遼寧省撫順市撫順縣高中高三數(shù)學(xué) 第十一章 概率 第二節(jié) 概率的應(yīng)用復(fù)習(xí) 新人教A版

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1、第二節(jié) 概率的應(yīng)用 A組 1．在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是________． 解析：當(dāng)取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3時只有{1,2}一種取法；當(dāng)取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為6時，有{1,5}，{2,4}兩種取法，所以符合條件的取法種數(shù)為3種，而所有的取法有10種，故所求的概率為.答案： 2．已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若|A|≤4，則△ABC是直角三角形的概率為________． 解析：|A|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1

2、,0,1,2,3. B＝(2－k,3)．若A·B＝－k2＋2k＋3＝0，則k＝－1，k＝3；若B·A＝0，則k＝8(舍)；若A·A＝0，則k＝－2.故P＝.答案： 3．(2020年南京調(diào)研)甲盒子里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,4,7的4張卡片，乙盒子里裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,4的2張卡片．若從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，則2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是________． 解析：數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共4種情形，而從兩個盒子中各抽取一張卡片共有8種情況，所以所求概率為.答案： 4．(2020年高考江蘇卷)現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為

3、2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為________． 解析：在5個長度中一次隨機抽取2個，則有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共10種情況．滿足長度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，共2種情況，所以它們的長度恰好相差0.3 m的概率為P＝＝.答案： 5．(原創(chuàng)題)連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m，n，向量a＝(m，n)，b＝

4、(－1,1)，若在△ABC中，A與a同向，C與b反向，則∠ABC是鈍角的概率是________． 解析：要使∠ABC是鈍角，必須滿足A·C<0，即a·b＝n－m>0.連擲兩次骰子所得點數(shù)m，n共有36種情形，其中15種滿足條件，故所求概率是. 6．一個袋子中有紅、白、藍三種顏色的球共24個，除顏色外其他特征完全相同，已知藍色球3個．若從袋子中隨機取出1個球，取到紅色球的概率是. (1)求紅色球的個數(shù)； (2)若將這三種顏色的球分別進行編號，并將1號紅色球，1號白色球，2號藍色球和3號藍色球這四個球裝入另一個袋子中，甲乙兩人先后從這個袋子中各取一個球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的

5、球的編號比乙大的概率． 解：(1)設(shè)紅色球有x個，依題意得＝，解得x＝4，∴紅色球有4個． (2)記“甲取出的球的編號比乙的大”為事件A，所有的基本事件有(紅1，白1)，(紅1，藍2)，(紅1，藍3)，(白1，紅1)，(白1，藍2)，(白1，藍3)，(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍2，藍3)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共12個．事件A包含的基本事件有(藍2，紅1)，(藍2，白1)，(藍3，紅1)，(藍3，白1)，(藍3，藍2)，共5個，所以P(A)＝. B組 1．(2020年高考浙江卷)有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個連續(xù)的自然數(shù)k，k＋1，其中k＝0,1

6、,2，…，19.從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和(例如：若取到標(biāo)有9,10的卡片，則卡片上兩個數(shù)的各位數(shù)字之和為9＋1＋0＝10)不小于14”為A，則P(A)＝________. 解析：對于大于14的情況通過列舉可得有5種情況： (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事件有20種，因此P(A)＝. 答案： 2．用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖的規(guī)律拼成若干圖形，則按此規(guī)律第100個圖形中有白色地磚________塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖形中，則豆子落在白色地磚上的概率是________． 解析：白

7、色地磚構(gòu)成等差數(shù)列：8,13,18，…，5n＋3，… ∴an＝5n＋3，a100＝503，第100個圖形中有地磚503＋100＝603，故所求概率P＝.答案：503　 3．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為________． 解析：分別從A和B中各取1個數(shù)，一共有6種等可能的取法，點P(a，b)恰好落在直線x＋y＝2上的取法只有1種：(1,1)；恰好落在直線x＋y＝3上的取法有2種：(1,2)， (

