第二章圓錐曲線與方程教案

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1、第二章 圓錐曲線與方程 2.1曲線與方程 2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程 一、教學目標 (一)知識教學點 使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓練點 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學生綜合運用各方面知識的能力． (三)學科滲透點 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎． 二、教材分析 1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法． (解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法．)2．難點：作相關點法求動點的軌跡方法． (解決辦法：先

2、使學生了解相關點法的思路，再用例題進行講解．) 教具準備：與教材內(nèi)容相關的資料。 教學設想：激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神． 三、教學過程 學生探究過程： (一)復習引入 大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是： (1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； (2)通過方程，研究平面曲線的性質． 我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析． (二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法 由題設所給(或通過分析圖形的幾

3、何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法． 例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程； (2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡． 對(1)分析： 動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析： 題設

4、中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數(shù)．由學生演板完成，解答為： 設弦的中點為M(x，y)，連結OM， 則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1， 其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點)． 2．定義法 利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件． 直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，

5、求點P的軌跡方程． 分析： ∵點P在AQ的垂直平分線上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點的軌跡方程． 解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2． 由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓． 3．相關點法 若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法

6、)． 例3　 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程． 分析： P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯(lián)系． 解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點． 4．待定系數(shù)法 求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求． 例4　 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲 曲線方程． 分析： 因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設

7、雙曲線方 ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由學生完成) 由弦長公式得： 即a2b2=4b2-a2． (三)鞏固練習 用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果．練習題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的 2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？ 3

8、．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程． 答案： 義法) 由中點坐標公式得： (四)、教學反思 求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復數(shù)以后再作介紹． 五、布置作業(yè) 1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程． 2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P

9、的軌跡方程．作業(yè)答案： 1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線 六、板書設計 2.2 橢 圓 2.2.1橢圓及其標準方程 ◆ 知識與技能目標 理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會用橢圓的定義解決實際問題；理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法． ◆ 過程與方

10、法目標 （1）預習與引入過程 當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中圓錐曲線的例子．當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子一條（約10cm長，兩端各結一個套），教師準備無彈性細繩子一條（約60cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫

11、出的圖形是橢圓．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗2．1．1橢圓及其標準方程． （2）新課講授過程 （i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義． 〖板書〗把平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距．即當動點設為時，橢圓即為點集． （ii）橢圓標準方程的推導過程 提問：已知圖形，建立直角坐標系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關系． 無理方程的化簡過程是教學的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理

12、． 設參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義． 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的橢圓的標準方程． （iii）例題講解與引申 例1 已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標準方程． 分析：由橢圓的標準方程的定義及給出的條件，容易求出．引導學生用其他方法來解． 另解：設橢圓的標準方程為，因點在橢圓上， 則． 例2 如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？ 分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程

13、． 引申：設定點，是橢圓上動點，求線段中點的軌跡方程． 解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設，；②（點與伴隨點的關系）∵為線段的中點，∴；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵，∴點的軌跡方程為；④伴隨軌跡表示的范圍． 例3如圖，設，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程． 分析：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程． 解法剖析：設點，則，； 代入點的集合有，化簡即可得點的軌跡方程． 引申：如圖，設△的兩個頂點，，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程． 引申目的有兩點：

14、①讓學生明白題目涉及問題的一般情形；②當值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸→圓的直徑→橢圓的短軸． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標 通過作圖展示與操作，必須讓學生認同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學生認同與體會：橢圓的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是線段；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學生從定義的角度思考問題的好習慣；例2是典型的用代入法求動點的伴隨點的軌跡，

15、培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題；通過例3培養(yǎng)學生的對問題引申、分段討論的思維品質． ◆能力目標 （1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術語和數(shù)學符號表示． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力． （3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 數(shù)學

16、活動能力：培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學活動能力． （5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：第45頁1、2、3、4、 作業(yè)：第53頁2、3、 2．1．2　橢圓的簡單幾何性質 ◆ 知識與技能目標 了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術初步了解橢圓的第二定義． ◆ 過程與方法目

17、標 （1）復習與引入過程 引導學生復習由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．1．2橢圓的簡單幾何性質． （2）新課講授過程 （i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研

18、究？ 通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質來研究曲線的幾何性質． （ii）橢圓的簡單幾何性質 ①范圍：由橢圓的標準方程可得，，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里； ②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸； ④離心

