2020年高考數(shù)學考前回扣教材5 不等式與線性規(guī)劃

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1、回扣5　不等式與線性規(guī)劃 1.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間). 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 3.分式不等式 >0(<0)?f(x)

2、g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)? 4.基本不等式 (1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)當且僅當a＝b時取等號. ②≥(a，b∈(0，＋∞))，當且僅當a＝b時取等號. (2)幾個重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)； ② ≥≥≥(a>0，b>0，當a＝b時等號成立). ③a＋≥2(a>0，當a＝1時等號成立)； ④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當a＝b時等號成立). 5.可行域的確定 “線定界，點定域”，即先畫出與不等式對應的方程所表示的直線，然后代入特殊點的坐標，根據(jù)其符號確定不等式所表示的平面區(qū)域. 6.線性規(guī)劃 (1)線性目標函數(shù)的最大值

3、、最小值一般在可行域的頂點處取得； (2)線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個. 1.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負，從而出錯. 2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論. 3.應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0. 4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、 二定、三相等”導致錯解，如求函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)時

4、應先轉化為正數(shù)再求解. 5.解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解. 6.求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導致錯解，如是指已知區(qū)域內的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內的點(x，y)到點(1，1)的距離的平方等. 1.下列命題中正確的個數(shù)是(　　) ①a>b，c>d?a＋c>b＋d；②a>b，c>d?>；③a2>b2?|a|>|b|；④a>b?<. A.4 B.3 C.2 D.1 答案　C 解析?、賏>b，c>d?a＋c>b＋d正確，不等式的同向可加性；②a>b，c

5、>d?>錯誤，反例：若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，則>不成立；③a2>b2?|a|>|b|正確；④a>b?<錯誤，反例：若a＝2，b＝－2，則<不成立.故選C. 2.設M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，則M，N的大小關系為(　　) A.M>N B.M0.故選A. 3.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案　C 解

6、析　由題意可知2kx2＋kx－<0恒成立，當k＝0時成立，當k≠0時需滿足代入求得－3

7、集為(　　) A.(－∞，0]∪[1，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0]∪(1，＋∞) D.[0，1)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　由題意得，≥－1?＋1＝≥0，解得x≤0或x>1，所以不等式的解集為(－∞，0]∪(1，＋∞)，故選C. 6.設第一象限內的點(x，y)滿足約束條件目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為40，則＋的最小值為(　　) A. B. C.1 D.4 答案　B 解析　不等式表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，直線z＝ax＋by過點(8，10)時取最大值，即8a＋10b＝40，4a＋5b＝20，從而＋＝(＋)＝(25＋＋)≥(25＋2

8、)＝，當且僅當2a＝5b時取等號，因此＋的最小值為，故選B. 7.已知實數(shù)x、y滿足如果目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實數(shù)m等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　B 解析　作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示，由目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，得y＝x－z，及當z＝－1時，函數(shù)y＝x＋1，此時對應的平面區(qū)域在直線y＝x＋1的下方，由?即A(2，3)，同時A也在直線x＋y＝m上，所以m＝5. 8.在平面直角坐標系中，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1，1) D.(－

9、∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　易知直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示. 當直線y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區(qū)域，所以直線y＝k(x－1)－1的斜率的范圍為(－∞，－1)，即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，－1). 9.已知實數(shù)x∈[－1，1]，y∈[0，2]，則點P(x，y)落在區(qū)域內的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不等式組表示的區(qū)域如圖所示，陰影部分的面積為×(2－)×(1＋1)＝，則所求的概率為，故選D. 10.函數(shù)y＝loga(x＋

10、3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為________. 答案　8 解析　由已知可得定點A(－2，－1)，代入直線方程可得2m＋n＝1，從而＋＝(＋)(2m＋n)＝＋＋4≥2 ＋4＝8. 當且僅當n＝2m時取等號. 11.已知ab＝，a，b∈(0，1)，則＋的最小值為________. 答案　4＋ 解析　因為ab＝，所以b＝， 則＋＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋2 ＝2(＋)＋2 ＝(＋)[(4a－1)＋(4－4a)]＋2 ＝[3＋＋]＋2 ≥(3＋2)＋2＝4＋(當且僅當＝，即a＝時，取等號).

11、 12.變量x，y滿足約束條件若z＝2x－y的最大值為2，則實數(shù)m＝______. 答案　1 解析　由可行域知，直線2x－y＝2必過直線x－2y＋2＝0與mx－y＝0的交點，即直線mx－y＝0必過直線x－2y＋2＝0與2x－y＝2的交點(2，2)，所以m＝1. 13.(2020·上海)若x，y滿足則x－2y的最大值為________. 答案　－2 解析　令z＝x－2y，則y＝x－.當在y軸上截距最小時，z最大.即過點(0，1)時，z取最大值，z＝0－2×1＝－2. 14.已知實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是________. 答案　[－1，] 解析　作出可行域，如圖△ABC內部(含邊界)，表示可行域內點(x，y)與P(5，6)連線斜率，kPA＝＝－1，kPC＝＝，所以－1≤≤.