《高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題二 函數、導數、不等式 12_2 函數與方程及函數的應用課件 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題二 函數、導數、不等式 12_2 函數與方程及函數的應用課件 理 新人教版（89頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第二講 函數與方程及函數的應用,【知識回顧】 1.幾種常見函數模型 (1)一次函數模型:_____________. (2)二次函數模型:________________. (3)指數函數模型:____________________. (4)對數函數模型:_____________________.,y=ax+b(a0),y=ax2+bx+c(a0),y=abx+c(b0且b1),y=blogax+c(a0且a1),(5)分段函數模型:________________(A1A2=).,2.函數的零點 (1)函數的零點及函數的零點與方程的根的關系 對于函數f(x),把使f(x)=0的實數x叫做
2、函數f(x)的 _____,函數F(x)=f(x)-g(x)的零點就是方程f(x)=g(x) 的根,即函數y=f(x)的圖象與函數y=g(x)的圖象交點的 _______.,零點,橫坐標,(2)零點存在性定理 如果函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線,并且有_____________,那么函數y=f(x)在區(qū)間 (a,b)內有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也 就是方程f(x)=0的一個根.,f(a)f(b)<0,【易錯提醒】 1.忽略概念致誤:函數的零點不是一個“點”,而是函數圖象與x軸交點的橫坐標.,2.不能準確應用零點存在性定理致誤:函數零點存在性
3、定理是說滿足某條件時函數存在零點,但存在零點時不一定滿足該條件.即函數y=f(x)在(a,b)內存在零點,不一定有f(a)f(b)<0.,【考題回訪】 1.(2016四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(),(參考數據:lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年,【解析】選B.設x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為 200萬元, 由題可知,130(1+12%)x
4、=200,解得x=log1.12 =3.80,因資金需超過200萬,則x取4,即2019年.,2.(2016天津高考)已知函數f(x)= (a0且a1)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|= 2-x恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是(),【解析】選C.,由y=loga(x+1)+1在0，+)上遞減，則0
5、3a2時，由圖象可知，符合條件. 綜上：a,3.(2016江蘇高考)已知函數f(x)=ax+bx(a0,b0, a1,b1). (1)設a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若對任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求實 數m的最大值.,(2)若01,函數g(x)=f(x)-2有且只有1個零點,求ab的值.,【解析】(1)f(x)=2x+ ,由f(x)=2可得2x+ =2(2x1)2=02x=1x=0; 由題意得22x+ m -6恒成立, 令t=2x+ ,則由2x0可得t =2,此時t2-2 mt-6恒成立,即m 恒成立,,因為t2時 =4,當且僅當t=2時等號成立
6、,因 此實數m的最大值為4. (2)g(x)=f(x)-2=ax+bx-2, g(x)=axlna+bxlnb=axlnb ,01可 得 則h(x)是遞增函數,而lna0,因此x0= 時,h(x0)=0,,因此x(-,x0)時,h(x)0,則g(x)0,axlnb0,則g(x)0, 則g(x)在(-,x0)上遞減,在(x0,+)上遞增,因此g(x)的最小值為g(x0).,若g(x1) =2,bx0,則g(x)0, 因此x10,因此g(x)在(x1,x0) 有零點,則g(x)至少有兩個零點,與條件矛盾. 若g(x0)0,函數g(x)=f(x)-2有且只有1個零點, g(x)的最
7、小值為g(x0),可得g(x0)=0, 由g(0)=a0+b0-2=0,,因此x0=0,因此 即lna+lnb=0,ln(ab)=0,則ab=1.,熱點考向一函數的零點 命題解讀:主要考查利用函數零點存在性定理或數形結合法確定函數零點的個數或其存在范圍,以及應用零點求參數的值(或范圍),常用高次函數、分式、指數式、對數式、三角式結構為載體,以選擇題、填空題為主;有時與導函數結合在解答題中出現.,命題角度一確定函數零點個數或其存在范圍 【典例1】(1)(2016大慶一模)已知函數f(x)= 若 ,則f(x)零點所在區(qū)間為(),(2)(2016合肥二模)定義在R上的奇函數f(x),當x0 時
8、,f(x)= 則關于x的函數F(x)=f(x) -a(0
9、析】由典例1(2)解析知函數f(x)與y=a有5個交點, 設其橫坐標從左到右分別為x1,x2,x3,x4,x5,則 = -3, =3,而- (-x3+1)=alog2(1-x3)=ax3=1- 2a,可得x1+x2+x3+x4+x5=1-2a. 即所有零點之和為1-2a.,2.若把典例1(2)條件中“01時零點個數為1. 當a=-1或a=1時,零點個數為3. 當-1
