《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第39講 排列、組合、二項(xiàng)式定理

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1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案〔講座39〕—排列、組合、二項(xiàng)式定理 一．課標(biāo)要求： 1．分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理 通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題； 2．排列與組合 通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題； 3．二項(xiàng)式定理 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。 二．命題走向 本局部內(nèi)容主要包括分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列與

2、組合、二項(xiàng)式定理三局部；考查內(nèi)容：〔1〕兩個(gè)原理；〔2〕排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；〔3〕二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。 排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會有題目涉及；二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。 考察形式：單獨(dú)的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時(shí)與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預(yù)測2007年高考本局部內(nèi)容一定會有題目涉及，出現(xiàn)選擇填空的可能性較大，與概率相結(jié)合的解答題出現(xiàn)的可能性較大。

3、三．要點(diǎn)精講 1．排列、組合、二項(xiàng)式知識相互關(guān)系表 2．兩個(gè)根本原理 〔1〕分類計(jì)數(shù)原理中的分類； 〔2〕分步計(jì)數(shù)原理中的分步； 正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。 3．排列 〔1〕排列定義，排列數(shù) 〔2〕排列數(shù)公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)； 〔3〕全排列列： =n!； 〔4〕記住以下幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．組合 〔1〕組合的定義，排列與組合的區(qū)別； 〔2〕組合數(shù)公式：Cnm==； 〔3〕組合數(shù)的性質(zhì) ①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…

4、+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1； 5．二項(xiàng)式定理 〔1〕二項(xiàng)式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn； 〔2〕通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：Tk+1=Cnkan-kbk； 6．二項(xiàng)式的應(yīng)用 〔1〕求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和； 〔2〕證明一些簡單的組合恒等式； 〔3〕證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項(xiàng)式的整除問題； 〔4〕近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí)，我們常用以下公式估計(jì)近似值： ①(1+x)n≈1+n

5、x；②(1+x)n≈1+nx+x2；〔5〕證明不等式。 四．典例解析 題型1：計(jì)數(shù)原理 例1．完成以下選擇題與填空題 〔1〕有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，那么不同的投法有 種。 A．81 B．64 C．24 D．4 〔2〕四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是〔 〕 A．81 B．64 C．24 D．4 〔3〕有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽， ①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，那么有不同的參賽方法有 ； ②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，那么有不同的參賽方法有 ； ③每位

6、學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，那么不同的參賽方法有 。 解析：〔1〕完成一件事是“分步〞進(jìn)行還是“分類〞進(jìn)行，是選用根本原理的關(guān)鍵。將“投四封信〞這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案選A。 此題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個(gè)信箱中，有C31種投法；②四封信投入兩個(gè)信箱中，有C32〔C41·A22+C42·C22〕種投法；③四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32〔C41·A22+C42C22〕+C42·A33=81

7、〔種〕。應(yīng)選A。 〔2〕因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個(gè)“店〞，3項(xiàng)冠軍看作“客〞，每個(gè)“客〞都可住進(jìn)4家“店〞中的任意一家，即每個(gè)“客〞有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得：N=4×4×4=64。 故答案選B。 〔3〕①學(xué)生可以選擇工程，而競賽工程對學(xué)生無條件限制，所以類似〔1〕可得N=34=81〔種〕； ②競賽工程可以挑學(xué)生，而學(xué)生無選擇工程的時(shí)機(jī)，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=43=64〔種〕； ③等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)工程的競賽，每人參加一項(xiàng)，故共有C43·A33=24〔種〕。 例2．〔06江蘇卷〕今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白

8、球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有　　種不同的方法〔用數(shù)字作答〕。 解析：此題考查排列組合的根本知識，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有。 點(diǎn)評：分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是根底方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比擬復(fù)雜的問題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之化簡,到達(dá)求解的目的。 題型2：排列問題 例3．〔1〕〔06北京卷〕在這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有〔 〕 〔A〕36個(gè) 〔B〕24個(gè) 〔C〕

9、18個(gè) 〔D〕6個(gè) 〔2〕〔06福建卷〕從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，假設(shè)這3人中至少有1名女生，那么選派方案共有〔 〕 〔A〕108種　　　 〔B〕186種　　　 　〔C〕216種　　　　 〔D〕270種 〔3〕〔06湖南卷〕在數(shù)字1,2，3與符號＋，－五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是〔 〕 A．6 　　　　B. 12 　　　　C. 18　　　 D. 24 〔4〕(06重慶卷)高三〔一〕班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，

10、要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，那么不同排法的種數(shù)是〔 〕 〔A〕1800 〔B〕3600 〔C〕4320 〔D〕5040 解析：〔1〕依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：〔1〕3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法〔2〕3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有，故共有＋＝24種方法，應(yīng)選B； 〔2〕從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B； 〔3〕先排列1，2，3，有種排法，再將“＋〞，“－〞兩個(gè)符號插入，有種方法，共有12種方法，選B； 〔4〕不同排法的種數(shù)為＝3600，應(yīng)選B。 點(diǎn)評：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題，首

