《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第39講 排列、組合、二項式定理

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1、普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案〔講座39〕—排列、組合、二項式定理 一．課標要求： 1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理 通過實例，總結出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題； 2．排列與組合 通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題； 3．二項式定理 能用計數(shù)原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。 二．命題走向 本局部內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列與

2、組合、二項式定理三局部；考查內(nèi)容：〔1〕兩個原理；〔2〕排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應用；〔3〕二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和。 排列、組合不僅是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。 考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預測2007年高考本局部內(nèi)容一定會有題目涉及，出現(xiàn)選擇填空的可能性較大，與概率相結合的解答題出現(xiàn)的可能性較大。

3、三．要點精講 1．排列、組合、二項式知識相互關系表 2．兩個根本原理 〔1〕分類計數(shù)原理中的分類； 〔2〕分步計數(shù)原理中的分步； 正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。 3．排列 〔1〕排列定義，排列數(shù) 〔2〕排列數(shù)公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)； 〔3〕全排列列： =n!； 〔4〕記住以下幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．組合 〔1〕組合的定義，排列與組合的區(qū)別； 〔2〕組合數(shù)公式：Cnm==； 〔3〕組合數(shù)的性質 ①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…

4、+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1； 5．二項式定理 〔1〕二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn； 〔2〕通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk； 6．二項式的應用 〔1〕求某些多項式系數(shù)的和； 〔2〕證明一些簡單的組合恒等式； 〔3〕證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題； 〔4〕近似計算。當|x|充分小時，我們常用以下公式估計近似值： ①(1+x)n≈1+n

5、x；②(1+x)n≈1+nx+x2；〔5〕證明不等式。 四．典例解析 題型1：計數(shù)原理 例1．完成以下選擇題與填空題 〔1〕有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，那么不同的投法有 種。 A．81 B．64 C．24 D．4 〔2〕四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是〔 〕 A．81 B．64 C．24 D．4 〔3〕有四位學生參加三項不同的競賽， ①每位學生必須參加一項競賽，那么有不同的參賽方法有 ； ②每項競賽只許有一位學生參加，那么有不同的參賽方法有 ； ③每位

6、學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，那么不同的參賽方法有 。 解析：〔1〕完成一件事是“分步〞進行還是“分類〞進行，是選用根本原理的關鍵。將“投四封信〞這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個不同信箱的三種方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案選A。 此題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個信箱中，有C31種投法；②四封信投入兩個信箱中，有C32〔C41·A22+C42·C22〕種投法；③四封信投入三個信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32〔C41·A22+C42C22〕+C42·A33=81

7、〔種〕。應選A。 〔2〕因學生可同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將4名學生看作4個“店〞，3項冠軍看作“客〞，每個“客〞都可住進4家“店〞中的任意一家，即每個“客〞有4種住宿法。由分步計數(shù)原理得：N=4×4×4=64。 故答案選B。 〔3〕①學生可以選擇工程，而競賽工程對學生無條件限制，所以類似〔1〕可得N=34=81〔種〕； ②競賽工程可以挑學生，而學生無選擇工程的時機，每一項可以挑4種不同學生，共有N=43=64〔種〕； ③等價于從4個學生中挑選3個學生去參加三個工程的競賽，每人參加一項，故共有C43·A33=24〔種〕。 例2．〔06江蘇卷〕今有2個紅球、3個黃球、4個白

8、球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有　　種不同的方法〔用數(shù)字作答〕。 解析：此題考查排列組合的根本知識，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有。 點評：分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是根底方法，在高中數(shù)學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比擬復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,到達求解的目的。 題型2：排列問題 例3．〔1〕〔06北京卷〕在這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有〔 〕 〔A〕36個 〔B〕24個 〔C〕

