專(zhuān)題二 三角函數(shù)、平面向量與解三角形

《專(zhuān)題二 三角函數(shù)、平面向量與解三角形》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專(zhuān)題二 三角函數(shù)、平面向量與解三角形（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題二　三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第6講 三角恒等變換與三角函數(shù) [云覽高考] 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 題型(頻率) 考例(難度) 考點(diǎn)1　三角恒等變換 選擇(5) 填空(1) 2012遼寧卷7(A)，2012廣東卷16(B)，2012江西卷4(A) 考點(diǎn)2　三角函數(shù)的圖象與解析式 選擇(4)填空(1) 解答(1) 2012北京卷15(B)，2012安徽卷16(B)，2012浙江卷4(B) 考點(diǎn)3　三角函數(shù)性質(zhì)及綜合問(wèn)題 選擇(2) 解答(8) 2012課程標(biāo)準(zhǔn)卷9(B)，2012四川卷18(B) 說(shuō)明：A表示簡(jiǎn)單題，B表示中等題，C表示難題．頻率為分析

2、2012各省市課標(biāo)卷情況． 二輪復(fù)習(xí)建議 命題角度：該部分的命題主要圍繞三個(gè)點(diǎn)展開(kāi)．第一個(gè)點(diǎn)是圍繞三角恒等變換展開(kāi)，考查使用和、差角公式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系等進(jìn)行變換求值問(wèn)題，試題難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞三角函數(shù)的圖象展開(kāi)，考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合等問(wèn)題；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞三角函數(shù)性質(zhì)展開(kāi)，考查根據(jù)三角函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)推斷函數(shù)解析式中的參數(shù)等問(wèn)題． 預(yù)計(jì)2013年的考查會(huì)延續(xù)近幾年的命題方向，主要考查簡(jiǎn)單的三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)建議：根據(jù)課標(biāo)區(qū)五年來(lái)對(duì)該部分的考

3、查情況，該部分無(wú)論在考查難度還是在考查量(分值)上都與其地區(qū)有較大的差異，五年來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)一道解答題，即使是選擇題、填空題其大多數(shù)的難度也都在A，B兩個(gè)層級(jí)，安徽、廣東、陜西等其他新課標(biāo)省份每年都單獨(dú)考查一個(gè)三角恒等變形、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的解答題，難度不大，因此復(fù)習(xí)該部分時(shí)主要以基礎(chǔ)為主，注重小題為主，兼顧大題，不要過(guò)分展開(kāi)． 主干知識(shí)整合 　1.三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式 (1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函數(shù)

4、值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. (3)誘導(dǎo)公式：在360°±α，180°±α，－α，90°±α，270°±α的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”． 2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)圖象的記憶：根據(jù)正弦函數(shù)圖象過(guò)(0,0)、余弦函數(shù)圖象過(guò)(0,1)、正切函數(shù)圖象過(guò)(0,0)及在各象限的符號(hào)記憶； (2)性質(zhì)的記憶：由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象理解各函數(shù)的性質(zhì)，包括：定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性． 3．y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì) y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(

5、ωx＋φ)的最小正周期是， y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是.其定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)結(jié)合y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性質(zhì)理解． 4.恒等變換公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ， cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ， tan(α±β)＝，sin2α＝2sinαcosα， cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　三角恒等變換 例1 (1)設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為(　A　) A．－3 B．－

6、1 C．1 D．3 (2)[2012·山東卷] 若θ∈，sin2θ＝，則sinθ＝(　D　) A. B. C. D. [規(guī)范評(píng)析] 三角恒等變換的主要題目類(lèi)型是求值，在求值時(shí)只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計(jì)算即可．本例(1)從整體上求解，實(shí)際上也可以直接求出tanα，tanβ的值，再代入和角正切公式求解；本例(2)的主要問(wèn)題是使用同角三角函數(shù)關(guān)系和降冪公式，在開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取，其基本原則是依據(jù)角所在的象限確定三角函數(shù)值的符號(hào)． 變式題 (1)若tan(π－α)＝－，則的值為(　D　) A

7、. B. C．－ D. (2)設(shè)α，β都是銳角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，則cosβ＝(　D　) A. B. C.或 D.或 ?　探究點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式 例2 (1)[2012·浙江卷] 把函數(shù)y＝cos2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是(　A　) 圖2－6－1 (2)函數(shù)的部分圖象如圖2－6－2所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象解析式為(

