（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題08 等差數(shù)列（含解析）

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1、專題08 等差數(shù)列 【母題來源一】【2019年江蘇】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是___________． 【答案】16 【解析】由題意可得：， 解得：， 則. 【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組. 【命題意圖】 （1）理解等差數(shù)列的概念. （2）掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 【命題規(guī)律】 等差數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等為考查重點(diǎn)，題型一般為填空題，

2、解題時(shí)要注意性質(zhì)的應(yīng)用，充分結(jié)合函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想求解. 常見的命題角度有： （1）等差數(shù)列基本量的計(jì)算； （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求解； （3）等差數(shù)列的判定與證明； （4）等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用； （5）等差數(shù)列的文化背景問題. 【方法總結(jié)】 （一）等差數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路： （1）設(shè)基本量a1和公差d． （2）列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量． （二）求解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法主要有兩種： （1）定義法. （2）前項(xiàng)和法，即根據(jù)前項(xiàng)和與的關(guān)系求解. （三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

3、的應(yīng)用方法： 根據(jù)不同的已知條件選用不同的求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用； 若已知通項(xiàng)公式，則使用，同時(shí)注意與性質(zhì)“”的結(jié)合使用. （四）等差數(shù)列的判定與證明的方法： 定義法：或是等差數(shù)列； 定義變形法：驗(yàn)證是否滿足； 等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列； 通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列； 前n項(xiàng)和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列． （五）等差數(shù)列的性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn)之一，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解可使題目減少運(yùn)算量，題型以填空題為主，難度不大，屬中低檔題. 應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的注意點(diǎn)： （1）熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì) 等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公

4、式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題. （2）應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵 尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如若，則 ，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立，再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn中的n為奇數(shù)時(shí)，才有Sn=na中成立. （六）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題 （1）二次函數(shù)法： ，由二次函數(shù)的最大值、最小值的知識(shí)及知，當(dāng)n取最接近的正整數(shù)時(shí)，取得最大（?。┲担珣?yīng)注意，最接近的正整數(shù)有1個(gè)或2個(gè)． 注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件. （2）通項(xiàng)公式法： 求使()成立時(shí)最大的n值即可．

5、一般地，等差數(shù)列中，若，且，則 ①若為偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大； ②若為奇數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，最大． （3）不等式法：由，解不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和的最大值． 1．【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，則的所有值為____________. 【答案】3，4 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為， 因?yàn)椋?，，成等比?shù)列， 所以，即， 解得或. 所以或. 故答案為3，4. 2．【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】等差數(shù)列中，，前項(xiàng)的和，則的值為____________. 【答案】 【解析】由題得. 故答案

6、為. 3．【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為____________. 【答案】24 【解析】因?yàn)?，所以?32，即11＝132，所以＝12， 又，所以＝18， 因?yàn)?，所以?4. 故答案為24. 4．【江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港））2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】在等差數(shù)列中，若，，則的前6項(xiàng)和的值為____________. 【答案】 【解析】依題意，得， 化簡(jiǎn)，得，解得， 所以＝. 故答案為. 5．【江蘇省南通市2019屆高三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè)等差數(shù)列的公差為，其

7、前項(xiàng)和為，若，，則的值為____________. 【答案】 【解析】由，2S12=S2+10， 得，解得d=﹣10． 故答案為﹣10． 6．【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷（三）數(shù)學(xué)試題】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是____________. 【答案】 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由a1＝1，S2＞S3，得2+d＞3+3d，即2d＜﹣1，d． 不妨取d＝﹣1，可得an＝1﹣（n﹣1）＝﹣n+2． 故答案為an＝﹣n+2（答案不唯一）． 7．【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為_

8、___________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以， 又因?yàn)椋? 所以， 所以，， 所以. 故答案為. 8．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，且，則實(shí)數(shù)的最大值為____________. 【答案】 【解析】， 則， ∵，∴令， 因此， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)， 故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)有最大值，最大值為. 故答案為. 9．【鹽城市2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題】若數(shù)列的首項(xiàng)，且，則=____________. 【答案】 【解析】由， 得且 所以， 即是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， 則=n+1，從

9、而. 故答案為. 10．【江蘇省無錫市錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2019屆高三12月月考數(shù)學(xué)試題】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則=____________. 【答案】19 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 則， 所以， 又也為等差數(shù)列，所以， 所以d=2， 所以. 故答案為19. 11．【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意n，都有≤成立，則正整數(shù)k的值為____________. 【答案】10 【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，， 兩式相減，得3d＝－9，所以d＝－3， 由等差中項(xiàng)得，即，解得：＝29， 所以＝， 當(dāng)n＝時(shí)，取得最大值，但n是正整數(shù)， 所以，當(dāng)n＝10時(shí)，取得最大值， 對(duì)任意n，都有≤成立，顯然k＝10. 故答案為10. 12．【河南省焦作市2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)】記首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________. 【答案】 【解析】由，得. 因?yàn)?，所以? 所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. （1）當(dāng)時(shí)，由得. 因?yàn)椋? （2）當(dāng)時(shí)，由得. 因?yàn)椋? 綜上所述，的取值范圍是. 8