10、=x2,若g(x)=f(x)-logax在x (0,+)上有且僅有三個零點,則a的取值范圍為(),A.3,5B.4,6 C.(3,5)D.(4,6) 【解題導引】根據函數的周期性和奇偶性畫出f(x)和y=logax在(0,+)上的圖象,根據交點個數列出不等式,解出a.,【規(guī)范解答】選C.因為f(x)-f(-x)=0, 所以f(x)=f(-x), 所以f(x)是偶函數, 根據函數的周期性和奇偶性畫出f(x)的圖象如圖所示:,因為g(x)=f(x)-logax在x(0,+)上有且僅有三個零 點, 所以y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+)上只有三個交 點, 所以 解得3
11、律方法】 1.判斷函數零點個數的方法 (1)直接求零點:令f(x)=0,則方程解的個數即為零點的個數. (2)利用零點存在性定理:利用該定理還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點.,(3)數形結合法:對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形,常會通過分解轉化為兩個能畫出的函數圖象交點問題.,2.利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解. (2)分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解. (3)轉化為兩熟悉的函數圖象的位置關系問題,從而構建不等式求解.,【題組過關】 1.(2016武漢一模)函數f(x)=lnx+x3-9的零點
12、所在的區(qū)間為() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4),【解析】選C.由于函數f(x)=lnx+x3-9在(0,+)上是增函數,f(2)=ln2-10,故函數f(x)=lnx+x3-9在區(qū)間(2,3)上有唯一的零點.,2.(2016赤峰一模)若函數y=f(x)(xR)滿足f(x+2)= f(x),且x-1,1時,f(x)=1-x2,g(x)= 則函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間-5,5內的零點的個數 為() A.5B.7C.8D.10,【解析】選C.本題考查函數的圖象與性質,函數與方程.由f(x+2)=f(x)可得f(x)是周期為2的周期函數;畫出函數f(x)與g
13、(x)的圖象(如圖所示);它們在區(qū)間-5,5內有8個交點,所以函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間-5,5內的零點的個數為8.,3.(2016亳州二模)已知函數f(x)= (a0,且a1)的圖象上關于y軸對稱的點至少有5對,則 實數a的取值范圍為(),【解析】選D.若x0, 因為x0時,f(x)=sin -1, 所以f(-x)=sin -1 =-sin -1, 則若f(x)=sin -1(x0)關于y軸對稱,,則f(-x)=-sin -1=f(x), 即y=-sin -1,x<0, 設g(x)=-sin -1,x<0, 作出函數g(x)的圖象, 要使y=-sin -1,x<0與f(x)
14、=loga(-x),x<0的圖象至 少有5個交點,,則0logaa-2, 即7< ,綜上可得0
15、f(x)=x3-3x+m的導函數為:f(x)= 3x2-3,所以f(x)=x3-3x+m的極大值為f(-1)=2+m,極小 值為f(1)=-2+m. 因為該函數只有一個零點,所以f(-1)=2+m0,所以m2.,熱點考向二函數與方程的綜合應用 命題解讀:主要考查以高次式、分式、指數式、對數式、三角式以及絕對值式為載體的方程解的個數或由其解的個數求參數的值(或范圍),常與函數的圖象與性質交匯命題,以選擇題、填空題為主.,【典例3】(1)(2016安慶一模)已知函數f(x)= 若函數g(x)=f(x)-k僅有一個零點,則k 的取值范圍是(),(2)(2016山東高考)已知函數f(x)= 其
16、中m0,若存在實數b,使得關于x的方程f(x)=b有三個 不同的實根,則m的取值范圍是________.,【解題導引】(1)轉化函數的零點為方程的根,利用數形結合求解即可. (2)轉化為兩個函數y=f(x)與y=b的圖象有三個不同的交點問題,數形結合求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.函數f(x)= 若函數g(x)=f(x)-k僅有一個零點, 即f(x)=k,只有一個解, 在平面直角坐標系中畫出,y=f(x)的圖象, 結合函數圖象可知,方程只有一個解時,k(-,0),(2)由圖象可知,要滿足題設要求,必須有mm2- 2mm+4m,所以m2-2m2+4m0,整理后,解得 m3. 答案:,【規(guī)律方法
17、】應用函數思想確定方程解的個數的兩種方法 (1)轉化為兩熟悉的函數圖象的交點個數問題、數形結合、構建不等式(方程)求解. (2)分離參數、轉化為求函數的值域問題求解.,【題組過關】 1.(2016湖北七校聯考)已知f(x)是奇函數并且是R上的單調函數,若函數y=f(2x2+1)+f(-x)只有一個零點,則實數的值是(),【解析】選C.令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,且f(x)是奇函 數,則f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),又因為f(x)是R上 的單調函數,所以2x2+1=x-只有一個零點,即2x2-x+ 1+=0只有一個解,則=1-8(1+)=0,解得=- .,2.(2016
18、長沙二模)已知f(x)= 若存在實 數b,使函數g(x)=f(x)-b有兩個零點,則a的取值范 圍是________.,【解析】依題意可知,問題等價于方程x3=b(xa)與方 程x2=b(xa)的根的個數和為2,若兩個方程各有一個根, 則可知關于b的不等式組 有解,所以a21;,若方程x3=b(xa)無解,方程x2=b(xa)有2個根; 則可知關于b的不等式組 有解,從而a<0, 綜上,實數a的取值范圍是(-,0)(1,+). 答案:(-,0)(1,+),【加固訓練】 1.設函數f(x)=-x,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),則