8、　D　) 圖2－6－2 A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝sin D．y＝sin [規(guī)范評(píng)析] 根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)圖象時(shí)要注意對(duì)已知的函數(shù)解析式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后再根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則找出符合要求的函數(shù)圖象；根據(jù)函數(shù)圖象得出函數(shù)解析式時(shí)，要善于根據(jù)函數(shù)圖象上反映出的函數(shù)性質(zhì)、特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)． 變式題 (1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<，x∈R的部分圖象如圖2－6－3所示，則(A) A． f(x)＝－4sin B．f(x)＝4sin B． C．f

9、(x)＝－4sin D．f(x)＝4sin 圖2－6－3 (2)設(shè)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖2－6－4所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　D　) A．－ B．－ C. D．－ 　 圖2－6－4 ?　探究點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì)與綜合問(wèn)題 例3 (1)[2012·湖南卷] 函數(shù)f(x)＝sinx－cos的值域?yàn)?　B　) A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D. (2)[2012·課程標(biāo)準(zhǔn)卷] 已

10、知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　A　) A. B. C. D．(0,2] [規(guī)范評(píng)析] 三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式變換函數(shù)解析式．三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的單調(diào)性也可以使用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究． 規(guī)律技巧提煉 ?規(guī)律　解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類(lèi)的試題，變換是核心，把三角函數(shù)的解析式通過(guò)變換，化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù)，然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究． ?技巧　1.角的變換技巧，如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(2α

11、＋θ)－θ＝·4α等，基本原則是化未知為已知． 2．當(dāng)已知sinα±cosα?xí)r，可以與同角三角函數(shù)關(guān)系聯(lián)合使用，同時(shí)注意(sinα±cosα)2＝1±sin2α，利用這個(gè)關(guān)系可進(jìn)行換元，如求y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域，只要令t＝sinx＋cosx，則sin2x＝t2－1，即化為求y＝t2＋t－1，t∈[－，]的值域． ?易錯(cuò)　1.求三角函數(shù)值域時(shí)，在自變量的范圍內(nèi)存在函數(shù)最值時(shí)容易出錯(cuò)，如求y＝sin在上的值域，此時(shí)2x＋∈，此時(shí)函數(shù)值是從增大到1，再減小到，其值域是，不是. 2．圖象均是由點(diǎn)構(gòu)成，圖象變換也就是點(diǎn)的變換，而點(diǎn)是由橫、縱坐標(biāo)組成，圖象變換的本質(zhì)就是橫、縱

12、坐標(biāo)作相應(yīng)的變化，所以從改變橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y的角度看，有平移變換與伸縮變換：平移變換分為水平方向上的平移(y不變，x都改變相同的量)和垂直方向上的平移(x不變，y都改變相同的量)；伸縮變換分水平方向上的伸縮(y不變，x都改變相同的率)和垂直方向上的伸縮(x不變，y都改變相同的率)，如函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移個(gè)單位應(yīng)是y＝sin，而不是y＝sin. 命題立意追溯 運(yùn)算求解能力——三角變換的方法技巧 示例 已知α為第二象限角，sinα＋cosα＝，則cos2α＝(　A　) A．－ B．－ C. D. [命題闡釋] 本題的立意是考查使用三角

13、恒等變換公式進(jìn)行運(yùn)算的能力．通過(guò)靈活選用公式、不同方位變換已知和求解目標(biāo)，考查運(yùn)算的合理性和靈活性． [跟蹤練] 1．已知sinθ＋cosθ＝，則sinθ－cosθ的值為(　B　) A. B．－ C. D．－ 2．如果α為第二象限角且sinα＝，則(　B　) A. B．－ C. D．－ 教師備用例題 選題理由：例1說(shuō)明角的變換方法，具有較高的技巧性，可在探究點(diǎn)一中使用；例2是由函數(shù)性質(zhì)推斷函數(shù)解析式，可在探究點(diǎn)二中使用；例3說(shuō)明三角函數(shù)綜合解答題的模式． 例1　[2012·江蘇卷] 設(shè)α為銳角，若c＝，則的值為_(kāi)_____．

