2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點十五 直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線 理

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2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點十五 直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線 2020 高考 數(shù)學 二輪 復習 首選 第一 部分 考點 十五 直線 橢圓 雙曲線 拋物線
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考點十五 直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線 一、選擇題 1.(2019·陜西寶雞中學二模)若直線x+(1+m)y-2=0與直線mx+2y+4=0平行,則m的值是(  ) A.1 B.-2 C.1或-2 D.- 答案 A 解析 ①當m=-1時,兩直線分別為x-2=0和x-2y-4=0,此時兩直線相交,不符合題意.②當m≠-1時,兩直線的斜率都存在,由直線平行可得解得m=1,故選A. 2.(2019·湖北黃岡調研)過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距相等,則該直線方程為(  ) A.y-x=1 B.y+x=3 C.2x-y=0或x+y=3 D.2x-y=0或-x+y=1 答案 C 解析 當直線過原點時,方程為y=2x,即2x-y=0;當直線不過原點時,設直線的方程為x+y=k,把點(1,2)代入直線的方程可得k=3,故直線方程是x+y-3=0.綜上可得所求的直線方程為2x-y=0或x+y-3=0,故選C. 3.(2019·東北三省三校第二次模擬)圓x2-4x+y2=0與圓x2+y2+4x+3=0的公切線共有(  ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 答案 D 解析 x2-4x+y2=0?(x-2)2+y2=22,圓心坐標為(2,0),半徑為2;x2+y2+4x+3=0?(x+2)2+y2=12,圓心坐標為(-2,0),半徑為1.兩圓圓心距為4,兩圓半徑和為3,因為4>3,所以兩圓的位置關系是外離,故兩圓的公切線共有4條,故選D. 4.(2019·河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱,它的橋形可以近似地看成拋物線,該橋的高度為5 m,跨徑為12 m,則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為(  ) A. m B. m C. m D. m 答案 D 解析 以橋頂為坐標原點,橋形的對稱軸為y軸建立直角坐標系xOy,結合題意可知,該拋物線x2=-2py(p>0)經(jīng)過點(6,-5),則36=10p,解得p=,故橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為p=,故選D. 5.已知雙曲線-=1的離心率為,則a的值為(  ) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1 答案 C 解析 當焦點在x軸上時,a>0,2-a2>0,e2==2,解得a=1,當焦點在y軸上時,a<0,2-a2<0,e2==2,解得a=-2,綜上知a=1或a=-2. 6.已知圓(x-a)2+y2=1與直線y=x相切于第三象限,則a的值是(  ) A. B.- C.± D.-2 答案 B 解析 依題意得,圓心(a,0)到直線x-y=0的距離等于半徑,即有=1,|a|=.又切點位于第三象限,結合圖形(圖略)可知,a=-,故選B. 7.若拋物線y2=2px(p>0)上的點A(x0,)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于(  ) A. B.1 C. D.2 答案 D 解析 由題意3x0=x0+,x0=,則=2, ∵p>0,∴p=2. 8.已知橢圓C:+y2=1與動直線l:2mx-2y-2m+1=0(m∈R),則直線l與橢圓C交點的個數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.不確定 答案 C 解析 由題2mx-2y-2m+1=0,即m(2x-2)+1-2y=0可知直線l過定點,將代入+y2,得+=<1,即點在橢圓內(nèi)部,故直線l與橢圓有兩個交點,故選C. 二、填空題 9.(2019·湖南株洲第二次教學質量檢測)設直線l:3x+4y+a=0,與圓C:(x-2)2+(y-1)2=25交于A,B,且|AB|=6,則a的值是________. 答案 10或-30 解析 因為|AB|=6,所以圓心到直線的距離為d===4,所以=4,即a=10或a=-30. 10.(2019·河南鶴壁模擬)與雙曲線-=1具有相同的漸近線,且經(jīng)過點A(3,-2)的雙曲線方程是________. 答案?。? 解析 設與雙曲線-=1具有相同的漸近線的雙曲線的方程為-=m(m≠0),代入點A(3,-2),解得m=,則所求雙曲線的方程為-=,即-=1. 11.已知橢圓C的焦點在x軸上,長軸長為4,過焦點且垂直于長軸的弦長為1,則橢圓C的方程為________. 答案?。珁2=1 解析 設橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 由題意得解得a=2,b=1, 所以橢圓C的方程為+y2=1. 12.過拋物線y2=4x的焦點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4x+4y=0截得的弦長是________. 答案  解析 依題意,拋物線的焦點坐標是(1,0),相應的直線方程是y=(x-1),即x-y-=0.題中的圓(x-2)2+(y+2)2=16的圓心坐標是(2,-2)、半徑為4,則圓心(2,-2)到直線x-y-=0的距離d==,因此所求的弦長為2 =. 三、解答題 13.