5

3、．列聯(lián)表 列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 可構(gòu)造一個隨機變量 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 6．獨立性檢驗的方法 (1)構(gòu)造2×2列聯(lián)表； (2)計算K2； (3)查表確定有多大的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián)． 注意：查表時不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的k值與求得

4、的K2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p. 7．(1)殘差：i＝y(tǒng)i－i稱為相應(yīng)于點(xi，yi)的殘差，殘差平方和為(yi－i)2. (2)相關(guān)指數(shù)R2＝1－.R2越大，說明殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小計，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好． 8．與平方數(shù)和方差有關(guān)的結(jié)論 (1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a； (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x′1

5、＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變； (3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2； (4)s2＝(xi－)2＝－2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． ■自測自評—————————————— 1．[2019·全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(　　) A．中位數(shù)　　　　 B．平均數(shù) C．方差 D．極差 解析：記9個原始評

6、分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A. 答案：A 2．[2019·全國卷Ⅲ]《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為(　　) A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

7、 解析：根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下： 所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該學?？倲?shù)比值的估計值為＝0.7. 答案：C 3．[2018·全國卷Ⅱ]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 解析：通解：

8、設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的．故選A. 優(yōu)解：因為0.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．故選A. 答案：A 4．[2019·山西八校聯(lián)考]如圖所示的折線圖表示某商場一年中各月的收入、支出情況，則下列說法中錯誤的是(　　) A．全年收入1至2月份增速最快 B．全年中2月份支出最高 C．四個季度中

9、第二季度的月平均支出最低 D．利潤最低的月份是5月份(利潤＝收入－支出) 解析：從折線圖看出1至2月份收入數(shù)據(jù)的連線斜向上，且最陡，故A正確；由折線圖可以看出支出的最高點在2月份，故B正確；由折線圖可看出第二季度的總支出最低，故第二季度的月平均支出最低，故C正確；5月份的利潤為30－10＝20(萬元)，8月份的利潤為50－40＝10(萬元)，20>10，故D錯誤． 答案：D 5．[2019·石家莊質(zhì)檢]甲、乙兩人8次測評成績的莖葉圖如圖，由莖葉圖知甲的成績的平均數(shù)和乙的成績的中位數(shù)分別是(　　) A.23,22 B．23,22.5 C．21,22 D．21,22.5 解析：由

10、莖葉圖可得甲的成績的平均數(shù)為＝21.將乙的成績按從小到大的順序排列，中間的兩個成績分別是22,23，所以乙的成績的中位數(shù)為＝22.5. 答案：D 6．[2019·長沙、南昌聯(lián)考]某工廠經(jīng)過技術(shù)改造，降低了能源消耗，職能部門從某車間抽取部分工人進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們一天的能源消耗指數(shù)均在50～350之間，按照[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350]分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．若采用分層抽樣的方法從能源消耗指數(shù)在[50,200)內(nèi)的工人中抽取10人進行業(yè)務(wù)指導，則應(yīng)從能源消耗指數(shù)在[100,150)內(nèi)選取的人數(shù)為(　

11、　) A．5 B．3 C．2 D．4 解析：由題意可得，(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.006 0，所以前三組的人數(shù)之比為0.002 4∶0.003 6∶0.006 0＝2∶3∶5，故應(yīng)從[100,150)內(nèi)抽取的人數(shù)為10×＝3，故選B. 答案：B 7．[2019·合肥質(zhì)檢一]某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布的餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是(　　) 注：90后指1990年1月1日至1999年12月31日出生的人，80后指

12、1980年1月1日至1989年12月31日出生的人，80前指1979年12月31日及以前出生的人． A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上 B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20% C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多 D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多 解析：對于A：由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布的餅狀圖可知，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者中90后占了56%，所以A正確；對于B：由兩個統(tǒng)計圖知，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%＝21.176%，已經(jīng)超出了20%，所以整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事技術(shù)崗位的人數(shù)肯定會超過總?cè)藬?shù)的20

13、%，所以B正確；對于C：由兩個統(tǒng)計圖知，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運營崗位的人數(shù)90后占總?cè)藬?shù)的56%×17%＝9.52%，超過了80前互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者人數(shù)，所以C正確；對于D：由兩個統(tǒng)計圖知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)80后的人數(shù)占41%，但沒有80后的崗位分布圖，因此無法判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后與80后誰多誰少，故D錯誤，選D. 答案：D 8．[2019·遼寧五校聯(lián)考]下列命題：①在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量x對于預報變量y的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸效果越好；②兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1；③在回歸方程＝－0.5x＋2中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報

14、變量y平均減少0.5個單位；④若對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大．其中正確的命題個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)可知①正確；由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知②正確；由線性回歸方程截距的幾何意義可得③正確；對分離變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小，k越大，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，④錯誤，所以正確命題的個數(shù)是3，故選C. 答案：C 調(diào)研二　分布列及期望與方差、正態(tài)分布 ■備考工具—————————————— 1．二項分布 在n次獨立重復試驗中

15、，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)． 2．正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示： 如果對于任何實數(shù)a，b(a

16、4 4； ③P(μ－3σ

17、(X)(a，b為常數(shù))． (3)兩點分布與二項分布的均值與方差： ①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若隨機變量X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 5．方差和標準差 方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大?。? (1)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； (2)標準差： s＝. 性質(zhì)：標準差(或方差)越小，說明數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定；標準差(或方差)越大，說明數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定． ■自測自評—————————————— 1．[2019·浙江卷]設(shè)0

18、 a 1 P 則當a在(0,1)內(nèi)增大時，(　　) A．D(X)增大 B．D(X)減小 C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大 解析：由題意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以當a在(0,1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大．故選D. 答案：D 2．[2018·全國卷Ⅲ]某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(　　) A．0.7　　　　　 B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：由題意知，該群體

19、的10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)0.5，所以p＝0.6. 答案：B 3．[2019·唐山摸底]隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：由題意可知，P(ξ<6)＝P(ξ<2)＋P(2<ξ<6)＝0.2＋0.6＝0.8，∴P(ξ>6)＝1－0.8＝0.2， ∴P(ξ<2)＝P(ξ>6)，∴μ＝＝4，故選

20、C. 答案：C 4．某籃球隊隊員進行考核，規(guī)則是：①每人進行3個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過．已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：每個輪次甲不能通過的概率為×＝，通過的概率為1－＝，因為甲3個輪次通過的次數(shù)X服從二項分布B，所以X的數(shù)學期望為3×＝. 答案：B 5．有8名學生，其中有5名男生．從中選出4名代表，選出的代表中男生人數(shù)為X，則其數(shù)學期望為E(X)＝(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 解析：隨機變量X

21、的所有可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)，所以隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故選B. 答案：B 6．甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯誤的是(　　) A．甲類水果的平均質(zhì)量為0.4 kg B．甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右 C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小 D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99 解析：由圖象可知甲的正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙的正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正確，C正確．由圖可知甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右，故B正確．因為乙的正態(tài)曲線的最大值為1.99，即＝1.99，故D錯誤，選D. 答案：D 10