11、先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。 例4．〔1〕〔06天津卷〕用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，那么其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有　　　個(gè)〔用數(shù)字作答〕； 〔2〕〔06上海春〕電視臺連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，那么共有 種不同的播放方式〔結(jié)果用數(shù)值表示〕. 解析：〔1〕可以分情況討論：① 假設(shè)末位數(shù)字為0，那么1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成個(gè)五位數(shù)；② 假設(shè)末位數(shù)字為2，那么1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，那么有個(gè)五位數(shù)；③ 假

12、設(shè)末位數(shù)字為4，那么1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，那么有=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。 〔2〕分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48。 點(diǎn)評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助。 題型三：組合問題 例5．〔1〕(06重慶卷)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的３個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，那么不同的分配方案有〔 〕 〔A〕３０種　　　〔B〕９０種 〔C〕１８０種　　　　〔D〕２７０種 〔2

13、〕〔06天津卷〕將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，那么不同的放球方法有〔　　〕 A．10種　　　　　B．20種　　　　　C．36種 　　　　　D．52種 解析：〔1〕將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，那么將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個(gè)班，共有種不同的分配方案，選B； 〔2〕將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號盒子，有種方法；②1號

14、盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號盒子，有種方法；那么不同的放球方法有10種，選A。 點(diǎn)評：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的根底，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合 例6．〔1〕(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)遙遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，那么不同的選派方案共有 種； 〔2〕〔06全國II〕5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有〔 〕 〔A〕150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 解析：〔1〕可以分情況討論，① 甲去，那么乙不去，有=480種選法；②甲不去，乙去

15、，有=480種選法；③甲、乙都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案； 〔2〕人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，假設(shè)是1,2,2，那么有＝60種，假設(shè)是1,1,3，那么有＝90種，所以共有150種，選A。 點(diǎn)評：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題，諸如分組問題等； 題型4：排列、組合的綜合問題 例7．平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)〔除原10點(diǎn)外〕，無兩條直線互相平行。求：〔1〕這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)〔除原10點(diǎn)外〕?！?〕這些直線交成多少個(gè)三角形。 解法一：〔1〕由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=4

16、5條。 這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)； 所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C452－10C92=630。 〔2〕這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求：因?yàn)槊總€(gè)三角形對應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來自上述630個(gè)點(diǎn)或原來的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即C6403=43486080〔個(gè)〕。 解法二：〔1〕如圖對給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些

17、直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：3C104=630。 〔2〕同解法一。 點(diǎn)評：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。 例8．直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。 解 設(shè)傾斜角為θ，由θ為銳角，得tanθ=->0,即a、b異號。 〔1〕假設(shè)c=0，a、b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)〔3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0〕，故有3×3-2=7〔條〕； 〔2〕假設(shè)c≠0，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有

18、4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條； 點(diǎn)評：此題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有。錯(cuò)誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。 題型5：二項(xiàng)式定理 例9．〔1〕〔湖北卷〕在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng) 〔2〕的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是 〔A〕0　　　　　〔B〕2　　　　　〔C〕4　　　　　〔D〕6 解析：此題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公

19、式的有關(guān)知識； 〔1〕，當(dāng)r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時(shí)，x的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數(shù)次冪，應(yīng)選C； 〔2〕的展開式通項(xiàng)為，因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B； 點(diǎn)評：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)那么。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運(yùn)算級別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。 例10．〔1〕〔06江西卷〕在〔x－〕2006 的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝時(shí)，S等于〔 〕 3008

20、 B.－23008 C.23009 D.－23009 〔2〕〔06山東卷〕的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中=－1，那么展開式中常數(shù)項(xiàng)是〔 〕 (A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45 〔3〕〔06浙江卷〕假設(shè)多項(xiàng)式 〔 〕 (A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10 解析：〔1〕設(shè)〔x－〕2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2

21、006； 那么當(dāng)x＝時(shí)，有a0〔〕2006＋a1〔〕2005＋…＋a2005〔〕＋a2006＝0 〔1〕， 當(dāng)x＝－時(shí)，有a0〔〕2006－a1〔〕2005＋…－a2005〔〕＋a2006＝23009 〔2〕， 〔1〕－〔2〕有a1〔〕2005＋…＋a2005〔〕＝－23009?2＝－23008，，應(yīng)選B； 〔2〕第三項(xiàng)的系數(shù)為－，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－可得n＝10，那么＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為＝45，選A； 〔3〕令，得，令，得； 點(diǎn)評：此題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法，根底題； 題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 例11．證明以下不等式