9、18個 〔D〕6個 〔2〕〔06福建卷〕從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，假設這3人中至少有1名女生，那么選派方案共有〔 〕 〔A〕108種　　　 〔B〕186種　　　 　〔C〕216種　　　　 〔D〕270種 〔3〕〔06湖南卷〕在數(shù)字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是〔 〕 A．6 　　　　B. 12 　　　　C. 18　　　 D. 24 〔4〕(06重慶卷)高三〔一〕班學要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，

10、要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，那么不同排法的種數(shù)是〔 〕 〔A〕1800 〔B〕3600 〔C〕4320 〔D〕5040 解析：〔1〕依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：〔1〕3個數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法〔2〕3個數(shù)字中有一個是奇數(shù)，有，故共有＋＝24種方法，應選B； 〔2〕從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B； 〔3〕先排列1，2，3，有種排法，再將“＋〞，“－〞兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B； 〔4〕不同排法的種數(shù)為＝3600，應選B。 點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首

11、先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。 例4．〔1〕〔06天津卷〕用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，那么其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有　　　個〔用數(shù)字作答〕； 〔2〕〔06上海春〕電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，那么共有 種不同的播放方式〔結果用數(shù)值表示〕. 解析：〔1〕可以分情況討論：① 假設末位數(shù)字為0，那么1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個數(shù)字，共可以組成個五位數(shù)；② 假設末位數(shù)字為2，那么1與它相鄰，其余3個數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，那么有個五位數(shù)；③ 假

12、設末位數(shù)字為4，那么1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，那么有=8個五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個。 〔2〕分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應當填 A22·A44＝48. 從而應填48。 點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。 題型三：組合問題 例5．〔1〕(06重慶卷)將5名實習教師分配到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，那么不同的分配方案有〔 〕 〔A〕３０種　　　〔B〕９０種 〔C〕１８０種　　　　〔D〕２７０種 〔2

13、〕〔06天津卷〕將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，那么不同的放球方法有〔　　〕 A．10種　　　　　B．20種　　　　　C．36種 　　　　　D．52種 解析：〔1〕將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，那么將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B； 〔2〕將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；②1號

14、盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；那么不同的放球方法有10種，選A。 點評：計數(shù)原理是解決較為復雜的排列組合問題的根底，應用計數(shù)原理結合 例6．〔1〕(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遙遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，那么不同的選派方案共有 種； 〔2〕〔06全國II〕5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有〔 〕 〔A〕150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 解析：〔1〕可以分情況討論，① 甲去，那么乙不去，有=480種選法；②甲不去，乙去

15、，有=480種選法；③甲、乙都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案； 〔2〕人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，假設是1,2,2，那么有＝60種，假設是1,1,3，那么有＝90種，所以共有150種，選A。 點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等； 題型4：排列、組合的綜合問題 例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點〔除原10點外〕，無兩條直線互相平行。求：〔1〕這些直線所交成的點的個數(shù)〔除原10點外〕。〔2〕這些直線交成多少個三角形。 解法一：〔1〕由題設這10點所確定的直線是C102=4

16、5條。 這45條直線除原10點外無三條直線交于同一點，由任意兩條直線交一個點，共有C452個交點。而在原來10點上有9條直線共點于此。所以，在原來點上有10C92點被重復計數(shù)； 所以這些直線交成新的點是：C452－10C92=630。 〔2〕這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求：因為每個三角形對應著三個頂點，這三個點來自上述630個點或原來的10個點。所以三角形的個數(shù)相當于從這640個點中任取三個點的組合，即C6403=43486080〔個〕。 解法二：〔1〕如圖對給定的10點中任取4個點，四點連成6條直線，這6條直線交3個新的點。故原題對應于在10個點中任取4點的不同取法的3倍，即這些

17、直線新交成的點的個數(shù)是：3C104=630。 〔2〕同解法一。 點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。 例8．直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。 解 設傾斜角為θ，由θ為銳角，得tanθ=->0,即a、b異號。 〔1〕假設c=0，a、b各有3種取法，排除2個重復〔3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0〕，故有3×3-2=7〔條〕； 〔2〕假設c≠0，a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有