19、率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），； ． （iii）例題講解與引申、擴展 例4 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標． 分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出．引導學生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關量． 擴展：已知橢圓的離心率為，求的值． 解法剖析：依題意，，但橢圓的焦點位置沒有確定，應分類討論：①當焦點在軸上，即時，有，∴，得；②當焦點在軸上，即時，有，∴． 例5 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．過對對稱的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上，由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉

20、橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．建立適當?shù)淖鴺讼?，求截口所在橢圓的方程． 解法剖析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設橢圓的標準方程為，算出的值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申：如圖所示， “神舟”截人飛船發(fā)射升空，進入預定軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面，遠地點距地面，已知地球的半徑．建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求出橢圓的軌跡方程． 例6如圖，設與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程． 分析：若設點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程

21、． 引申：（用《幾何畫板》探究）若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是橢圓．其中定點是焦點，定直線：相應于的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點，相應于的準線：． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標 在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學相長的教學活動情境，結合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創(chuàng)新．必須讓學生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質，能由橢圓的標準方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般

22、性；必須讓學生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關量的有效數(shù)字處理；讓學生參與并掌握利用信息技術探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和掌握利用先進教學輔助手段的技能． ◆能力目標 （1） 分析與解決問題的能力：通過學生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力． （3） 實踐能力：培養(yǎng)學生

23、實際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：第52頁1、2、3、4、5、6、7 作業(yè)：第53頁4、5 補充： 1.課題:雙曲線第二定義 學法指導：以問題為誘導，結合圖形，引導學生進行必要的聯(lián)想、類比、化歸、轉化. 復習回顧 問題推廣 引出課題 典型例題 課堂練習 歸納小結 教學目標 知識目標：橢圓第二定義、準線方程； 能力目標：1使學生了解橢圓第二定義給出的背景；

24、 2了解離心率的幾何意義； 3使學生理解橢圓第二定義、橢圓的準線定義； 4使學生掌握橢圓的準線方程以及準線方程的應用； 5使學生掌握橢圓第二定義的簡單應用； 情感與態(tài)度目標：通過問題的引入和變式，激發(fā)學生學習的興趣，應用運動變化的觀點看待問題，體現(xiàn)數(shù)學的美學價值. 教學重點：橢圓第二定義、焦半徑公式、準線方程； 教學難點：橢圓的第二定義的運用； 教具準備：與教材內(nèi)容相關的資料。 教學設想：激發(fā)學生的學習熱情，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神． 教學過程： 學生探究過程：復習回顧

25、 1．橢圓的長軸長為 18 ，短軸長為 6 ，半焦距為，離心率為，焦點坐標為，頂點坐標為，（準線方程為）. 2．短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點分別為、，過點作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為 20 . 引入課題 【習題4（教材P50例6）】橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點 ① 求點M1（4，2.4）到焦點F（3，0）的距離 2.6 . ② 若點M2為（4，y0）不求出點M2的縱坐標，你能求出這點到焦點F（3，0）的距離嗎？ 解：且代入消去得 【推廣】你能否將橢圓上任一點到焦點的距離表示成點M橫坐標的函數(shù)嗎？ 解：代入消去 得 問題1：你能將所得函數(shù)

26、關系敘述成命題嗎？（用文字語言表述） 橢圓上的點M到右焦點的距離與它到定直線的距離的比等于離心率 問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點與離心率） 動點到定點的距離與它到定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓． 【引出課題】橢圓的第二定義 當點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡是橢圓．定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)是橢圓的離心率． 對于橢圓，相應于焦點的準線方程是．根據(jù)對稱性，相應于焦點的準線方程是．對于橢圓的準線方程是． 可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線距離的比，這就是離心率的幾

27、何意義． 由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為 典型例題 例1、求橢圓的右焦點和右準線；左焦點和左準線； 解：由題意可知右焦點右準線；左焦點和左準線 變式：求橢圓方程的準線方程； 解：橢圓可化為標準方程為：，故其準線方程為 小結：求橢圓的準線方程一定要化成標準形式，然后利用準線公式即可求出 例2、橢圓上的點到左準線的距離是，求到左焦點的距離為 . 變式：求到右焦點的距離為 . 解：記橢圓的左右焦點分別為到左右準線的距離分別為由橢圓的第二定義可知： 又由橢的第一定義可知： 另解：點M到左準線的距離是2.5，所以點M到