22、： 〔1〕≥〔〕n,〔a、b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N〕; 〔2〕a、b為正數(shù)，且+=1，那么對于n∈N有 〔a+b〕n-an-bn≥22n-2n+1。 證明：〔1〕令a=x+δ，b=x－δ，那么x=； an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n =xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…) ≥2xn 即≥〔〕n 〔2〕(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan 上述兩式相加得： 2(a+b)n=(an+b

23、n)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn) (*) ∵+=1，且a、b為正數(shù) ∴ab=a+b≥2 ∴ab≥4 又∵?an-kbk+bn-kak≥2=2()n(k=1,2,…,n-1) ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22〔〕n+…+Cnn-12()n ∴(a+b)n－an-bn ≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·〔〕n ≥(2n－2)·2n =22n－2n+1 點(diǎn)評：利用二項(xiàng)式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題。題〔1〕中的換元法稱之為均值換元〔對稱換元〕。這樣消

24、去δ奇數(shù)次項(xiàng)，從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題〔2〕中，由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法。 例12．〔1〕求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)； 〔2〕7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？ 〔3〕根據(jù)以下要求的精確度，求5的近似值。①精確到0.01；②精確到。 解析：〔1〕首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù)。 ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1， ∴其被4整除的余數(shù)為1， ∴被

25、20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17， 然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。 ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)， ∴被5整除的余數(shù)為4， ∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。 綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。 〔2〕 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7 =(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1 (i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 原式=9n-C

26、n1·9n-1+Cn2·9n-2+…+〔－1〕n-1Cnn-1·9－2 ∴除以9所得余數(shù)為7。 (ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9 ∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。 〔3〕(1.02)5≈〔1〕5 =1+c51·0.02+C52·2+C53·3+C544+C55·5 ∵C52×2=0.004,C53×3=8×10-5 ∴①當(dāng)精確到0.01時(shí)，只要展開式的前三項(xiàng)和，1+，近似值為1.10。 ②當(dāng)精確到時(shí)，只要取展開式的前四項(xiàng)和，1+，近似值為。 點(diǎn)評：〔1〕用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或

27、整除問題時(shí)，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論； 〔2〕用二項(xiàng)式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng)。 五．思維總結(jié) 解排列組合應(yīng)用題的根本規(guī)律 1．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用。 2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。 3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮： 〔1〕元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素； 〔2〕位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置； 〔3〕整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件

28、的排列數(shù)。 4．對解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)： 〔1〕對“組合數(shù)〞恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算，是解組合題的常用方法； 〔2〕是用“直接法〞還是“間接法〞解組合題，其原那么是“正難那么反〞； 〔3〕設(shè)計(jì)“分組方案〞是解組合題的關(guān)鍵所在。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案〔講座36〕—空間向量及其應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： 〔1〕空間向量及其運(yùn)算 ① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程； ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； ③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示； ④ 掌握空

29、間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 〔2〕空間向量的應(yīng)用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量； ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系； ③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理〔包括三垂線定理〕； ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 二．命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 預(yù)測07年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向

30、量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 三．要點(diǎn)精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。 說明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是

31、空間的平移。 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 加法交換率： 加法結(jié)合率： 數(shù)乘分配率： 說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的假設(shè)干向量之和；②向量加法的平行四邊形法那么在空間仍成立。 3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。 注意：當(dāng)我們說、共線時(shí)，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說、平行時(shí)，也具有同樣的意義。 共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量〔≠〕、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個(gè)

32、方面：①性質(zhì)定理：假設(shè)∥〔≠0〕，那么有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：假設(shè)存在唯一實(shí)數(shù)，使＝〔≠0〕，那么有∥〔假設(shè)用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需〔或〕上有一點(diǎn)不在〔或〕上〕。 ⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量。 ⑶假設(shè)直線l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達(dá)式。 推論：如果?l為經(jīng)過點(diǎn)A且平行于非零向量的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量。 在l上取，那么①式可化為

33、 ② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，那么 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的根底，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。⑶結(jié)合三角形法那么記憶方程。 4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線，那么向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y，使① 注：與共線向量定理

34、一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對〔x, y〕是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一〔它們只是形式不同的同一等式〕，點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、〔或不共線三點(diǎn)M、A、B〕確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。 5．空間向量根本定理：

35、如果三個(gè)向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使 說明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，那么對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6．?dāng)?shù)

36、量積 〔1〕夾角：兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，那么角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 A B O 〔1〕 O A B 〔2〕 A B O 〔3〕 說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，那么稱與互相垂直，記作⊥； A B O 〔4〕 ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖〔3〕、〔4〕中的兩個(gè)向量的夾角不同， 圖〔3〕中∠AOB=， 圖〔4〕中∠AOB=, 從而有==.