18、4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條； 點評：此題是1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復的直線。 題型5：二項式定理 例9．〔1〕〔湖北卷〕在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有 A．3項 B．4項 C．5項 D．6項 〔2〕的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是 〔A〕0　　　　　〔B〕2　　　　　〔C〕4　　　　　〔D〕6 解析：此題主要考查二項式展開通項公

19、式的有關知識； 〔1〕，當r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時，x的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數(shù)次冪，應選C； 〔2〕的展開式通項為，因此含x的正整數(shù)次冪的項共有2項.選B； 點評：多項式乘法的進位規(guī)那么。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別。 例10．〔1〕〔06江西卷〕在〔x－〕2006 的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x＝時，S等于〔 〕 3008

20、 B.－23008 C.23009 D.－23009 〔2〕〔06山東卷〕的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為－,其中=－1，那么展開式中常數(shù)項是〔 〕 (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 〔3〕〔06浙江卷〕假設多項式 〔 〕 (A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10 解析：〔1〕設〔x－〕2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2

21、006； 那么當x＝時，有a0〔〕2006＋a1〔〕2005＋…＋a2005〔〕＋a2006＝0 〔1〕， 當x＝－時，有a0〔〕2006－a1〔〕2005＋…－a2005〔〕＋a2006＝23009 〔2〕， 〔1〕－〔2〕有a1〔〕2005＋…＋a2005〔〕＝－23009?2＝－23008，，應選B； 〔2〕第三項的系數(shù)為－，第五項的系數(shù)為，由第三項與第五項的系數(shù)之比為－可得n＝10，那么＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項為＝45，選A； 〔3〕令，得，令，得； 點評：此題考查二項式展開式的特殊值法，根底題； 題型6：二項式定理的應用 例11．證明以下不等式

22、： 〔1〕≥〔〕n,〔a、b∈{x|x是正實數(shù)},n∈N〕; 〔2〕a、b為正數(shù)，且+=1，那么對于n∈N有 〔a+b〕n-an-bn≥22n-2n+1。 證明：〔1〕令a=x+δ，b=x－δ，那么x=； an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n =xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…) ≥2xn 即≥〔〕n 〔2〕(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan 上述兩式相加得： 2(a+b)n=(an+b

23、n)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn) (*) ∵+=1，且a、b為正數(shù) ∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4 又∵?an-kbk+bn-kak≥2=2()n(k=1,2,…,n-1) ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22〔〕n+…+Cnn-12()n ∴(a+b)n－an-bn ≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·〔〕n ≥(2n－2)·2n =22n－2n+1 點評：利用二項式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關的不等式問題。題〔1〕中的換元法稱之為均值換元〔對稱換元〕。這樣消

24、去δ奇數(shù)次項，從而使每一項均大于或等于零。題〔2〕中，由由稱位置二項式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項式展開式解題的常用方法。 例12．〔1〕求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)； 〔2〕7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？ 〔3〕根據(jù)以下要求的精確度，求5的近似值。①精確到0.01；②精確到。 解析：〔1〕首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù)。 ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1， ∴其被4整除的余數(shù)為1， ∴被

25、20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17， 然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。 ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)， ∴被5整除的余數(shù)為4， ∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。 綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。 〔2〕 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7 =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1 (i)當n為奇數(shù)時 原式=9n-C

26、n1·9n-1+Cn2·9n-2+…+〔－1〕n-1Cnn-1·9－2 ∴除以9所得余數(shù)為7。 (ii)當n為偶數(shù)時 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。 〔3〕(1.02)5≈〔1〕5 =1+c51·0.02+C52·2+C53·3+C544+C55·5 ∵C52×2=0.004,C53×3=8×10-5 ∴①當精確到0.01時，只要展開式的前三項和，1+，近似值為1.10。 ②當精確到時，只要取展開式的前四項和，1+，近似值為。 點評：〔1〕用二項式定理來處理余數(shù)問題或

