高中數(shù)學第四屆全國青年教師優(yōu)秀課觀摩大賽 導數(shù)的概念教案

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1、說課課題：導數(shù)的概念（第三課時） 一、【教材分析】 1. 本節(jié)內容： 《導數(shù)的概念》這一小節(jié)分“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數(shù)的概念”，“導數(shù)的幾何意義”四個部分展開，大約需要4個課時．第一、二課時學習“曲線的切線”，“瞬時速度”，今天說的是第三課時的內容導數(shù)概念的形成. 2. 導數(shù)在高中數(shù)學中的地位與作用： 導數(shù)作為微積分的核心概念之一，在高中數(shù)學中具有相當重要的地位和作用. 從橫向看，導數(shù)處于一種特殊的地位．它是解決函數(shù)、不等式、數(shù)列、幾何等多章節(jié)相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法簡化中學數(shù)學的許多問題． 從縱向看，導數(shù)是對函數(shù)知識的深化，對極限知識的發(fā)展

2、，同時為以后研究導數(shù)的幾何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟后的重要作用． 二、【學情分析】 1. 有利因素：學生已較好地掌握了函數(shù)極限的知識，又剛剛學過曲線的切線、瞬時速度，并積累了大量的關于函數(shù)變化率的經驗；另外，我班學生思維比較活躍，對數(shù)學新內容的學習，有相當?shù)呐d趣和積極性，這為本課的學習奠定了基礎． 2. 不利因素：導數(shù)概念建立在極限基礎之上，超乎學生的直觀經驗，抽象度高；再者，本課內容思維量大，對類比歸納，抽象概括，聯(lián)系與轉化的思維能力有較高的要求，學生學習起來有一定難度． 三、【目標分析】 1. 教學目標 （1）知識與技能目標：①理解導數(shù)的概念.②掌握用定義求導數(shù)

3、的方法. （2）過程與方法目標：通過導數(shù)概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想和函數(shù)思想；提高類比歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉化的思維能力． （3）情感、態(tài)度與價值觀目標： ①通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數(shù)學的理性與嚴謹，激發(fā)學生對數(shù)學知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度． ②培養(yǎng)學生正確認識量變與質變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數(shù)學觀． 2. 教學重、難點 【確定依據】依據教學大綱的要求，結合本節(jié)內容和本班學生的實際 重點：導數(shù)的定義和用定義求導數(shù)的方法． 難點：對導數(shù)概念的理解． 【難點突破】本課設計

4、上從瞬時速度、切線的斜率兩個具體模型出發(fā)，由特殊到一般、從具 體到抽象利用類比歸納的思想學習導數(shù)概念；把新知的核心“可導”和“導數(shù)”兩個問題結合起來，利用轉化的思想與學生已有的極限知識相聯(lián)系，將問題化歸為考察一個關于自變量的函數(shù)當時極限是否存在以及極限是什么的問題. 四、【教學法分析】 1. 教法、學法：引導發(fā)現(xiàn)式教學法，類比探究式學習法 教學中遵循“學生為主體，教師為主導，知識為主線，發(fā)展思維為主旨”的“四主”原則．以恰當?shù)膯栴}為紐帶，給學生創(chuàng)設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數(shù)概念．引導學生經歷數(shù)學知識再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學生在參與中獲取知識，發(fā)展思維，感悟數(shù)學．

5、2. 教學手段：多媒體輔助教學 【設計意圖】通過多媒體彌補傳統(tǒng)教學的不足，增強教學效果的直觀性，幫助學生更好地理解無限逼近思想，揭示導數(shù)本質． 五、【教學過程分析】 【確定依據】為更好落實教學目標, 把數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為數(shù)學課堂的“教學形態(tài)”，，為學生創(chuàng)設探究空間,讓學生充分經歷、體驗數(shù)學知識再發(fā)現(xiàn)的過程,從中獲取知識,發(fā)展思維,感受探索的樂趣. （一）教學環(huán)節(jié) 分層作業(yè) 深化概念 華識 形成系統(tǒng)展 發(fā)展概念景 導入新課 小結整理 形成系統(tǒng)展 發(fā)展概念景 導入新課 練習反饋鞏固概念調節(jié)展 發(fā)展概念景 導

