概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案 習(xí)題 二

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1、習(xí)題二 1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律. 【解】 故所求分布律為 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.設(shè)在15只同類(lèi)型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函數(shù)并作圖； (3) . 【解】 故X的分布律為 X 0 1 2 P （2） 當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0 當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X

2、=0)= 當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函數(shù) (3) 3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率. 【解】 設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的分布律為 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函數(shù) 4.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 P{X=k}=， 其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確

3、定常數(shù)a. （2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 試確定常數(shù)a. 【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即 . 5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率. 【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) +

4、 (2) =0.243 6.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？ 【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N(xiāo)條跑道，則有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配

5、備9條跑道. 7.有一繁忙的汽車(chē)站，每天有大量汽車(chē)通過(guò)，設(shè)每輛車(chē)在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車(chē)通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則 故 所以

6、 . 9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)， （1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率； （2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率. 【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3） 10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）. （1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12時(shí)至

7、下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.設(shè)P{X=k}=, k=0,1,2 P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}. 【解】因?yàn)椋? 而 故得 即 從而 12.某教科書(shū)出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤

8、的概率. 【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算, 得 13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫(xiě)出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率. 【解】 14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求： （1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率; （2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元

9、、20000元的概率. 【解】以“年”為單位來(lái)考慮. （1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元. 設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62% 15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)=Ae

10、-|x|, -∞

11、) 當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0 當(dāng)x≥100時(shí) 故 17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù). 【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為 故當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0 當(dāng)0≤x≤a時(shí) 當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)（x）=1 即分布函數(shù) 18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率. 【解】X

12、~U[2,5]，即 故所求概率為 19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依題意知，即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車(chē)去火車(chē)站乘火車(chē)，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）. （1） 若動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的

13、把握大些？ （2） 又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？ 【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則 若走第二條路，X~N（50，42），則 ++ 故走第二條路乘上火車(chē)的把握大些. （2） 若X~N（40，102），則 若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些. 21.設(shè)X~N（3，22）， （1） 求P{2

14、 (2) c=3 22.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率. 【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允許σ最大不超過(guò)多少？ 【解】

15、 故 24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為 F（x）= （1） 求常數(shù)A，B； （2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f(wàn)（x）. 【解】（1）由得 （2） (3) 25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）. 【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0 當(dāng)0≤x<1時(shí) 當(dāng)1≤x<2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí) 故

16、 26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 （1） f(x)=ae-l|x|,λ>0; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）. 【解】（1） 由知 故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí) 當(dāng)x>0時(shí) 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0 當(dāng)0

17、 當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1 故其分布函數(shù)為 27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)， （1）=0.01，求; （2）=0.003，求，. 【解】（1） 即 即 故 （2） 由得 即 查表得 由得 即 查表得 28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X -2 -1 0

18、 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值為0，1，4，9 故Y的分布律為 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.設(shè)P{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律. 【解】 30.設(shè)X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密

19、度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 當(dāng)y≤0時(shí)， 當(dāng)y>0時(shí)， 故 (2) 當(dāng)y≤1時(shí) 當(dāng)y>1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí) 當(dāng)y>0時(shí) 故 31.設(shè)隨機(jī)變量X~U（0,1），試求： （1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)； （2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù). 【解】（1） 故

20、 當(dāng)時(shí) 當(dāng)10時(shí)， 即分布函數(shù) 故Z的密度函數(shù)為 32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù). 【解】 當(dāng)y≤0時(shí)， 當(dāng)0

21、33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下： 試填上(1),(2),(3)項(xiàng). 【解】由知②填1。 由右連續(xù)性知，故①為0。 從而③亦為0。即 34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律. 【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。 35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9? 【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則 X~b(n,0.1

22、) 即 得 n≥22 即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。 36.已知 F（x）= 則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù). （A） 連續(xù)型； （B）離散型； （C） 非連續(xù)亦非離散型. 【解】因?yàn)镕（x）在（-∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且 ,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。 但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C） 37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=

23、sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [-π/2,0]; (D) [0,]. 【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函數(shù)。 在上.故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。 故選（A）。 38.設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，σ2），問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？ 【解】因?yàn)?

24、 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。 故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。 39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買(mǎi)該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)Y的分布律. 【解】 設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件

25、下，Y~b(m,p)，即 由全概率公式有 此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀. 40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為 由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0

26、 若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=知P（X6,則P（X

27、數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為 X -1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率. 【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則 X~b(3,p) 由P（X≥1）=知P（X=0）=（1-p）3= 故p= 44.若隨機(jī)變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】 45.若隨機(jī)變量X~N（2，σ2），且P{2

28、 【解】 故 因此 46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求 （1） 全部能出廠的概率α； （2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β； （3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則 ={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}

29、 由題意知B=∪AB，且 令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，0.94）, 故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率. 【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，σ2） 故 查表知 ,即σ=12 從而X~N（72，122） 故 48.在電源電壓不超

30、過(guò)200V、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求： （1） 該電子元件損壞的概率α; (2) 該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β 【解】設(shè)A1={電壓不超過(guò)200V}，A2={電壓在200~240V}， A3={電壓超過(guò)240V}，B={元件損壞}。 由X~N（220，252）知 由全概率公式有

31、 由貝葉斯公式有 49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y). 【解】 因?yàn)镻（1

32、995研考) 【解】P（Y≥1）=1 當(dāng)y≤1時(shí)， 當(dāng)y>1時(shí)， 即 故 51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為λt的泊松分布. （1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布； （2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 當(dāng)t<0時(shí)， 當(dāng)t≥0時(shí)，事件{T>t}與{N(t)=0}等價(jià)，有 即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。 （2） 24