27、整除問題時，通常把底數(shù)適當?shù)夭鸪蓛身椫突蛑钤侔炊検蕉ɡ碚归_推得所求結論； 〔2〕用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。 五．思維總結 解排列組合應用題的根本規(guī)律 1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯(lián)合使用。 2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。 3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮： 〔1〕元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素； 〔2〕位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置； 〔3〕整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件

28、的排列數(shù)。 4．對解組合問題，應注意以下三點： 〔1〕對“組合數(shù)〞恰當?shù)姆诸愑嬎?，是解組合題的常用方法； 〔2〕是用“直接法〞還是“間接法〞解組合題，其原那么是“正難那么反〞； 〔3〕設計“分組方案〞是解組合題的關鍵所在。 普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案〔講座36〕—空間向量及其應用 一．課標要求： 〔1〕空間向量及其運算 ① 經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程； ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示； ③ 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示； ④ 掌握空

29、間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 〔2〕空間向量的應用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量； ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系； ③ 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理〔包括三垂線定理〕； ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 二．命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 預測07年高考對本講內(nèi)容的考查將側重于向

30、量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。 三．要點精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。 說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是

31、空間的平移。 2．向量運算和運算率 加法交換率： 加法結合率： 數(shù)乘分配率： 說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的假設干向量之和；②向量加法的平行四邊形法那么在空間仍成立。 3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。 注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。 共線向量定理：對空間任意兩個向量〔≠〕、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個

32、方面：①性質定理：假設∥〔≠0〕，那么有＝，其中是唯一確定的實數(shù)。②判斷定理：假設存在唯一實數(shù)，使＝〔≠0〕，那么有∥〔假設用此結論判斷、所在直線平行，還需〔或〕上有一點不在〔或〕上〕。 ⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。 ⑶假設直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導的表達式。 推論：如果?l為經(jīng)過點A且平行于非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量。 在l上取，那么①式可化為

33、 ② 當時，點P是線段AB的中點，那么 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的根底，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法那么記憶方程。 4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果兩個向量、不共線，那么向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使① 注：與共線向量定理

34、一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。 推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序實數(shù)對x、y，使 ④ 或對空間任一定點O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點P對應的實數(shù)對〔x, y〕是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一〔它們只是形式不同的同一等式〕，點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、〔或不共線三點M、A、B〕確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。 5．空間向量根本定理：

35、如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組x, y, z, 使 說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。 推論：設O、A、B、C是不共面的四點，那么對空間任一點P，都存在唯一的有序實數(shù)組，使 6．數(shù)

36、量積 〔1〕夾角：兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，那么角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 A B O 〔1〕 O A B 〔2〕 A B O 〔3〕 說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，那么稱與互相垂直，記作⊥； A B O 〔4〕 ⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖〔3〕、〔4〕中的兩個向量的夾角不同， 圖〔3〕中∠AOB=， 圖〔4〕中∠AOB=, 從而有==.

37、 〔2〕向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。 〔3〕向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。 A B l 即=， 向量: 〔4〕性質與運算率 ⑴。 ⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶ ⑶ 四．典例解析 題型1：空間向量的概念及性質 例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；③向量是空間的一個基底，那么向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是〔 〕 ①②

38、 ①③ ②③ ①②③ 解析：對于①“如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系一定共線〞；所以①錯誤。②③正確。 點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。 例2．以下命題正確的選項是〔 〕 假設與共線，與共線，那么與共線； 向量共面就是它們所在的直線共面； 零向量沒有確定的方向； 假設，那么存在唯一的實數(shù)使得； 解析：A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。 答案C。 點評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著

39、零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧。 題型2：空間向量的根本運算 例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點。假設，，，那么以下向量中與相等的向量是〔 〕 解析：顯然； 答案為A。 點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數(shù)化，此題考查的是根本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。 例4．：且∥,求的值. 解：∥,,且即 又不共面, 點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。 題型3：空間向量的坐標 例5．〔1〕兩個