28、右準線的距離為 小結：橢圓第二定義的應用和第一定義的應用 例1、 點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡； 解法一：設為所求軌跡上的任一點，則由化簡得，故所的軌跡是橢圓。 解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，又因為故所求的軌跡方程為 變式：點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡； 分析：這道題目與剛才的哪道題目可以說是同一種類型的題目，那么能否用上面的兩種方法來解呢？ 解法一：設為所求軌跡上的任一點，則由化簡得配方得，故所的軌跡是橢圓，其中心在（1，0） 解法二：因為定點A（2，0）所以，定直

29、線所以解得，故所求的軌跡方程為 問題1：求出橢圓方程和的長半軸長、短半軸長、半焦距、離心率； 問題2：求出橢圓方程和長軸頂點、焦點、準線方程； 解：因為把橢圓向右平移一個單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為 長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，； 長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，； 反思：由于是標準方程，故只要有兩上獨立的條件就可以確定一個橢圓，而題目中有三個條件，所以我們必須進行檢驗，又因為另一方面離心率就等于這是兩上矛盾的結果，所以所求方程是錯誤的。又由解法一可知，所求得的橢圓不是標準方程。 小結：以后有涉及到“動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)時”

30、最好的方法是采用求軌跡方程的思路,但是這種方法計算量比較大； 解法二運算量比較小，但應注意到會不會是標準方程，即如果三個數(shù)據(jù)可以符合課本例4的關系的話，那么其方程就是標準方程，否則非標準方程，則只能用解法一的思維來解。 例4、設AB是過橢圓右焦點的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準線（ ） A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判斷直線與圓的位置關系呢？ 解：設AB的中點為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點為F，右準線為； 過點A、B、M分別作出準線的垂線，分別記為由梯

31、形的中位線可知 又由橢圓的第二定義可知即 又且故直線與圓相離 例5、已知點為橢圓的上任意一點，、分別為左右焦點；且求的最小值 分析：應如何把表示出來 解：左準線：，作于點D，記 由第二定義可知： ? ? 故有 所以有當A、M、D三點共線時，|MA|+|MD|有最小值： 即的最小值是 變式1：的最小值； 解： F1 A M D 變式2：的最小值； 解： 鞏固練習 1．已知 是橢圓 上一點，若 到橢圓右準線的距離是 ，則 到左焦點的距離為_____________． 2．若橢圓 的離心率為 ，則它的長半軸長

32、是______________． 答案：1． ???? 2．1或2?? 教學反思 1．橢圓第二定義、焦半徑公式、準線方程； 2．橢圓定義的簡單運用； 3．離心率的求法以及焦半徑公式的應用； 課后作業(yè) 1.例題5的兩個變式； 2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點， 是橢圓的右焦點．若 ， 的中點到橢圓左準線的距離是 ，試確定橢圓的方程． 解：由橢圓方程可知 、兩準線間距離為 ．設 ， 到右準線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點 到右準線距離為 ，于是 到左準線距離為 ， ，所求橢圓方程為 ． 思考： 1．方程表示什么曲線？ 解：；即方程表示到定點的距離與到

33、定直線的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓 例Ⅱ、（06四川高考15）如圖把橢圓的長軸AB分成8等分，過每個等分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則= 解法一：，設的橫坐標為，則不妨設其焦點為左焦點 由得 解法二：由題意可知和關于軸對稱，又由橢圓的對稱性及其第一定義可知，同理可知，， 故 板書設計： 復習回顧 引入課題 問題： 推廣： 橢圓第二定義 典型例題 1． 2． 3． 4． 5． 課堂練習： 課堂小結： 課后作業(yè)： 思考： 2. 橢圓中焦點三角形的性質及應用 定義：橢圓上任意一

34、點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形。 性質一：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則。 性質二：已知橢圓方程為左右兩焦點分別為設焦點三角形，若最大，則點P為橢圓短軸的端點。 證明：設,由焦半徑公式可知：， 在中， = 性質三：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則 證明：設則在中，由余弦定理得： 命題得證。 （2000年高考題）已知橢圓的兩焦點分別為若橢圓上存在一點使得求橢圓的離心率的取值范圍。 簡解：由橢圓焦點三角形性質可知即 ,

35、 于是得到的取值范圍是 性質四：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形，則橢圓的離心率。 由正弦定理得： 由等比定理得： 而， ∴。 已知橢圓的焦點是F1(－1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項． (1)求橢圓的方程； (2)若點P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2． 解：(1)由題設2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴橢圓的方程為＝1． (2)設∠F1PF2＝θ，則∠PF2F1＝60°－θ 橢圓的離心率 則， 整