14、 例2　函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(　A　) A. B. C. D. 例3　　[2012·安徽卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2x＋＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x∈R，有＝g(x)，且當(dāng)時(shí)，g(x)＝－f(x)．求g(x)在區(qū)間[－π，0]上的解析式． 第7講 解三角形 [云覽高考] 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 題型(頻率) 考例(難度) 考點(diǎn)1　正弦定理與余弦定理的應(yīng)用 選擇(5) 填空(2) 解答(1) 2012課程標(biāo)準(zhǔn)卷17(1)(B)

15、，2012陜西卷9(B)，2012北京卷11(B)，2012安徽卷15(C)，2012四川卷4(B) 考點(diǎn)2　三角形面積 解答(1) 2012課程標(biāo)準(zhǔn)卷17(2)(B)，2012湖南卷15(C) 考點(diǎn)3　解三角形的實(shí)際應(yīng)用 0 　　 說(shuō)明：A表示簡(jiǎn)單題，B表示中等題，C表示難題． 頻率為分析2012各省市課標(biāo)卷情況． 二輪復(fù)習(xí)建議 命題角度：該部分的命題圍繞三點(diǎn)展開(kāi)．第一點(diǎn)是圍繞利用正弦定理定理解三角形展開(kāi)，目的是考查使用這兩個(gè)定理解一般的斜三角形，通常是選擇題或者填空題；第二點(diǎn)是圍繞解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用展開(kāi)，考查使用正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)的知識(shí)解決

16、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力，一般以解答題的方式進(jìn)行考查；第三點(diǎn)是三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形的交匯，目的是考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，一般以解答題的方式進(jìn)行考查．解三角形是高考中的一個(gè)重要命題點(diǎn)． 預(yù)計(jì)2013年對(duì)該部分的考查會(huì)延續(xù)前幾年的命題方向，并有適度的創(chuàng)新，如把平面向量、三角恒等變換等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查． 復(fù)習(xí)建議：該部分的知識(shí)點(diǎn)不多，但可以與三角函數(shù)、平面向量、實(shí)際應(yīng)用題等問(wèn)題相互交匯，具有較為廣闊的命題背景．從五年來(lái)課程標(biāo)準(zhǔn)卷的考查情況看，該部分出現(xiàn)過(guò)一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題、一個(gè)解三角形與三角變換交匯的解答題，出現(xiàn)過(guò)兩個(gè)難度為C級(jí)的解三角形的試題，因此復(fù)習(xí)該部分時(shí)要重在引導(dǎo)學(xué)生提高使用正

17、弦定理、余弦定理解一般的斜三角形的能力(實(shí)際應(yīng)用題也是解一般的斜三角形)． 主干知識(shí)整合 1.正弦定理 ＝＝＝2R(R為外接圓半徑)， 變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，變形：cosA＝＝－1. 3．面積公式 S＝absinC.導(dǎo)出公式：S＝(R為外接圓半徑)，S＝(a＋b＋c)r(r為內(nèi)切圓半徑)． 4．常用技巧 (1)利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化； (2)若三角形ABC為銳角三角形，則A＋B>，sinA>cosB，cosA<

18、sinB，a2＋b2>c2.類(lèi)比三角形ABC為鈍角三角形可得相應(yīng)結(jié)論. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　正弦定理與余弦定理的應(yīng)用 例1 (1)[2012·天津卷] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosC＝(　A　) A. B．－ C．± D. (2)[2012·陜西卷] 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cosC的最小值為(　C　) A. B. C. D．－ [規(guī)范評(píng)析] 解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的．當(dāng)已知三角形邊長(zhǎng)的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對(duì)

19、角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問(wèn)題的下一步解決方法． 變式題 (1)在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋2BC的最大值為_(kāi)_______． (2)在△ABC中，已知sinB＋sinC＝sinA(cosB＋cosC)，則△ABC的形狀為_(kāi)_______． [答案] (1)2　(2)直角三角形 ?　探究點(diǎn)二　三角形的面積問(wèn)題 例2 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(2c＋b，a)，且m