40、非零向量=〔a1，a2，a3〕，=〔b1，b2，b3〕，它們平行的充要條件是〔　　〕 A. ：||=：|1·b1=a2·b2=a3·b3 1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零實數(shù)k，使=k 〔2〕向量=〔2，4，x〕，=〔2，y，2〕，假設||=6，⊥，那么x+y的值是〔　　〕 A. －3或或－1　　　　　 C. － 〔3〕以下各組向量共面的是〔　　〕 A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. =(1，1

41、，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1) 解析：〔1〕D；點撥：由共線向量定線易知； 〔2〕A　點撥：由題知或； 〔3〕A　點撥：由共面向量根本定理可得。 點評：空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。 例6．空間三點A〔－2，0，2〕，B〔－1，1，2〕，C〔－3，0，4〕。設=，=，〔1〕求和的夾角；〔2〕假設向量k+與k－2互相垂直，求k的值. 思維入門指導：此題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果. 解：∵A(－2，0，2)，B〔－1，1，2〕，C(－3，0，4)，=，=， ∴=(1，1，0)，=〔－1，0，2〕.

42、 (1)cos==－， ∴和的夾角為－。 (2)∵k+=k〔1，1，0〕+〔－1，0，2〕＝〔k－1，k，2〕， k－2=〔k+2，k，－4〕，且(k+)⊥〔k－2〕， ∴〔k－1，k，2〕·〔k+2，k，－4〕=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 那么k=－或k=2。 點撥：第〔2〕問在解答時也可以按運算律做?！?〕(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。 題型4：數(shù)量積 例7．(2000江西、山西、天津理，4)設、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,那么 ①〔·〕－〔·〕= ②||－||<|－| ③〔·〕－

43、〔·〕不與垂直 ④〔3+2〕〔3－2〕=9||2－4||2中，是真命題的有〔 〕 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案：D 解析：①①假； ②由向量的減法運算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊〞，故②真； ③因為［〔·〕－〔·〕］·=〔·〕·－〔·〕·③假； ④〔3+2〕〔3－2〕=9··－4·=9||2－4||2④真. 點評：此題考查平面向量的數(shù)量積及運算律。 例8．〔1〕〔2002上海文，理2〕向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，那么〔2－〕·=_____. 〔2〕設空間兩個不同的

44、單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。 解析：〔1〕答案：13；解析：∵〔2－〕·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5〔－〕=13。 〔2〕解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1. 又∵與的夾角為，∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。 (2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=

45、，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠，∴或 ∴cos<，>=·+·=+=. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=。 評述：此題考查向量數(shù)量積的運算法那么。 題型5：空間向量的應用 例9．〔1〕a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。 〔2〕F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，假設F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點M1〔1，-2，1〕移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。 解析：〔1〕設=(，，)，=(1，1，1)， 那么||=4，||=. ∵·≤||·||， ∴·=++≤||

46、·||=4. 當==時，即a=b=c=時，取“=〞號。 〔2〕解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。 點評：假設=(x，y，z)，=(a，b，c)，那么由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。此題考查||·||≥·的應用，解題時要先根據(jù)題設條件構造向量，，然后結合數(shù)量積性質進行運算?？臻g向量的數(shù)量積對應做功問題。 例10．如圖,直三棱柱中,求證: 證明： 同理 又 設為中點,那么 又 點評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題，要用到空間多邊形法那么，向量的運算，

47、數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。 五．思維總結 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關系以及中點公式.空間直角坐標系是選取空間任意一點O和一個單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標系，對于O點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標，直線的坐標表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關系和性質；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法那么。如向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點僅是向量在不同空間具有不同表達形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達式不一樣，但實質是一致的，即對應坐標成比例，且比值為，對于中點公式要熟記。 對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類： 1．以選擇、填空題型考查本章的根本概念和性質 此類題一般難度不大，用以解決有關長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。 2．向量在空間中的應用 在空間坐標系下，通過向量的坐標的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質。 在復習過程中，抓住源于課本，高于課本的指導方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關鍵。