19、實數a的取值范圍為() A.(-,4B.(0,4 C.(-4,0D.4,+),【解析】選A.f(x)=-x0,所以f(x)的值域是 (-,0. 設g(x)的值域為A,因為對任意x1R,都存在x2R,使f(x1)=g(x2),所以(-,0A.設y=ax2-4x+1的值域為B,則(0,1B. 顯然當a=0時,上式成立.當a0時,=16-4a0,,解得0
20、C.當x(2,3)時,x-2(0,1), 則f(x)=2f(x-2)-2=2(x-2)2-2(x-2)-2, 即為f(x)=2x2-10 x+10, 當x3,4時,x-21,2, 則f(x)=2f(x-2)-2= -2.,當x(0,1)時,當x= 時,f(x)取得最小值,且為- ; 當x1,2時,當x=2時,f(x)取得最小值,且為 ; 當x(2,3)時,當x= 時,f(x)取得最小值,且為- ; 當x3,4時,當x=4時,f(x)取得最小值,且為-1. 綜上可得,f(x)在(0,4上的最小值為- .,若x(0,4時,t2- f(x)恒成立, 則有t2- - .解得1t .,熱點考向三函數的
21、實際意義 命題解讀:主要考查涉及物價、投入、產出、路徑、工程、環(huán)保等國計民生的實際問題,常以面積、條件、利潤等優(yōu)化問題出現,與函數的最值、不等式、導數的應用綜合命題,一般為解答題.,【典例4】一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池四周用墻建造單價為400元/米,中間兩道隔墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/平方米,水池所有墻的厚度忽略不計.,(1)試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價. (2)若由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16米,試設計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價.,【解題導引
22、】(1)先設出一個變量,得出關于總造價的關系式,進而求出最小值即可. (2)注意池底的限制條件,重新求(1)中解析式的最值即可.,【規(guī)范解答】 (1)設污水處理池的寬為x米,則長為 米. 總造價f(x)=400 +2482x+80162 =1296x+ +12960 =1296 +12960 12962 +12960,=38880(元), 當且僅當x= (x0), 即x=10時取等號, 所以當污水處理池的長為16.2米,寬為10米時總造價最 低,總造價最低為38880元.,(2)由限制條件知 所以 x16, 設g(x)=x+ 當x= 時,總造價最低, 最低價為1296 +12
23、960=38882(元), 所以當污水處理池的長為16米,寬為 米時總造價最 低,總造價最低為38882元.,【規(guī)律方法】應用函數模型解決實際問題的一般程序 和解題關鍵 (1)一般程序: (2)解題關鍵:解答這類問題的關鍵是確切地建立相關 函數解析式,然后應用函數、方程、不等式和導數的有 關知識加以綜合解答.,【題組過關】 1.(2016哈爾濱二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和 煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)= 已知 某家庭今年前三個月的煤氣費如表:,若四月份該家庭使用了20m3的煤氣,則其煤氣費為() A.11.5元B.11元 C.10.5元D.10元,【解析】選A.經分析
24、知:A4,C=4. 根據題意有: 解得: 所以f(20)=4+0.5(20-5)=11.5.,2.(2016成都一模)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:)滿足函數關系y=ekx+b(e= 2.718為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0的保鮮時間是192小時,在22的保鮮時間是48小時,則該食品在33的保鮮時間是________小時.,【解析】由題意得 當x=33時,y=e33k+b=(e11k)3eb= 192=24. 答案:24,【加固訓練】 1.某人想開一家服裝專賣店,經過預算,該門面需要 門面裝修費20000元,每天需要房租、水電等費用100 元,受經
25、營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響,專賣店 銷售總收益R與門面經營天數x的關系式是R=R(x)=,則總利潤最大時,該門面經營的 天數是() A.100B.150C.200D.300,【解析】選D.由題意知,總成本C=20000+100 x. 所以總利潤P=R-C = 則P= 所以P在0,300上單調遞增,在(300,+)上單調遞減, 由題意易知當x=300時,總利潤最大.,2.(2016廈門模擬)某地一漁場的水質受到了污染.漁 場的工作人員對水質檢測后,決定往水中投放一種藥劑 來凈化水質.已知每投放質量為m(mN*)個單位的藥劑 后,經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足 y
26、=mf(x),其中f(x)= 當藥劑在水中釋 放的濃度不低于6(毫克/升)時稱為有效凈化;當藥劑在,水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時稱為最佳凈化. (1)投放的藥劑質量為m=6,試問漁場的水質達到有效凈化一共可持續(xù)幾天? (2)投放的藥劑質量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內的漁場的水質達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質量m的取值范圍.,【解析】(1)由題設知投放的藥劑質量為m=6,漁場的水 質達到有效凈化6f(x)6f(x)1 或 0
高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題二 函數、導數、不等式 12_2 函數與方程及函數的應用課件 理 新人教版