6、入新課 引申拓展 發(fā)展概念景 導入新課 類比探索形成概念共性 揭示本質 復習引入 提出問題入新課 （二）教學過程 教學環(huán)節(jié) 內 容 師生活動 設計意圖 復 習 引 入 提 出 問 題 【回顧1】 當運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，不同時刻的速度是不同的.假設t秒后運動員相對地面的高度為：，問在2秒時運動員的瞬時速度為多少？ 【回顧2】 已知曲線C是函數(shù)的圖象,求曲線上點P

7、處的切線斜率. 【思考】對瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處？ 學生相互交流探討瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處. 針對新概念創(chuàng)設相應的學生熟悉的問題情景，讓學生從概念的現(xiàn)實原型，體驗、感受直觀背景和概念間的關系，為學生主動建構新知提供自然的生長點. 類 比 探 索 形 成 概 念 ①歸納共性 揭示本質 研究 對象 求解問題 求解方法 本質 思想 具體例子 物體運動規(guī)律 H=h(t) 物體在時 的瞬時速度 求時間

8、 增量 求位移 增量 求平均 速度 求瞬時速度 平均速度 的極限 極限 思想 曲線 y=f(x) 曲線上P 點處切線的斜率 求橫坐標 增量 求縱坐標 增量 求割線的 斜率 求切線的斜率 割線斜率 的極限 極限 思想 一般情形 函數(shù) y=f(x) 函數(shù)在 處的變化率 ？ ？ ？ ？ ？ ？ 【師生活動】將學生分成若干學習小組，以表格為載體為師生、生生互動搭起積極交流的探究平臺.教師巡視，鼓勵學生參與，對個別學有困難的小組加以指導.探究后，共同歸納得出：兩個問題的解決在方法、本質、思想上都有相同之處.一個是“位移

9、改變量與時間改變量之比”的極限，一個是“縱坐標改變量與橫坐標改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限. 【設計意圖】給學生創(chuàng)設探究的平臺，分析瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，討論解決這兩個問題的方法、本質、思想上有什么共同之處，引導學生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質的思維通道. 教學環(huán)節(jié) 內 容 師生活動 設計意圖 類 比 探 索 形 成 概 念 ②類比遷移 形成概念 【思考】考慮求一般函數(shù)y=f(x) 在點到+之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計算函數(shù)在點處

10、的變化率？ 引出導數(shù)定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質. 引導學生利用求瞬時速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數(shù)在點處的變化率 =,并對猜想的合理性進行分析后，引出 定義1：（函數(shù)在一點處可導及其導數(shù)） 用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時速度進行類比遷移，自然引出函數(shù)在一點處可導和導數(shù)的概念. 由具體到抽象再回到具體的過程，感知上升到了理性，強化了對概念的理解. 類 比 探 索 形 成 概 念 ③剖析概念 加深理解

11、 【探討1】 怎樣判斷函數(shù)在一點是否可導？ 判斷函數(shù)在點處是否可導 轉化 判斷極限 是否存在 【探討2】導數(shù)是什么？ 描述角度 本 質 文字語言 瞬時變化率 符號語言 圖形語言 （切線斜率） 組織學生閱讀“導數(shù)”定義，抓住定義中的關鍵詞“可導”與“導數(shù)”交流探討，然后通過師生互動挖掘這些概念之間的深層含義. 分析導數(shù)的本質后，同時簡單提及導數(shù)產生的時代背景. 引導學生以數(shù)學語言（文字語言、符號語言 、圖形語言）的理解、把握、運用為切入點去揭示概念的內涵與外延，