20、⊥n. (1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面積的最大值． [規(guī)范評(píng)析] 在含有邊角混合等式的問(wèn)題中，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化是問(wèn)題的關(guān)鍵．當(dāng)?shù)仁街泻薪堑挠嘞摇⒄視r(shí)首先要考慮使用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系，以便于問(wèn)題的解決．在解三角形問(wèn)題中要注意方程思想的應(yīng)用，正弦定理、余弦定理本身就是一個(gè)方程，當(dāng)已知三角形面積時(shí)得邊角的一個(gè)方程，就把求解的元素納入到方程中，通過(guò)方程解三角形． ?　探究點(diǎn)三　解三角形的實(shí)際應(yīng)用 例3 如圖2－7－1，某測(cè)量人員，為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以

21、觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1 km. (1)求△CDE的面積；(2)求A，B之間的距離． 如圖2－7－1 [規(guī)范評(píng)析] 解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題就是把求解的量納入到一個(gè)可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中，這個(gè)三角形的一些元素如果不完全具備就要借助于其他的三角形求解，如本題中就是先根據(jù)兩個(gè)可解三角形求出了我們需要求解的三角形的兩邊長(zhǎng)度． 規(guī)律技巧提煉 ?規(guī)律　當(dāng)已知三角形的兩邊和其中一個(gè)邊的對(duì)角求解第三邊時(shí)，可以使用正弦定理，

22、也可以使用余弦定理．使用余弦定理就是根據(jù)余弦定理本身是一個(gè)方程，這個(gè)方程聯(lián)系著三角形的三個(gè)邊和其中的一個(gè)內(nèi)角，在這類(lèi)試題中要注意方程思想的運(yùn)用． ?技巧　在與三角形面積S＝absinC有關(guān)的問(wèn)題中，注意使用不等式ab≤. ?易錯(cuò)　當(dāng)已知兩邊及一邊的對(duì)角，而使用正弦定理解三角形時(shí)，可能有一解、兩解，注意討論；在求與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)取值范圍、最值時(shí)忽視角的范圍. 命題立意追溯 應(yīng)用意識(shí)——通過(guò)解三角形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模 示例[2012·安徽卷] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，則下列命題正確的是________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))．[答案] ①②

23、③ ①若ab>c2，則C<； ②若a＋b>2c，則C<； ③若a3＋b3＝c3，則C<；④若(a＋b)c<2ab，則C>； ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C>. [命題闡釋] 本題考查三角形、正余弦定理以及基本不等式，考查轉(zhuǎn)化化歸思想及運(yùn)算能力，難度較大．逐一判斷，結(jié)合三角形的性質(zhì)、正余弦定理、不等式性質(zhì)以及基本不等式，恰當(dāng)運(yùn)用不等式變形的方法和技巧． [跟蹤練] 在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且a2＋b2＋c2＝2absinC，則△ABC的形狀是________(填寫(xiě)直角、銳角、鈍角或正三角形). 教師備用例題 選題理由：例1較為全面地

24、考查了解三角形的知識(shí)和三角函數(shù)的知識(shí)在處理平面圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，可作探究點(diǎn)二的補(bǔ)充；例2主要考查三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，正弦定理只是輔助作用，這也是三角函數(shù)解答題的命題方式之一，可作探究點(diǎn)二的補(bǔ)充． 例1　 在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c＝2，且＝＝.(1)求證：△ABC是直角三角形； (2)如圖，設(shè)圓O過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，求△PAC面積的最大值． 例2　[2012·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A＝，. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積．

25、 第8講 平面向量及向量的應(yīng)用 云覽高考] 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 題型(頻率) 考例(難度) 考點(diǎn)1　平面向量的概念與線性運(yùn)算 選擇(6) 2012廣東卷3(A)，2012安徽卷8(B) 考點(diǎn)2　平面向量的數(shù)量積 選擇(2) 填空(3) 2012課程標(biāo)準(zhǔn)卷13(A)，2012廣東卷8(C)，2012安徽卷14(B) 考點(diǎn)3　向量的平行與垂直 選擇(5) 2012四川卷7(A)，2012浙江卷5(A)，2012重慶卷6(A) 　說(shuō)明：A表示簡(jiǎn)單題，B表示中等題，C表示難題． 頻率為分析2012各省市課標(biāo)卷情況． 二輪復(fù)習(xí)建議 命題角度：該部分的命題主要圍繞三個(gè)點(diǎn)