36、理得：5sinθ＝(1＋cosθ) ∴故，tanF1PF2＝tanθ＝． 2.3雙曲線 2．2．1　雙曲線及其標準方程 ◆ 知識與技能目標 理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術探究動點軌跡的《幾何畫板》的制作或操作方法． ◆ 過程與方法目標 （1）預習與引入過程 預習教科書56頁至60頁，當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面與圓錐的

37、軸線或平行時，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么此時的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中雙曲線的例子．當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一端結一個套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準備無彈性細繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是雙曲線．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（

38、動點）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗§2．2．1雙曲線及其標準方程． （2）新課講授過程 （i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義． 〖板書〗把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）．其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距．即當動點設為時，雙曲線即為點集． （ii）雙曲線標準方程的推導過程 提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法由學生來建立直角坐標系． 無理方程的化簡過程仍是教學的難點，讓學生實際掌握無理方程的兩次移項、平方整理的數(shù)學活動過程． 類比橢圓：設參量的

39、意義：第一、便于寫出雙曲線的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義． 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程． （iii）例題講解、引申與補充 例1 已知雙曲線兩個焦點分別為，，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程． 分析：由雙曲線的標準方程的定義及給出的條件，容易求出． 補充：求下列動圓的圓心的軌跡方程：① 與⊙：內(nèi)切，且過點；② 與⊙：和⊙：都外切；③ 與⊙：外切，且與⊙：內(nèi)切． 解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題．具體解：設動圓的半徑為． ① ∵⊙與⊙內(nèi)切，點在⊙外，∴，，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的

40、左支，即的軌跡方程是； ② ∵⊙與⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，∴的軌跡方程是； ③ ∵與外切，且與內(nèi)切，∴，，因此，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，∴的軌跡方程是． 例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程． 分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程． 擴展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點

41、晚．已知各觀察點到該中心的距離都是．試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當時聲音傳播的速度為；相關點均在同一平面內(nèi)）． 解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上． 如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標系，設、、分別是西、東、北觀察點，則，，． 設為巨響發(fā)生點，∵、同時聽到巨響，∴所在直線為……①，又因點比點晚聽到巨響聲，∴．由雙曲線定義知，，，∴，∴點在雙曲線方程為……②．聯(lián)立①、②求出點坐標為．即巨響在正西北方向處． 探究：如圖，設，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它

42、們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與§2．1．例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？ 探究方法：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標 通過課件（）的展示與操作，必須讓學生認同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學生認同與體會：雙曲線的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是兩條射線；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領悟：像例1這基礎題配備是必要的

43、，但對定義的理解和使用是遠遠不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補充題；例2是典型雙曲線實例的題目，對培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題有一定的幫助，但要準確判定爆炸點，必須對此題進行擴展，培養(yǎng)學生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力． ◆能力目標 （1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術語和數(shù)學符號表示． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從

44、特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力． （3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 數(shù)學活動能力：培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學活動能力． （5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：第60頁1、2、3、 作業(yè)：第66頁1、2、 2．2．2　雙曲線的簡單幾何性質 ◆ 知識與技能目標 了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方程，研究曲線的性質．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線

45、的概念；掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術進一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義． ◆ 過程與方法目標 （1）復習與引入過程 引導學生復習得到橢圓的簡單的幾何性質的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標準方程的討論，研究雙曲線的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的進一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標及實軸、虛軸的概念；④應用信息技術的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢

46、圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．2．2雙曲線的簡單幾何性質． （2）新課講授過程 （i）通過復習和預習，對雙曲線的標準方程的討論來研究雙曲線的幾何性質． 提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？ 通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質來研究曲線的幾何性質． （ii）雙曲線的簡單幾何性質 ①范圍：由雙曲線的標準方程得，，進一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域； ②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程

47、發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸； ④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線； ⑤離心率： 雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）． （iii）例題講解與引申、擴展 例3 求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程． 分析：由雙曲線的方程化為標準方程，容易求出．引導學生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關量或式子，

48、但要注意焦點在軸上的漸近線是． 擴展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方及離心率． 解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點在軸上時，設所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，無解；②焦點在軸上時，設所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標準方程為，離心率．這個要進行分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設所求的雙曲線的方程為． 例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當?shù)淖鴺讼担蟪鲭p曲線的方程（各長度量精確到）． 解法剖析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設雙曲線的標準方程為