12、提高學生數(shù)學閱讀和自主學習的能力. 讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，了解導數(shù)的文化價值、科學價值和應用價值. 教學環(huán) 節(jié) 內 容 師生活動 設計意圖 類 比 探 索 形 成 概 念 【探討3】求導數(shù)的方法是什么？ 【例1】求函數(shù)y=x2在點處的導數(shù). 讓學生類比瞬時速度的問題，根據導數(shù)定義歸納出求函數(shù)在點處導數(shù)的方法步驟： （1）求函數(shù)的增量； （2）求平均變化率； （3）取極限，得導數(shù). 學生動手解

13、答，老師強調符號語言的規(guī)范使用，對諸如忘寫括號的現(xiàn)象加以糾正. 用定義法求導數(shù)是本課的重點之一.有了可導這個邏輯基礎，導數(shù)成為可導的自然結果，求導數(shù)的方法則是對導數(shù)概念的理解與應用.讓學生積極主動參與，進行有意義的建構，有利于重點知識的掌握. 本題是教材上的一道例題.在學生建立起導數(shù)概念，明確用定義求導數(shù)的方法之后,進行強化訓練, 滲透算法思想，加深對導數(shù)概念的理解，強化對重點知識的鞏固. 引 申 拓 展 發(fā) 展 概 念 利用例1繼續(xù)設問，函數(shù)在處可導，那么，，這些點也可導嗎？從而引申拓展出定義2：（函數(shù)在開區(qū)間內可導

14、） 【探討1】函數(shù)在開區(qū)間內可導，那么對于每一個確定的值,都有唯一確定的導數(shù)值與之相對應，這樣在開區(qū)間內存在一個映射嗎？ 【探討2】存在的這個映射是否構成一個新的函數(shù)呢？若能，新函數(shù)的定義域和對應法則分別是什么呢？ 師生互動，共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間的每一點可導，每一點就有確定的唯一的導數(shù).這樣在開區(qū)間內構成一個特殊的映射，這里的映射是數(shù)集到數(shù)集的映射，就是函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做在開區(qū)間內的導函數(shù)。它的定義域是 通過層層展開的探討，激活學生知識思維的“最近發(fā)展區(qū)”，引導學生主動將新問題與原認知結構中函數(shù)的相關知識相聯(lián)系，自然引入導函數(shù)概念，從而完成從

15、函數(shù)在一點可導函數(shù)在開區(qū)間內可導函數(shù)在開區(qū)間內的導函數(shù)的兩次拓展. 教學環(huán) 節(jié) 內 容 師生活動 設計意圖 引 申 拓 展 發(fā) 展 概 念 【探討3】怎樣求新函數(shù)的解析式？ 探討后引出定義3：（函數(shù)在開區(qū)間內的導函數(shù)） 【例2】已知y=，求（1）y′;（2）y′|x=2. 開區(qū)間，對應法則是對開區(qū)間內每一點求導.運用函數(shù)思想，只要把求一點處的導數(shù)替換成，就可以求出導函數(shù)的解析式.

16、 分學習小組讓學生動腦思考，動手“操作”，相互交流。書面總結出兩小問的區(qū)別與聯(lián)系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識： 【區(qū)別】 （1）函數(shù)在點處的導數(shù)，是在點處的變化率，是一個常數(shù)； （2）函數(shù)的導數(shù)是對開區(qū)間內任意點而言，是在開區(qū)間內任意點的變化率，是一個函數(shù). 【聯(lián)系】一般而言，在處的導數(shù)就是導函數(shù)在=處的函數(shù)值，表示為，這也是求的一種方法. 本例共兩個小問，第(1)小問是教材上的一道例題, 第(2)小問是補充題.兩問都是求導數(shù)，但它們有本質上的區(qū)別！學生容易產生混淆.通過此題