37、 〔2〕向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。 〔3〕向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。 A B l 即=， 向量: 〔4〕性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴。 ⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶ ⑶ 四．典例解析 題型1：空間向量的概念及性質(zhì) 例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③向量是空間的一個(gè)基底，那么向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是〔 〕 ①②

38、 ①③ ②③ ①②③ 解析：對于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線〞；所以①錯(cuò)誤。②③正確。 點(diǎn)評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。 例2．以下命題正確的選項(xiàng)是〔 〕 假設(shè)與共線，與共線，那么與共線； 向量共面就是它們所在的直線共面； 零向量沒有確定的方向； 假設(shè)，那么存在唯一的實(shí)數(shù)使得； 解析：A中向量為零向量時(shí)要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。 答案C。 點(diǎn)評：零向量是一個(gè)特殊的向量，時(shí)刻想著

39、零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧。 題型2：空間向量的根本運(yùn)算 例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。假設(shè)，，，那么以下向量中與相等的向量是〔 〕 解析：顯然； 答案為A。 點(diǎn)評：類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，此題考查的是根本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。 例4．：且∥,求的值. 解：∥,,且即 又不共面, 點(diǎn)評：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。 題型3：空間向量的坐標(biāo) 例5．〔1〕兩個(gè)

40、非零向量=〔a1，a2，a3〕，=〔b1，b2，b3〕，它們平行的充要條件是〔　　〕 A. ：||=：|1·b1=a2·b2=a3·b3 1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k 〔2〕向量=〔2，4，x〕，=〔2，y，2〕，假設(shè)||=6，⊥，那么x+y的值是〔　　〕 A. －3或或－1　　　　　 C. － 〔3〕以下各組向量共面的是〔　　〕 A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. =(1，1

41、，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1) 解析：〔1〕D；點(diǎn)撥：由共線向量定線易知； 〔2〕A　點(diǎn)撥：由題知或； 〔3〕A　點(diǎn)撥：由共面向量根本定理可得。 點(diǎn)評：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。 例6．空間三點(diǎn)A〔－2，0，2〕，B〔－1，1，2〕，C〔－3，0，4〕。設(shè)=，=，〔1〕求和的夾角；〔2〕假設(shè)向量k+與k－2互相垂直，求k的值. 思維入門指導(dǎo)：此題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果. 解：∵A(－2，0，2)，B〔－1，1，2〕，C(－3，0，4)，=，=， ∴=(1，1，0)，=〔－1，0，2〕.

42、 (1)cos==－， ∴和的夾角為－。 (2)∵k+=k〔1，1，0〕+〔－1，0，2〕＝〔k－1，k，2〕， k－2=〔k+2，k，－4〕，且(k+)⊥〔k－2〕， ∴〔k－1，k，2〕·〔k+2，k，－4〕=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 那么k=－或k=2。 點(diǎn)撥：第〔2〕問在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。〔+〕(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。 題型4：數(shù)量積 例7．(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,那么 ①〔·〕－〔·〕= ②||－||<|－| ③〔·〕－

43、〔·〕不與垂直 ④〔3+2〕〔3－2〕=9||2－4||2中，是真命題的有〔 〕 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案：D 解析：①①假； ②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個(gè)三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊〞，故②真； ③因?yàn)椋邸病ぁ常病ぁ常荨?〔·〕·－〔·〕·③假； ④〔3+2〕〔3－2〕=9··－4·=9||2－4||2④真. 點(diǎn)評：此題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 例8．〔1〕〔2002上海文，理2〕向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，那么〔2－〕·=_____. 〔2〕設(shè)空間兩個(gè)不同的

44、單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。 解析：〔1〕答案：13；解析：∵〔2－〕·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5〔－〕=13。 〔2〕解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1. 又∵與的夾角為，∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。 (2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=

45、，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠，∴或 ∴cos<，>=·+·=+=. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=。 評述：此題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法那么。 題型5：空間向量的應(yīng)用 例9．〔1〕a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。 〔2〕F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，假設(shè)F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1〔1，-2，1〕移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。 解析：〔1〕設(shè)=(，，)，=(1，1，1)， 那么||=4，||=. ∵·≤||·||， ∴·=++≤||

46、·||=4. 當(dāng)==時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取“=〞號。 〔2〕解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。 點(diǎn)評：假設(shè)=(x，y，z)，=(a，b，c)，那么由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。此題考查||·||≥·的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對應(yīng)做功問題。 例10．如圖,直三棱柱中,求證: 證明： 同理 又 設(shè)為中點(diǎn),那么 又 點(diǎn)評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關(guān)系問題，要用到空間多邊形法那么，向量的運(yùn)算，

47、數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。 五．思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標(biāo)系，對于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法那么。如向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對于中點(diǎn)公式要熟記。 對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類： 1．以選擇、填空題型考查本章的根本概念和性質(zhì) 此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。 2．向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。 在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。