26、展開(kāi)．第一個(gè)點(diǎn)是圍繞平面向量本身的重點(diǎn)內(nèi)容展開(kāi)，考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、向量的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用等，目的是考查平面向量的核心內(nèi)容，試題一般是選擇題或者填空題，難度也不大；第二點(diǎn)是與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何等交匯考查，平面向量的知識(shí)起到表達(dá)三角函數(shù)關(guān)系、三角形中的邊角關(guān)系、解析幾何中的幾何關(guān)系的作用，這里考查的向量的知識(shí)是基礎(chǔ)性的，目的是考查平面向量的工具性功能；第三點(diǎn)是向量與不等式的性質(zhì)、基本不等式結(jié)合，這主要考查在不同形式下對(duì)代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化的能力． 預(yù)計(jì)2013年對(duì)該部分的考查仍然會(huì)以基礎(chǔ)考查為主，考查平面向量的核心內(nèi)容，在解析幾何、三角函數(shù)、解三角形中考查平面向量

27、的平行、垂直、數(shù)量積以及向量和不等式結(jié)合等問(wèn)題． 復(fù)習(xí)建議：平面向量既是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)也是工具性知識(shí)，從全國(guó)課標(biāo)近五年高考考查的情況看，單純平面向量的考查均為選擇題或者填空題，其中兩次使用平面向量表達(dá)解析幾何試題，因此在本講中以平面向量本身的核心內(nèi)容為主，適度涉及平面向量與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何以及不等式的綜合． 主干知識(shí)整合 1.向量的概念 (1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做該向量的模．長(zhǎng)度為0，方向任意的向量為零向量，0與任一非零向量共線． (

28、2)向量夾角：a，b的夾角記為〈a，b〉，范圍是. (3)投影：〈a，b〉＝θ，cosθ叫做b在a方向上的投影．投影是數(shù)量． 2．向量的運(yùn)算與重要法則 (1)加法、減法運(yùn)算：a＋b為平行四邊形法則，a－b為三角形法則； (2)數(shù)乘運(yùn)算：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb； (3)數(shù)量積運(yùn)算：a·b＝b·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)． 3．兩非零向量平行、垂直的充要條件 (1)共線條件：a，b(b≠0)共線?存在λ，a＝λb，坐標(biāo)表示為(x1，y1)＝λ(x2，y2)?x1y2＝x2y1； (

29、2)垂直條件：a⊥b?a·b＝0，坐標(biāo)表示為x1x2＋y1y2＝0. 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例1 (1)[2012·廣東卷] 若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝(　A　) A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) (2)在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2＋＝－，那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是(　A　) A. B. C. D. [點(diǎn)評(píng)] 向量的線性運(yùn)算是指加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，它們具有明確的幾何運(yùn)算方法，解題時(shí)只要按照運(yùn)算法則進(jìn)行即可．要特別注意對(duì)向量按照減法法則進(jìn)行分解時(shí)，對(duì)任意一點(diǎn)，分解的結(jié)果是“終點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量”，這是

30、極容易出錯(cuò)的地方． ?　探究點(diǎn)二　平面向量的數(shù)量積問(wèn)題 例2 (1)[2012·課程標(biāo)準(zhǔn)卷] 已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. (2)[2012·天津卷] 已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ＝(　　) A. B. C. D. [答案] (1)3　(2)A [點(diǎn)評(píng)] 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的核心內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)．本例第一題中使用的是2＝(a＋b)·(a＋b)＝2＋2a·b＋2，這是根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律得出的結(jié)果，在求解向量的模中起重要作用；本例第二題采用的

31、基向量的方法，即把問(wèn)題涉及的向量都用兩個(gè)已知長(zhǎng)度和夾角的不共線向量表示(平面向量基本定理)，這是解決平面向量問(wèn)題的一個(gè)基本技能．本例的兩個(gè)題目都可以建立平面直角坐標(biāo)系使用坐標(biāo)方法解決，如第一題，把向量a，b起點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a的終點(diǎn)放在x軸正半軸上，則a＝(1,0)，向量b的終點(diǎn)放在第一象限，設(shè)＝r，根據(jù)三角函數(shù)定義，b＝，此時(shí)2a－b＝，由于＝，所以， 即r2－2r－6＝0，解之即得r＝3. 變式題 平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　C　) A. B. C. D. ?　探究點(diǎn)三　有關(guān)向量的平行、垂直問(wèn)題 例3 (1)設(shè)x，y