17、讓學生辨清“函數(shù)在一點處的導數(shù)”、“函數(shù)在開區(qū)間內的導數(shù)”與“導數(shù)”三者的關系. 教學 環(huán)節(jié) 內 容 設計意圖 練 習 反 饋 鞏 固 概 念 練習： 1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2. 2．設函數(shù)f(x)在x0處可導，則等于 A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0) 3． 已知一個物體運動的位移S（m）與時間t（s）滿足關系S（t）＝-2t2+5t （1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度； （2）求物體在t時刻的瞬時速度； （3）求物體t時刻運動的

18、加速度，并判斷物體作什么運動？ 設計練習1，鞏固求導方法； 設計練習2，通過適當?shù)淖兪接柧?，揭示概念的內涵，提高學生的模式識別的能力，培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性；設計練習3，體驗實際應用，展示概念的外延，讓學生認識到數(shù)學來源于生活并應用于生活.通過練習，反饋學生對知識技能的掌握情況，以便及時調節(jié)教學，更好的達成教學目標. 小 結 整 理 形 成 系 統(tǒng) ①知識層面 ： ②方法層面：用定義求導數(shù)的三個步驟 ③思想層面：極限思想、函數(shù)思想、類比思想、轉化思想 ④應用層面：舉出生活中與導數(shù)有關的實例（涉及變化率問題的問

19、題可以考慮用導數(shù)解決）. 引導學生從知識、方法、思想和應用四個層面進行小結，理清知識結構，提煉數(shù)學方法和領悟數(shù)學思想，培養(yǎng)應用意識. 分 層 作 業(yè) 深 化 概 念 必做題：1.教材習題3.1 1、2、3、4、5 2. 已知f(3)=2，則的值為（ ） （A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在 3.已知曲線C是函數(shù)的圖象 （1）求點A(1,3)處的切線的斜率 （2）求函數(shù)在x=1處的導數(shù) 選做題： 1.有條件的同學上網查閱有關微積分產生的時代背景和歷史意義的資料并交流討論

20、. 2.函數(shù)=|x|在x=0處是否可導？ 3.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導是它在x=x0處連續(xù)的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條 D.既不充分也不必要條件 彈性的分層作業(yè)，照顧到各種層次的學生.補充的必做3，為下節(jié)課研究導數(shù)的幾何意義打下伏筆.可導與連續(xù)的關系，設計成選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發(fā)展.利用網絡，便于學生開展自主學習，拓展學習方式和平臺. （三）板書設計（板書附后） 【設計意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識發(fā)展的主要線索，呈現(xiàn)完整的知識

21、結構體系，用彩色粉筆突出重點，強化學生對新信息的納入，同時對新學的符號語言的規(guī)范使用進行示范. 板書設計： 辨析： f ′(x0) 與 f ′(x) 課堂小結 函數(shù)在開區(qū)間內的導函數(shù) 導數(shù) 定義1 定義2 定義3 函數(shù)在點x可導及導數(shù) 函數(shù)在開區(qū)間內可導 例1．。。。。。。。 電子屏幕 例2.。。。。。。。。。。 課堂練習 導數(shù)的概念（第三課時） 布置作業(yè) 六、【教學反思】 一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的抽象不僅是對結果的抽象，更是對方法和過程的抽象.本課設計上，把數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為數(shù)學課

22、堂的“教學形態(tài)”，返璞歸真，從兩個反應概念現(xiàn)實原型的具體問題出發(fā)，引出函數(shù)在一點處的導數(shù)再到開區(qū)間內的導函數(shù)，引導學生經歷了一個完整的數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程.提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹?shù)闹R再發(fā)現(xiàn)過程，教師作為學生學習的組織者、引導者、合作者創(chuàng)設機會和空間，激活學生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導學生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)能力.把可導與連續(xù)的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發(fā)展.以上，體現(xiàn)了以學生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學中不是重結論，而是重過程和方法；不是采用接受式的學習方式，而是采用探究、交流的方式；不是統(tǒng)一要求，而是因材施教尊重個體差異.這樣的設計符合學生認知規(guī)律，促進了個性化學習，更好地實現(xiàn)了教學目標.