8、2,1)；恰好落在直線x＋y＝4上的取法也有2種：(1,3)，(2, 2)；恰好落在直線x＋y＝5上的取法只有1種：(2,3)，故事件Cn的概率分別為，，，(n＝2,3,4,5)，故當(dāng)n＝3或4時概率最大．答案：3和4 4．先后從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個大小、形狀完全相同的球中，有放回地隨機抽取2個球，則抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的概率等于________． 解析：基本事件共有4×4＝16個，其中抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的情況有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10種，所以所求概率為

9、＝.答案： 5．把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，則向量m與向量n垂直的概率是________． 解析：顯然m·n＝a－2b＝0，所有可能的結(jié)果為(a，b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)．基本事件總數(shù)為36，則概率為.答案： 6.(2020年南京高三調(diào)研)如圖，將一個體積為27 cm3的正方體木塊表面涂上藍色，然后鋸成體積為1 cm3小正方體，從中任取一塊，則這一塊恰有兩面涂有藍色的概率是　　　　. 解析：據(jù)題意知兩面涂色的小正方體當(dāng)且僅當(dāng)它們是大正方體的各條棱的中點時滿足條件．正方體共12條

10、棱，所以兩面涂色的小正方體有12個，而所有小正方體有27個，所以，所求的概率為P＝＝.答案： 7．集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，則所取兩數(shù)m>n的概率是________． 解析：基本事件總數(shù)為25個．m＝2時，n＝1；m＝4時，n＝1,3；m＝6時，n＝1,3,5；m＝8時，n＝1,3,5,7；m＝10時，n＝1,3,5,7,9；共15個．故P＝＝0.6.答案：0.6 8．集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5}．先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點數(shù)記作a，擲第二顆骰子得點數(shù)記作b

11、，則(a，b)∈A∩B的概率等于　　　　. 解析：如圖：滿足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有8個，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．∴P＝＝.答案： 9．(2020年江蘇泰興模擬)已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)x，y∈Z時，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率為________． 解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，則基本事件總數(shù)為n＝25，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴滿足條件的整點有(0,2)，(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6個，故P＝.

12、答案： 10．(2020年皖南八校質(zhì)檢)甲、乙兩人各擲一次骰子(均勻的正方體，六個面上分別為1,2,3,4,5,6點)，所得點數(shù)分別為x，y. (1)求x

13、6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36個基本事件． 其中滿足x

14、x

15、3,2)，(3,3)，共9種． (2)記“所摸出的兩球號碼之和為5”為事件A，則事件A包含的基本情形有(2,3)，(3,2)，共2種，所以P(A)＝. (3)記“所摸出的兩球號碼之和為i”為事件Ai(i＝2,3,4,5,6)， 由(1)可知事件A2的基本結(jié)果為1種，事件A3的基本結(jié)果為2種，事件A4的基本結(jié)果為3種，事件A5的基本結(jié)果為2種，事件A6的基本結(jié)果為1種，所以P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，P(A6)＝. 故所摸出的兩球號碼之和為4的概率最大，即猜4獲獎的可能性最大． 12．從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機抽取50人測量身高．據(jù)測量，被測學(xué)生身

16、高全部介于155 cm到195 cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)；第二組[160,165)；…；第八組[190,195]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列． (1)估計這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)； (2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖； (3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩人，記他們的身高分別為x、y，求滿足“|x－y|≤5”的事件的概率． 解：(1)由頻率分布直方圖得前五組頻率為(0.00

17、8＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三組頻率為1－0.82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9， 這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人數(shù)為800×0.18＝144. (2)由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5＝0.04，人數(shù)為0.04×50＝2，設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，解得m＝4，所以第六組人數(shù)為4，第七組人數(shù)為3，頻率分別等于0.08,0.06. 分別等于0.016,0.012.其完整的頻率分布直方圖如圖． (3)由(2)知身高在[180,185)內(nèi)的人數(shù)為4，設(shè)為a、b、c、d，身高在[190,195]內(nèi)的人數(shù)為2，設(shè)為A、B，若x，y∈[180,185)時，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種情況； 若x，y∈[190,195]時，有AB共1種情況； 若x，y分別在[180,185)和[190,195]內(nèi)時，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8種情況． 所以基本事件總數(shù)為6＋1＋8＝15， 事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件個數(shù)有6＋1＝7，∴P(|x－y|≤5)＝.