32、∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　B　) A. B. C．2 D．10 (2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件是(　C　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| [點(diǎn)評(píng)] 根據(jù)平行關(guān)系、垂直關(guān)系求解待定系數(shù)是高考中經(jīng)?？疾榈膯?wèn)題，其基本思想是根據(jù)兩向量平行、垂直的充要條件得出方程，通過(guò)解方程求得結(jié)果；本例第二題中，都是單位向量，兩個(gè)單位向量相等的充要條件是其方向相同，因此對(duì)非零向量a，b，＝?a＝λb(λ>0)． 變式題 (1)在△ABC中，若＝·＋·

33、＋·，則△ABC是(　D　) A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形 (2)如圖2－8－1，已知||＝3，||＝1，·＝0， ∠AOP＝，若＝t＋，則實(shí)數(shù)t等于(　B　) 圖2－8－1 A. B. C. D．3 ?　探究點(diǎn)三　平面向量的綜合應(yīng)用 例4 [2012·安徽卷] 若平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值是________．－. [點(diǎn)評(píng)] 本題考查平面向量的運(yùn)算和函數(shù)最值的分析，考查分析能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想．隨著新課標(biāo)高考內(nèi)容的變化，向量與平面幾何結(jié)合已經(jīng)不可能考查得很深入，有一個(gè)熱點(diǎn)要引起我們的重視，那就是向

34、量與不等式． 規(guī)律技巧提煉 ?規(guī)律　1.對(duì)于非零向量a，b，當(dāng)|a＋b|＝|a－b|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|等價(jià)于向量a，b互相垂直，反之也成立． 2．點(diǎn)O不在直線AB上，A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是＝λ＋μ(λ＋μ＝1)． ?技巧　向量的問(wèn)題可以根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行純粹的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)向量問(wèn)題的代數(shù)化．在試題中不含有向量的坐標(biāo)時(shí)，要善于根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，在不改變問(wèn)題本質(zhì)的情況下建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把向量問(wèn)題代數(shù)化． ?易錯(cuò)　減法法則很容易使用錯(cuò)誤，向量＝－(其中O為我們所需要的任何一個(gè)點(diǎn))，這個(gè)法則就是終

35、點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量．兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)，要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線. 命題立意追溯 運(yùn)算求解能力——建立平面直角坐標(biāo)系解決向量數(shù)量積問(wèn)題 示例 [2012·北京卷] 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為_(kāi)__1_____.·的最大值為_(kāi)___1____． [命題闡釋] 本題立意是通過(guò)平面向量的數(shù)量積考查運(yùn)算求解能力，題目在正方形中考查向量的數(shù)量積，一個(gè)明顯的意圖就是引導(dǎo)考生使用坐標(biāo)方法解決問(wèn)題，實(shí)際上坐標(biāo)方法求解本題非常方便，這體

36、現(xiàn)了運(yùn)算合理性、簡(jiǎn)捷性的要求． [跟蹤練] 1．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動(dòng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，設(shè)＝α·＋β·，則α＋β的最大值是(　A　) A. B. C．1 D. 2．在△ABC中，∠BAC＝120°，||＝2，||＝1，點(diǎn)P滿足＝λ(0≤λ≤1)，則2－·的取值范圍是(　D　) A.　B.　C.　D. 教師備用例題 選題理由：例1把三角函數(shù)與平面向量交匯，重點(diǎn)是思考問(wèn)題的方法，可供學(xué)生開(kāi)闊思路；例2是從另一個(gè)角度說(shuō)明了三角函數(shù)定義域和平面向量的旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系，也可從向量的數(shù)量積出發(fā)求解，這個(gè)題目蘊(yùn)含的基本思想是復(fù)數(shù)乘

37、法的幾何意義，也可供開(kāi)闊學(xué)生思路使用；例3是一個(gè)新定義試題，有利于提高學(xué)生的理解能力．這三個(gè)例題可在本講適當(dāng)位置插入． 例1　　[2012·山東卷] 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [答案] (2－sin2,1－cos2) 例2　[2012·安徽卷] 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(　A　) A．(－7，－) B．(－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2) 例3[2012·廣東卷] 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝(　C　) A. B．1 C. D. 13