49、，算出的值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側的區(qū)域應該選擇怎樣的線路？說明理由． 解題剖析：設為“等距離”線上任意一點，則，即（定值），∴“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略． 例5 如圖，設與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程． 分析：若設點，則，到直線：的距離，則容易得點

50、的軌跡方程． 引申：用《幾何畫板》探究點的軌跡：雙曲線 若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是雙曲線．其中定點是焦點，定直線：相應于的準線；另一焦點，相應于的準線：． ◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標 在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學相長的教學活動情境，結合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創(chuàng)新．必須讓學生認同和掌握：雙曲線的簡單幾何性質，能由雙曲線的標準方程能直接得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性

51、，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關量的有效數(shù)字處理；讓學生參與并掌握利用信息技術探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和掌握利用先進教學輔助手段的技能． ◆能力目標 （1） 分析與解決問題的能力：通過學生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力． （2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力．

52、（3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力． （4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：第66頁1、2、3、4、5 作業(yè)：第3、4、6 補充： 3.課題:雙曲線第二定義 教學目標： 11111．知識目標：掌握雙曲線第二定義與準線的概念，并會簡單的應用。 11112．能力目標：培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力及探索和創(chuàng)新意識。 教學重點：雙曲線的第二定義 教學難點：雙曲線的第二定義及應用. 教學方法：類比法（類比橢圓的第二定義） 教學過程：11

53、1111111111111111111111111111 一、復習引入： 1、 （1）、雙曲線的定義：平面上到兩定點距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的 軌跡叫做雙曲線.定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。 (2)、雙曲線的標準方程： 焦點在x軸： 焦點在y軸： 其中 2、 對于焦點在x軸上的雙曲線的有關性質： （1）、焦點：F1(-c,0),F2(c,0)；(2)、漸近線:；（3）、離心率：>1 3、今節(jié)課我們來學習雙曲線的另一定義。（板書課題：雙曲線第二定義） 二、新課教學： F2 F1 H H x o y 1、引例(課本P64例

54、6)：點M(x,y) 與定點F(5,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程. 分析：利用求軌跡方程的方法。 解:設是點M到直線的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|}, 即 所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。 由例6可知:定點F(5,0)為該雙曲線的焦點,定直線為, 常數(shù)為離心率>1. [提出問題]：（從特殊到一般）將上題改為：點M(x,y)與定點F(c,0)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù),求點M的軌跡方程。 解：設是點M到直線的距離, 根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P={M|}, 即 化簡得兩邊同

55、時除以得 2、小結： 雙曲線第二定義:當動點M(x,y) 到一定點F(c,0)的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時,這個動點M(x,y)的軌跡是雙曲線。其中定點F(c,0)是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。 （P65思考）與橢圓的第二定義比較,你有什么發(fā)現(xiàn)？（讓學生討論） 答：只是常數(shù)的取值范圍不同，橢圓的,而雙曲線的. 三、課堂練習 1． 求的準線方程、兩準線間的距離。 解:由可知,焦點在x軸上,且所以準線方程為:；故兩準線的距離為. 2、(2006年廣東高考第8

56、題選擇題)已知雙曲線 3x 2－y 2 = 9，則雙曲線右支上的點 P 到右焦點 的距離與點 P 到右準線的距離之比等于( )。 (A) (B) (C) 2 (D) 4 解： 3、如果雙曲線上的一點P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離是＿＿＿＿ 解： P到左準線的距離為m，由雙曲線方程可知a=5，b=12，c=13， 準線方程為 根據(jù)雙曲線第二定義得, 。 4、雙曲線兩準線把兩焦點連線段三等分，求e. 解：由題意可知，即 所以 5. 雙曲線的 ＞，＞漸近線與一條準線圍成的三角形的面積是 . 解:由題意可知

57、,一條準線方程為:,漸近線方程為 因為當時 所以所求的三角形面積為: 四、鞏固練習： 1．已知雙曲線= 1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于A，△OAF面積為（O為原點），則兩條漸近線夾角為（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 解：由題意可得，△OAF 的底邊|OC|=c,高h= S△OAF=因此可知該雙曲線為等軸雙曲

