（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第二部分 專題七 數學文化及數學思想 第1講 數學文化練典型習題 提數學素養(yǎng)（含解析）

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1、第1講　數學文化 一、選擇題 1．我國古代數學著作《九章算術》中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A．104人　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：選B.由題設可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數為300×＝300×＝108.故選B. 2．“干支紀年法”是中國自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復始，依次循環(huán)．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉

2、、戌、亥為地支．如：公元1984年為農歷甲子年、公元1985年為農歷乙丑年，公元1986年為農歷丙寅年．則2049年為農歷(　　) A．己亥年 B．己巳年 C．己卯年 D．戊辰年 解析：選B.法一：由公元1984年為農歷甲子年、公元1985年為農歷乙丑年，公元1986年為農歷丙寅年，可知以公元紀年的尾數在天干中找出對應該尾數的天干，再將公元紀年除以12，用除不盡的余數在地支中查出對應該余數的地支，這樣就得到了公元紀年的干支紀年.2049年對應的天干為“己”，因其除以12的余數為9，所以2049年對應的地支為“巳”，故2049年為農歷己巳年．故選B. 法二：易知(年份－3)除以10所得的

3、余數對應天干，則2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余數是6，即對應的天干為“己”． (年份－3)除以12所得的余數對應地支，則2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余數是6，即對應的地支為“巳”，所以2049年為農歷己巳年．故選B. 3．(2019·山東淄博模擬)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設該金箠由粗到細是均勻變化的，其重量為M，現將該金

4、箠截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai(i＝1，2，…，10)，且a1

5、所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個問題中，丙所得為(　　) A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢 解析：選D.因為甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數列，設每人所得依次為a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D. 5．《數術記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數共14種計算方法．某研究性學習小組3人分工搜集

6、整理該14種計算方法的相關資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數是(　　) A． B． C． D．CCC 解析：選A.先將14種計算方法分為三組，方法有種，再分配給3個人，方法有×A種．故選A. 6．我國古代的天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是(　　) A．五寸 B．二尺五

7、寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 解析：選B.設從夏至到冬至的晷長依次構成等差數列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸．故選B. 7．(2019·江西七校第一次聯考)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…，該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，則a2 017·a2 019－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 017 D．－2

8、 017 解析：選A.因為a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故選A. 8．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“”當作數字“1”，把陰爻“”當作數字“0”，則八卦所代表的數表示如下： 卦名 符號 表示的二進制數 表示的十進制數 坤 00

9、0 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進制數是(　　) A．33 B．34 C．36 D．35 解析：選B.由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數為100010，轉化為十進制數為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B. 9．《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術相當于給出了由圓錐的底面周長L

10、與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選A.依題意，設圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡得π≈.故選A. 10．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關于“芻童”體積計算的描述，《九章算術》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相

11、乘；把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A． B． C．39 D． 解析：選B.設下底面的長為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當x＝時，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B. 11．(多選)(2019·濟南模擬)如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個三角形圖案中，黑色的小三角形個數構成數列{an}的前4項，則(　　)

12、 A．an＝3n－1 B．an＝2n－1 C．a4＝27 D．an－an－1＝2·3n－2(n≥2) 解析：選ACD.黑色的小三角形個數構成數列{an}的前4項，分別為a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通項公式可以是an＝3n－1. 12．(多選)在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關．”則下列說法正確的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了42里路 解析：選ABD.設此

13、人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由題意可知，{an}是首項為a1，公比q＝的等比數列，由等比數列前n項和公式得S6＝＝378，解得a1＝192. 在A中，a2＝192×＝96，故A正確； 在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正確； 在C中，a3＝192×＝48，>，故C錯誤； 在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正確． 13．(多選)中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩部分的函數稱為圓O的一個“

14、太極函數”，下列命題正確的是(　　) A．對于任意一個圓O，其“太極函數”有無數個 B．函數f(x)＝ln(x2＋)可以是某個圓的“太極函數” C．正弦函數y＝sin x可以同時是無數個圓的“太極函數” D．函數y＝f(x)是“太極函數”的充要條件為函數y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形 解析：選AC.過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O，其“太極函數”有無數個，故A正確； 函數f(x)＝ln(x2＋)的圖象如圖1所示， 故其不可能為圓的“太極函數”，故B錯誤； 將圓的圓心放在正弦函數y＝sin x圖象的對稱中心上，則正弦函數y＝sin x是

15、該圓的“太極函數”，從而正弦函數y＝sin x可以同時是無數個圓的“太極函數”，故C正確；函數y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數”，但函數y＝f(x)是“太極函數”時，圖象不一定是中心對稱圖形，如圖2所示，故D錯誤． 二、填空題 14.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分(即榫卯結構)嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形

16、容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計) 解析：表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 15．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及一些應用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設F1，F2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點P的橫坐標為________． 解析：由題意知

17、半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點P在圓x2＋y2＝3上，設P(x，y)，聯立，得得P. 故點P的橫坐標為. 答案： 16．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現了黃金分割，其比值約為 0．618，這一數值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________． 解析：由題設n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 17．(2019·高考全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信

18、形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個面，其棱長為________． 解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個正方形，8個正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設題中的半正多面體的棱長為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長為－1. 答案：26　－1 - 8 -