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1、第五章 定積分及其應用,本章主題詞：曲邊梯形的面積、定積分、變上限的積分、牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法、廣義積分。,,數(shù)學不僅在摧毀著物理科學中緊鎖的大門，而且正在侵入并搖撼著生物科學、心理學和社會科學。會有這樣一天，經濟的爭執(zhí)能夠用數(shù)學以一種沒有爭吵的方式來解決，現(xiàn)在想象這一天的到來不再是謊繆的了。 伽德納,Archimedes,第一節(jié) 定積分的概念與性質,實例1 （求曲邊梯形的面積）,一、定積分問題的提出,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,,,,,,,,,,,,,,顯然:小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,公元前二
2、百多年前的阿基米德就已會用此法求出許多不規(guī)則圖形的面積,阿基米德,,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,播放,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時，
3、 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系,曲邊梯
4、形如圖所示：,（1）分割,（2）近似代替,,（3）求和,（4）取極限,曲邊梯形面積為,求曲邊梯形面積所用的方法步驟：,實例2 （求變速直線運動的路程）,思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值,（1）分割,（3）求和,（4）取極限,（2）近似代替,二、定積分的定義,定義,記為,積分上限,積分下限,黎曼積分,積分和,注意:,則,則當,例1 利用定義計算定積分,解,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,定積分的幾何意義,定理1,定理2,定積分存在定理(可積充分條件),三、定積分的性質,對定積分的補
5、充規(guī)定:,說明,在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,證明,（此性質可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）,性質1,證明,性質2,,,補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,則,性質3,證明,性質4,性質5,性質5的推論：,證明,（1）,（定積分不等式性質）,證明,說明： 可積性是顯然的.,性質5的推論：,(絕對值不等式性質),解,令,于是,證明,（此性質可用于估計積分值的大致范圍）,性質6,解,解,證明,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質7（定積分中值定理）,積分中值公式,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,,,,解,由積分中值定理知有,使,(定積分第二中值定理 .),7,和,小 結,定積分的實質：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,3定積分的性質,（注意估值性質、積分中值定理的應用）,4典型問題,（）估計積分值；,（）不計算定積分比較積分大小,證,命題得證,所以可積必有界.,思考題,1、將和式極限：,2、表示成定積分.,思考題解答,1、原式,,,例,證明,利用對數(shù)的性質得,極限運算與對數(shù)運算換序得,故,練 習 題,練習題答案,練習題答案,
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