58、線。所以兩條漸近線夾角為90°。 2. P P H H F2 x F1 o y A 。 五、教學反思： (1) 知識內(nèi)容：雙曲線的第二定義及應用。 (2) 數(shù)學方法:類比法， (3) 數(shù)學思想: 從特殊到一般 六、作業(yè)： 1、雙曲線的一條準線是y=1,則的值。 2、求漸近線方程是4x,準線方程是5y的雙曲線方程． 3、已知雙曲線的離心率為2,準線方程為,焦點F(2,0),求雙曲線標準方程. 4、(請你編題)若雙曲線標準方程為＿＿上一點p到(左,右)焦點的距離是＿＿＿則點p到(左, 右)準線的距離＿＿＿. 七

59、、板書設計 課題：雙曲線的第二定義及應用 1、 復習引入 （1）、雙曲線的定義 (2)、雙曲線的標準方程 (3)、關于焦點在x軸上的雙曲線的有關性質 2、 新內(nèi)容 雙曲線第二定義: 例題： 課堂練習： 1、 2、 3、 4、 5、 課后練習： 1、 2、 作業(yè)： 1、 2、 3、 4、 2.4拋物線 一 教學設想 1 2． 3 1拋物線及標準方程 （1） 教具的準備 問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？ 在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？ 問題2：在二次函數(shù)中研究的

60、拋物線有什么特征？ 在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線. 通過提問來激發(fā)學生的探究欲望，首先研究拋物線的定義，教師可以用直觀的教具叫學生參與進行演示，再由學生歸納出拋物線的定義． （2） 拋物線的標準方程 設定點F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0)．下面，我們來求拋物線的方程．怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？ 讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結建立

61、直角坐標系的方案 方案1：(由第一組同學完成，請一優(yōu)等生演板．)以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系(圖2-30)．設定點F(p，0)，動點M的坐標為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}． 化簡后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二組同學完成，請一優(yōu)等生演板) 以定點F為原點，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標系(圖2-31)．設動點M的坐標為(x，y)，且設直線l的方程為x=-p，定點F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為： p={M||MF|=|MD|}． 化簡得：y2=2px+p

62、2(p＞0)． 方案3：(由第三、四組同學完成，請一優(yōu)等生演板．) 取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖2-32)． 拋物線上的點M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}． 化簡后得：y2=2px(p＞0)． （3） 例題講解與引申 教材中選取了2個例題，例1是讓學生會應用公式求拋物線的焦點坐標和準線方程。例2是應用方面的問題，關鍵是由題意設出拋物線的方程即可。 2 2。 3 2 拋物線的幾何性質 （1） 拋物線的幾何性質 下

63、面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質，從拋物線的標準方程y2=2px(p＞0)出發(fā)來研究它的幾何性質． (二)幾何性質 怎樣由拋物線的標準方程確定它的幾何性質？以y2=2px(p＞0)為例，用小黑板給出下表，請學生對比、研究和填寫． （2） 例題的講解與引申 例3有2種解法；解法一運用了拋物線的重要性質：拋物線上任一點到焦點的距離(即此點的焦半徑)等于此點到準線的距離．可得焦半徑公式設P(x0， 這個性質在解決許多有關焦點的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握． (2)由焦半徑不難得出焦點弦長公式：設AB是過拋物線焦點的一條弦(焦點弦)，若A(x1，y1)、B(x2，

64、y2)則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當AB⊥x軸，拋物線的通徑|AB|=2p 例4涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量，得到關于另一變量的一元二次方程，然后用韋達定理求解，這是解決這類問題的一種常用方法． 附 教學教案 2.4.1拋物線及標準方程 知識與技能目標 使學生掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導過程． 要求學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力． 過程與方法目標 情感，態(tài)度與價值觀目標 （1）培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的

65、和諧美。 （2）培養(yǎng)學生觀察，實驗，探究與交流的數(shù)學活動能力。 能力目標：（1）重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養(yǎng)； 　　　　　 （2）啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題； 　　　　?。?）通過教師指導發(fā)現(xiàn)知識結論，培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力 （1） 復習與引入過程 回憶平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么當e=1時，它又是什么曲線？ 2．簡單實驗 如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條

66、繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結． （3） 新課講授過程 （i）由上面的探究過程得出拋物線的定義 《板書》平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線. (ii) 拋物線標準方程的推導過程 引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程．這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的2倍． 由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下)： 將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P＞0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶．即：當對稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px，相應地左