概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案 習題 二

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1、習題二 1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律. 【解】 故所求分布律為 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函數(shù)并作圖； (3) . 【解】 故X的分布律為 X 0 1 2 P （2） 當x<0時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0 當0≤x<1時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X

2、=0)= 當1≤x<2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 當x≥2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函數(shù) (3) 3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率. 【解】 設X表示擊中目標的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的分布律為 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函數(shù) 4.（1） 設隨機變量X的分布律為 P{X=k}=， 其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確

3、定常數(shù)a. （2） 設隨機變量X的分布律為 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 試確定常數(shù)a. 【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即 . 5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率. 【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) +

4、 (2) =0.243 6.設某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02，且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？ 【解】設X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則X~b(200,0.02)，設機場需配備N條跑道，則有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故機場至少應配

5、備9條跑道. 7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】設X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】設在每次試驗中成功的概率為p，則 故 所以

6、 . 9.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號， （1） 進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率； （2） 進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率. 【解】（1） 設X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3） 10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關（時間以小時計）. （1） 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12時至

7、下午5時至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.設P{X=k}=, k=0,1,2 P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}. 【解】因為，故. 而 故得 即 從而 12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤

8、的概率. 【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算, 得 13.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率. 【解】 14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求： （1） 保險公司虧本的概率; （2） 保險公司獲利分別不少于10000元

9、、20000元的概率. 【解】以“年”為單位來考慮. （1） 在1月1日，保險公司總收入為2500×12=30000元. 設1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62% 15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為 f(x)=Ae

10、-|x|, -∞

11、) 當x<100時F（x）=0 當x≥100時 故 17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標，設這質(zhì)點落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù). 【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為 故當x<0時F（x）=0 當0≤x≤a時 當x>a時，F(xiàn)（x）=1 即分布函數(shù) 18.設隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率. 【解】X

12、~U[2,5]，即 故所求概率為 19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依題意知，即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務而離開的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）. （1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的

13、把握大些？ （2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些？ 【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則 若走第二條路，X~N（50，42），則 ++ 故走第二條路乘上火車的把握大些. （2） 若X~N（40，102），則 若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些. 21.設X~N（3，22）， （1） 求P{2

14、 (2) c=3 22.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率. 【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允許σ最大不超過多少？ 【解】

15、 故 24.設隨機變量X分布函數(shù)為 F（x）= （1） 求常數(shù)A，B； （2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）. 【解】（1）由得 （2） (3) 25.設隨機變量X的概率密度為 f（x）= 求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）. 【解】當x<0時F（x）=0 當0≤x<1時 當1≤x<2時 當x≥2時 故

16、 26.設隨機變量X的密度函數(shù)為 （1） f(x)=ae-l|x|,λ>0; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）. 【解】（1） 由知 故 即密度函數(shù)為 當x≤0時 當x>0時 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當x≤0時F（x）=0 當0

17、 當x≥2時F（x）=1 故其分布函數(shù)為 27.求標準正態(tài)分布的上分位點， （1）=0.01，求; （2）=0.003，求，. 【解】（1） 即 即 故 （2） 由得 即 查表得 由得 即 查表得 28.設隨機變量X的分布律為 X -2 -1 0

18、 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值為0，1，4，9 故Y的分布律為 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.設P{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律. 【解】 30.設X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密

19、度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 當y≤0時， 當y>0時， 故 (2) 當y≤1時 當y>1時 故 (3) 當y≤0時 當y>0時 故 31.設隨機變量X~U（0,1），試求： （1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)； （2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù). 【解】（1） 故

20、 當時 當10時， 即分布函數(shù) 故Z的密度函數(shù)為 32.設隨機變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù). 【解】 當y≤0時， 當0

21、33.設隨機變量X的分布函數(shù)如下： 試填上(1),(2),(3)項. 【解】由知②填1。 由右連續(xù)性知，故①為0。 從而③亦為0。即 34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律. 【解】設Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設C={每次拋擲出現(xiàn)6點}。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。 35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9? 【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則 X~b(n,0.1

22、) 即 得 n≥22 即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。 36.已知 F（x）= 則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數(shù). （A） 連續(xù)型； （B）離散型； （C） 非連續(xù)亦非離散型. 【解】因為F（x）在（-∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且 ,所以F（x）是一個分布函數(shù)。 但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選（C） 37.設在區(qū)間[a,b]上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=

23、sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ） (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [-π/2,0]; (D) [0,]. 【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函數(shù)。 在上.故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，當時，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。 故選（A）。 38.設隨機變量X~N（0，σ2），問：當σ取何值時，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？ 【解】因為

24、 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點且惟一。 故當時X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。 39.設在一段時間內(nèi)進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律. 【解】 設購買某種物品的人數(shù)為Y，在進入商店的人數(shù)X=m的條件

25、下，Y~b(m,p)，即 由全概率公式有 此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀. 40.設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為 由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0

26、 若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=知P（X6,則P（X

27、數(shù)之間的關系，可知X的概率分布為 X -1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.設三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率. 【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設P（A）=p,則 X~b(3,p) 由P（X≥1）=知P（X=0）=（1-p）3= 故p= 44.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】 45.若隨機變量X~N（2，σ2），且P{2

28、 【解】 故 因此 46.假設一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺儀器（假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立）.求 （1） 全部能出廠的概率α； （2） 其中恰好有兩臺不能出廠的概率β； （3）其中至少有兩臺不能出廠的概率θ. 【解】設A={需進一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則 ={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}

29、 由題意知B=∪AB，且 令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X~6（n，0.94）, 故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率. 【解】設X為考生的外語成績，則X~N（72，σ2） 故 查表知 ,即σ=12 從而X~N（72，122） 故 48.在電源電壓不超

30、過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求： （1） 該電子元件損壞的概率α; (2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率β 【解】設A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}， A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。 由X~N（220，252）知 由全概率公式有

31、 由貝葉斯公式有 49.設隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】 因為P（1

32、995研考) 【解】P（Y≥1）=1 當y≤1時， 當y>1時， 即 故 51.設隨機變量X的密度函數(shù)為 fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設一大型設備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為λt的泊松分布. （1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布； （2） 求在設備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 當t<0時， 當t≥0時，事件{T>t}與{N(t)=0}等價，有 即 即間隔時間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。 （2） 24