(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文 新人教A版

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1、第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,過點(diǎn)F(,0)作傾斜角為60°的直線交曲線C′于A,B兩點(diǎn),求|FA|·|FB|.  解:(1)直線l的普通方程為2x-y+2=0, 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4. (2)因?yàn)? 所以C′的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. 易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 將直線AB的參數(shù)方程代入曲線C′:+y2=1, 得t2+t-1=0,

2、設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1·t2=-, 所以|FA|·|FB|=|t1·t2|=. 2.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知曲線C1:x2+(y-3)2=9,A是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,以極點(diǎn)O為中心,將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線C2. (1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于P,Q兩點(diǎn), 定點(diǎn)M(-4,0),求△MPQ的面積. 解:(1)曲線C1:x2+(y-3)2=9,把代入可得,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=6sin θ. 設(shè)B(ρ,θ)

3、,則A, 則ρ=6sin(θ-)=-6cos θ. 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=-6cos θ. (2)M到直線θ=的距離為d=4sin=2, 射線θ=與曲線C1的交點(diǎn)P, 射線θ=與曲線C2的交點(diǎn)Q, 所以|PQ|=3-3, 故△MPQ的面積S=×|PQ|×d=3-3. 3.(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2 θ=2acos θ(a>0),過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l:(t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點(diǎn). (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|

4、PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值. 解:(1)把代入ρsin2θ=2acos θ,得y2=2ax(a>0), 由(t為參數(shù)),消去t得x-y-2=0, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是y2=2ax(a>0),x-y-2=0. (2)將(t為參數(shù))代入y2=2ax,整理得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0. 設(shè)t1,t2是該方程的兩根,則t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a), 由題意知,|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,所以8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),所以a=1. 4

5、.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(β為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程; (2)已知射線l1:θ=α,將射線l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線l2:θ=α-,且射線l1與曲線C1交于O,P兩點(diǎn),射線l2與曲線C2交于O,Q兩點(diǎn),求|OP|·|QQ|的最大值. 解:(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4, 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ, 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4, 所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ. (2)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1,α),

6、 即ρ1=4cos α,點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為, 即ρ2=4sin, 則|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cos α·4sin =16cos α· =8sin-4. 因?yàn)棣痢?,所?α-∈. 當(dāng)2α-=,即α=時(shí),|OP|·|OQ|取最大值4. 5.(2019·石家莊市質(zhì)量檢測(cè))已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,將曲線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得到曲線C2. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),點(diǎn)Q為曲線

7、C2上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值. 解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ, 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4. 設(shè)曲線C1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′,y′), 則即 代入曲線C1的直角坐標(biāo)方程(x-2)2+y2=4中,整理得x′2+=1, 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+=1. (2)設(shè)Q(cos θ1,2sin θ1),由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為3x-2y-8=0,則Q到直線l的距離d==, 當(dāng)cos(θ1+α)=-1時(shí),d取得最大值,為, 所以點(diǎn)Q到直線l距離的最大值為. 6.(201

8、9·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. (1)若曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程; (2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), A(0,1),且曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為P,Q,求+的取值范圍. 解:(1)ρ=2cos θ,則ρ2=2ρcos θ. 因?yàn)棣?=x2+y2,x=ρcos θ, 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 將曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)α,可得曲線C2的普通方程為x2+(y-1)2=t2. (2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2+y2-2x=0得,t2+(2sin α-2cos α)t+1=0. 因?yàn)棣ぃ?2sin α-2cos α)2-4=8sin2-4>0, 所以sin2>,所以∈. 設(shè)P,Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2則t1+t2=-(2sin α-2cos α)=-2sin,t1·t2=1. 因?yàn)閠1·t2=1>0,所以t1,t2同號(hào), 所以|t1|+|t2|=|t1+t2|. 由t的幾何意義可得+=+===|t1+t2|=2, 所以+∈(2,2]. - 5 -

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