5、所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?(“錢”是古代的一種重量單位)在這個問題中,丙所得為( )
A.錢 B.錢
C.錢 D.1錢
解析:選D.因為甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列,設(shè)每人所得依次為a-2d、a-d、a、a+d、a+2d,則a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得a=1,即丙所得為1錢,故選D.
5.《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著,該書主要記述了:積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計數(shù)共14種計算方法.某研究性學習小組3人分工搜集
6、整理該14種計算方法的相關(guān)資料,其中一人4種,其余兩人每人5種,則不同的分配方法種數(shù)是( )
A. B.
C. D.CCC
解析:選A.先將14種計算方法分為三組,方法有種,再分配給3個人,方法有×A種.故選A.
6.我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即為所測量影子的長度).二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同,周而復始.若冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是( )
A.五寸 B.二尺五
7、寸
C.三尺五寸 D.四尺五寸
解析:選B.設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a1=15,a13=135,則15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷長是25寸.故選B.
7.(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,…,該數(shù)列的特點是:前兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和,人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”,則a2 017·a2 019-a等于( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2
8、 017
解析:選A.因為a1a3-a=1×2-1=1,a2a4-a=1×3-22=-1,a3a5-a=2×5-32=1,a4a6-a=3×8-52=-1,…,由此可知anan+2-a=(-1)n+1,所以a2 017a2 019-a=(-1)2 017+1=1,故選A.
8.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識,是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把陽爻“”當作數(shù)字“1”,把陰爻“”當作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:
卦名
符號
表示的二進制數(shù)
表示的十進制數(shù)
坤
00
9、0
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號為“”,其表示的十進制數(shù)是( )
A.33 B.34
C.36 D.35
解析:選B.由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數(shù)為100010,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故選B.
9.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L
10、與高h,計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為( )
A. B.
C. D.
解析:選A.依題意,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,化簡得π≈.故選A.
10.中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關(guān)于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之.亦倍下袤,上袤從之.各以其廣乘之,并,以高乘之,六而一.”其計算方法是:將上底面的長乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘;將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相
11、乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為( )
A. B.
C.39 D.
解析:選B.設(shè)下底面的長為x,則下底面的寬為=9-x.由題可知上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,所以其體積V=×3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9-x)]=-x2++,故當x=時,體積取得最大值,最大值為-+×+=.故選B.
11.(多選)(2019·濟南模擬)如圖是謝賓斯基三角形,在所給的四個三角形圖案中,黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項,則( )
12、
A.a(chǎn)n=3n-1
B.a(chǎn)n=2n-1
C.a(chǎn)4=27
D.a(chǎn)n-an-1=2·3n-2(n≥2)
解析:選ACD.黑色的小三角形個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項,分別為a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3,因此{an}的通項公式可以是an=3n-1.
12.(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的
D.此人后三天共走了42里路
解析:選ABD.設(shè)此
13、人第n天走an里路,前n天共走Sn里路.由題意可知,{an}是首項為a1,公比q=的等比數(shù)列,由等比數(shù)列前n項和公式得S6==378,解得a1=192.
在A中,a2=192×=96,故A正確;
在B中,378-192=186,192-186=6,故B正確;
在C中,a3=192×=48,>,故C錯誤;
在D中,a4+a5+a6=192×=42,故D正確.
13.(多選)中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義:圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個“
14、太極函數(shù)”,下列命題正確的是( )
A.對于任意一個圓O,其“太極函數(shù)”有無數(shù)個
B.函數(shù)f(x)=ln(x2+)可以是某個圓的“太極函數(shù)”
C.正弦函數(shù)y=sin x可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”
D.函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形
解析:選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分,故對于任意一個圓O,其“太極函數(shù)”有無數(shù)個,故A正確;
函數(shù)f(x)=ln(x2+)的圖象如圖1所示,
故其不可能為圓的“太極函數(shù)”,故B錯誤;
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sin x圖象的對稱中心上,則正弦函數(shù)y=sin x是
15、該圓的“太極函數(shù)”,從而正弦函數(shù)y=sin x可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”,故C正確;函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,則y=f(x)是“太極函數(shù)”,但函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”時,圖象不一定是中心對稱圖形,如圖2所示,故D錯誤.
二、填空題
14.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱.從外表上看,六根等長的正四棱柱體分成三組,經(jīng)90°榫卯起來,如圖,若正四棱柱體的高為6,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi),則該球形
16、容器的表面積的最小值為________.(容器壁的厚度忽略不計)
解析:表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球.設(shè)其半徑為R,(2R)2=62+22+12,解得R2=,所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2=41π.
答案:41π
15.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用.直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,若線段PF2,PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”,則點P的橫坐標為________.
解析:由題意知
17、半焦距c=,又PF1⊥PF2,故點P在圓x2+y2=3上,設(shè)P(x,y),聯(lián)立,得得P.
故點P的橫坐標為.
答案:
16.公元前6世紀,古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法,發(fā)現(xiàn)了黃金分割,其比值約為
0.618,這一數(shù)值也可以表示為m=2sin 18°,若m2+n=4,則=________.
解析:由題設(shè)n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,
====2.
答案:2
17.(2019·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信
18、形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1,則該半正多面體共有________個面,其棱長為________.
解析:依題意知,題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上,且該半正多面體的表面由18個正方形,8個正三角形組成,因此題中的半正多面體共有26個面.注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形,設(shè)題中的半正多面體的棱長為x,則x+x+x=1,解得x=-1,故題中的半正多面體的棱長為-1.
答案:26?。?
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