過原點O作圓x2+y2-8x=0的弦OA. (1)求弦OA的中點M的軌跡方程; (2)延長OA到N,使|OA|=|AN|,求點N的軌跡方程. 解 (1)設M的坐標為(x,y), 則A(2x,2y),因為點A在圓x2+y2-8x=0上, 所以(2x)2+(2y)2-16x=0, 即x2+y2-4x=0. 因此點M的軌跡方程為x2+y2-4x=0. (2)設N(x,y),∵|OA|=|AN|, ∴A為線段ON的中點,∴A, 又A在圓x2+y2-8x=0上, ∴2+2-4x=0, 即x2+y2-16x=0. 因此,點N的軌跡方程為x2+y2-16x=0. 14.(2019·安徽合肥第二次質檢)已知點A(1,0)和動點B,以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O:x2+y2=4. (1)求動點B的軌跡方程; (2)已知點P(2,0),Q(2,-1),經(jīng)過點Q的直線l與動點B的軌跡交于M,N兩點,求證:直線PM與直線PN的斜率之和為定值. 解 (1)如圖,設以線段AB為直徑的圓的圓心為C,取A′(-1,0).依題意,圓C內(nèi)切于圓O,設切點為D,則O,C,D三點共線, ∵O為AA′的中點,C為AB的中點, ∴|A′B|=2|OC|. ∴|BA′|+|BA|=2|OC|+2|AC| =2|OC|+2|CD|=2|OD|=4>|AA′|=2, ∴動點B的軌跡是以A,A′為焦點,長軸長為4的橢圓,設其方程為+=1(a>b>0), 則2a=4,2c=2,∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3,∴動點B的軌跡方程為+=1. (2)證明:①當直線l垂直于x軸時,直線l的方程為x=2,此時直線l與橢圓+=1相切,與題意不符. ②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y+1=k(x-2). 由消去y整理得 (4k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0. ∵直線l與橢圓交于M,N兩點, ∴Δ=(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)>0, 解得k<. 設M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=, ∴kPM+kPN=+ =+ =2k-=2k- =2k- =2k- =2k+3-2k=3(定值). 一、選擇題 1.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是(  ) A.1+ B.2 C.1+ D.2+2 答案 A 解析 將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,即圓心為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d==,故圓上的點到直線x-y=2距離的最大值為d+1=+1. 2.若過點P(2,1)的直線l與圓C:x2+y2+2x-4y-7=0相交于兩點A,B,且∠ACB=60°(其中C為圓心),則直線l的方程是(  ) A.4x-3y-5=0 B.x=2或4x-3y-5=0 C.4x-3y+5=0 D.x=2或4x-3y+5=0 答案 B 解析 由題意可得,圓C的圓心為C(-1,2),半徑為2,因為∠ACB=60°,所以△ABC是邊長為2的正三角形,所以圓心C到直線l的距離為3.若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=2,與圓相交,且圓心C到直線l的距離為3,滿足條件;若直線l的斜率存在,不妨設l:y-1=k(x-2),則圓心C到直線l的距離d==3,解得k=,所以此時直線l的方程為4x-3y-5=0.故選B. 3.(2019·湖南師大附中月考七)已知動圓C經(jīng)過點A(2,0),且截y軸所得的弦長為4,則圓心C的軌跡是(  ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 答案 D 解析 設圓心C(x,y),弦為BD,過點C作CE⊥y軸,垂足為E,則|BE|=2,∴|CA|2=|CB|2=|CE|2+|BE|2,∴(x-2)2+y2=22+x2,化為y2=4x,故選D. 4.(2019·山西晉城三模)設雙曲線C:-=1(m>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線與雙曲線C交于M,N兩點,其中M在左支上,N在右支上.若∠F2MN=∠F2NM,則|MN|=(  ) A.8 B.8 C.4 D.4 答案 A 解析 由∠F2MN=∠F2NM可知|F2M|=|F2N|.由又|MF2|-|MF1|=4,|NF1|-|NF2|=4,所以|NF1|-|MF1|=|MN|=8,故選A. 5.拋物線C:y2=4x的焦點為F,N為準線上一點,M為y軸上一點,∠MNF為直角,若線段MF的中點E在拋物線C上,則△MNF的面積為(  ) A. B. C. D.3 答案 C 解析 如圖所示,不妨設點N在第二象限,連接EN,易知F(1,0),因為∠MNF為直角,點E為線段MF的中點,所以|EM|=|EF|=|EN|,又E在拋物線C上,所以EN⊥準線x=-1,E,所以N(-1,),M(0,2),所以|NF|=,|NM|=,所以△MNF的面積為. 6.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過焦點F且傾斜角為的直線與拋物線相交于A,B兩點,若|AB|=8,則拋物線的方程為(  ) A.y2=3x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x 答案 C 解析 ∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,∴過點F且傾斜角為的直線方程為y=,聯(lián)立直線與拋物線的方程,得?3x2-5px+p2=0,設A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB=.所以|AB|=xA+xB+p==8,所以p=3,所以拋物線的方程為y2=6x. 7.(2019·山東四校聯(lián)合考試)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,M為橢圓上異于長軸端點的一點,△MF1F2的內(nèi)心為I,直線MI交x軸于點E,若=2,則橢圓C的離心率是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 △MF1F2的內(nèi)心為I,連接F1I和F2I,則F1I為∠MF1F2的平分線,即=,同理,=,所以 ===2,即====2,則e=,故選B. 8.(2019·廣西桂林、崇左二模)過雙曲線x2-=1的右支上一點P分別向圓C1:(x+2)2+y2=4和圓C2:(x-2)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A 解析 圓C1:(x+2)2+y2=4的圓心為(-2,0),半徑為r1=2,圓C2:(x-2)2+y2=1的圓心為(2,0),半徑為r2=1,設雙曲線x2-=1的左、右焦點為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),連接PF1,PF2,F(xiàn)1M,F(xiàn)2N,可得|PM|2-|PN|2=(|PF1|2-r)-(|PF2|2-r)=(|PF1|2-4)-(|PF2|2-1)=|PF1|2-|PF2|2-3=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)-3=2a(|PF1|+|PF2|)-3=2(|PF1|+|PF2|)-3≥2×2c-3=2×4-3=5.當且僅當P為右頂點時,取得等號,故選A. 二、填空題 9.兩條漸近線所成的銳角為60°,且經(jīng)過點(,)的雙曲線的標準方程為________. 答案 x2-=1或-=1 解析 因為兩條漸近線所成的銳角為60°,所以一條漸近線的傾斜角為30°或60°,斜率為或,方程為x±y=0或x±y=0.設雙曲線的標準方程為x2-3y2=λ(λ≠0)或3x2-y2=μ(μ≠0),將點(,)代入可求得λ=-7,μ=3.所以雙曲線的標準方程為x2-=1或-=1. 10.(2019·河北邯鄲一模)若圓C:x2+2=n的圓心為橢圓M:x2+my2=1的一個焦點,且圓C經(jīng)過M的另一個焦點,則圓C的標準方程為________. 答案 x2+(y+1)2=4 解析 由題意得,橢圓M: x2+=1(m>0)的一個焦點坐標為, 另一個焦點在圓C上, 所以解得m=,n=4, 所以圓C的標準方程為x2+(y+1)2=4. 11.若圓x2+y2-4x-4y=0上至少有三個不同的點到直線l:y=kx的距離為,則直線l的斜率的取值范圍是________. 答案 [2-,2+] 解析 圓的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=8,其圓心為(2,2),半徑為2,當圓心(2,2)到直線kx-y=0的距離為時,有=,整理得k2-4k+1=0,解得k=2±,結合圖形可知(圖略),為使圓x2+y2-4x-4y=0上至少有三個不同的點到直線l的距離為,需有k∈[2-,2+]. 12.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,則雙曲線的離心率為________. 答案  解析 據(jù)題意設|AB|=3x,|BF2|=4x,|AF2|=5x,故有AB⊥BF2,又根據(jù)雙曲線定義, 得解得x=a,|AF1|=3a,故有|F1B|=6a,|BF2|=4a,|F1F2|=2c,由勾股定理可得36a2+16a2=4c2,所以e==. 三、解答題 13.在直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點P在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程; (2)若斜率存在,縱截距為-2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若直線AP,BP的斜率均存在,求證:直線AP,OP,BP的斜率依次成等差數(shù)列. 解 (1)由=,+=1及a2=b2+c2,得a=2,b=,c=1,∴C:+=1. (2)證明:設l:y=kx-2,代入橢圓C的方程,知 (3+4k2)x2-16kx+4=0. ∵Δ>0,∴k2>. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=,x1x2=, kAP+kBP=+ = = ===3. ∴kAP+kBP=2kOP,∴直線AP,OP,BP的斜率依次成等差數(shù)列. 14.(2019·全國卷Ⅰ)已知點A,B關于坐標原點O對稱,|AB|=4,⊙M過點A,B且與直線x+2=0相切. (1)若A在直線x+y=0上,求⊙M的半徑; (2)是否存在定點P,使得當A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由. 解 (1)因為⊙M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關于坐標原點O對稱,所以M在直線y=x上,故可設M(a,a). 因為⊙M與直線x+2=0相切,所以⊙M的半徑為r=|a+2|. 由已知得|AO|=2.又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故⊙M的半徑r=2或r=6. (2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值. 理由如下: 設M(x,y),由已知得⊙M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2. 由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4x. 因為曲線C:y2=4x是以點P(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|MP|=x+1. 因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1, 所以存在滿足條件的定點P. - 12 -
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