《振動(dòng)與波動(dòng)》PPT課件

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1、第8章 振動(dòng)與波動(dòng),惠更斯： (ChristianHaygen，16291695) 荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。他建立了光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)，提出了惠更斯原理。主要著作有1690年出版的論光，共有22卷。,一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程,彈簧振子：彈簧物體系統(tǒng),平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置,輕彈簧質(zhì)量忽略不計(jì),物體可看作質(zhì)點(diǎn),簡(jiǎn)諧振動(dòng) 微分方程,,8.1簡(jiǎn)諧振動(dòng),單擺,結(jié)論：?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 角頻率,振動(dòng)的周期分別為：,,,,擺球?qū)點(diǎn)的力矩,,,其通解為：,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程或叫振動(dòng)方程,速度方程,加速度方程,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量,振幅 A

2、:,簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。,頻率：,角頻率:,周期T ：,物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。,單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。,對(duì)彈簧振子,單擺,固有周期、固有頻率、固有角頻率, 是t =0時(shí)刻的相位初相位,相位和相位差,相位 決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),同相和反相(同頻率振動(dòng)),當(dāng) = 2k 兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相。,當(dāng) = (2k+1) 兩振動(dòng)步調(diào)相反 , 稱反相。,同相,反相,超前和落后,若 = 2- 1 0 , 則 稱 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,由初始條件求振幅和初相位,,,,,例,已知A=0.12m，T=2s，,一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，

3、振幅為0.12m，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。,求,(1)初相；(2) t = 0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度； (3)在x = -0.06m處，且向x軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)。物體從這一狀態(tài)回到平衡位置的最短時(shí)間。,解,設(shè)其運(yùn)動(dòng)方程為則速度和加速度分別為,則速度和加速度分別為,當(dāng)t=0時(shí)，,當(dāng)t = 0.5s時(shí),,（3）由于三角函數(shù)具有周期性，取第一個(gè)周期即可。設(shè)當(dāng)物體在0.06m，且向x軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t1，平衡位置對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t2，則,,,如圖m=210-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)?l=9.8cm，t=0時(shí)，x0=9.8cm, v0=0, 確定平

4、衡位置 mg=k l 取為原點(diǎn) 令向下有位移 x, 則回復(fù)力,,例,求, 取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；,（2）若取x0=0，v00為計(jì)時(shí)零點(diǎn),寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。,解,作諧振動(dòng) 設(shè)其方程為,由初條件得,由x0=0.098m,振動(dòng)方程為：,(2)按題意,t=0 時(shí) x0=0，v00,對(duì)同一諧振動(dòng)計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同,不同，但、A不變,固有頻率,,二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,,,用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系,,,,,,,,,,,,,,,,同相,反相,諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系,,由圖可見：,o,,,,,,,,,,,,超前,超前,,已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示

5、.,,,方法1: 設(shè)振動(dòng)方程為,,例,求,其振動(dòng)方程。,解,或,,,,,,故振動(dòng)方程為,方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。,或,,,,,v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t 時(shí)刻相位,由圖知,,,例,由圖可知,求,一物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí)，位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。,（2）在x = -0.06m處，且向x軸負(fù)向方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體從這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間,（1）初相；,由圖可知,,,,,,,,,,(1)圖,解,(2)圖,以彈簧振子為例,某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x,三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,機(jī)械能,（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）,由起始能量求振幅

6、,,,,四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,分振動(dòng) :,合振動(dòng) :,,,,結(jié)論：合振動(dòng) x 仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng),,合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其頻率仍為,合振動(dòng) :,,,,,,,,,,,,旋轉(zhuǎn)矢量法,,若 A1=A2 , 則 A=0,討論,若兩分振動(dòng)同相：,若兩分振動(dòng)反相:,合振動(dòng)加強(qiáng),,合振動(dòng)減弱,,,,合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng),式中,隨t 緩變,隨t 快變,合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng),同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,分振動(dòng),合振動(dòng),當(dāng)21時(shí),,拍: 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象,拍頻 : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =|2-1|,,,,,,,,,,消去參數(shù)t得合振動(dòng)的軌跡方程,分振動(dòng),互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

7、的合成,同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,討論,,,當(dāng),,質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移,質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移,,,當(dāng),質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。,,當(dāng),當(dāng),質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。,,,李薩如圖形,不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,,,8.2 相平面 相空間,一、廣義坐標(biāo) 廣義速度,在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用6個(gè)變量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述，,一般來(lái)講，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用n個(gè)廣義坐標(biāo)qi 和n個(gè)相應(yīng)的廣義速度pi 共2n 個(gè)變量描述。,二、相平面 相空間,以(qi，pi)為坐標(biāo)，可以構(gòu)建一個(gè)2n（n 為力學(xué)系統(tǒng)的獨(dú)立變量的數(shù)目）維的狀態(tài)空間。這個(gè)狀態(tài)空間稱為相

8、空間.,相空間:,當(dāng)然如果力學(xué)系統(tǒng)只有兩個(gè)變量，相空間就簡(jiǎn)化為相平面。,相平面:,相平面、相空間中的“相”是指物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相空間的每一點(diǎn)稱為相點(diǎn)，對(duì)應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)；狀態(tài)空間的每一曲線稱為相軌跡或相圖，對(duì)應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)一種可能的狀態(tài)變化過(guò)程。,以位置和速度作為坐標(biāo)參量構(gòu)建的平面或新的空間，是最簡(jiǎn)單的相平面或相空間。,如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)為x、速度,為坐標(biāo),建立一個(gè)平面坐標(biāo)系Oxy,就是最簡(jiǎn)單的相平面,以（x，y ）,相平面中的一個(gè)點(diǎn)M（x,y ），對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，M 稱為相點(diǎn)。,在相平面中相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是相圖，一般是一條光滑的曲線。,相點(diǎn),相軌跡,以簡(jiǎn)諧振子為例，來(lái)分析討論相圖的

9、實(shí)際應(yīng)用。,簡(jiǎn)諧振子的位移、速度和加速度分別為,常數(shù)C由初始條件決定。,以x和y為軸，可建立相平面Oxy。,簡(jiǎn)諧振子的相圖,研究諧振子的位移、速度隨時(shí)間的變化，就可以得到一系列點(diǎn)，繼而可描繪出一條曲線相軌跡。,對(duì)于一定的C值，相軌跡是一個(gè)橢圓，如圖所示。,從位移、速度公式中消去時(shí)間t ，得,按C值的不同，可得到一族大小不同的橢圓。,從相軌跡中，可以看出,簡(jiǎn)諧振子的所有相軌跡都是閉合曲線。相點(diǎn)沿閉合曲線運(yùn)行了一周，又回到原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),因此可以斷定，所有的橢圓相軌跡都對(duì)應(yīng)著一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，其周期是一個(gè)有限值。,在相平面上的O點(diǎn)處，物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度均為零，相平面上這樣的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)平衡狀態(tài)。若

10、沒有任何擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離O點(diǎn)，它將一直停留在該點(diǎn)。,,,三、奇點(diǎn),相圖上速度和加速度同時(shí)為零的那些點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)著動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)。,奇點(diǎn)的分類,中心,焦點(diǎn),結(jié)點(diǎn),鞍點(diǎn),8.3 非線性振動(dòng),一、非線性振動(dòng)系統(tǒng),由非線性微分方程所描述的振動(dòng)，稱其為非線性振動(dòng)。,下面以單擺做自由振動(dòng)為例進(jìn)行分析,單擺的線性振動(dòng),將sin按泰勒級(jí)數(shù)展開可得,,,,單擺,很小時(shí)，3以上可忽略不計(jì)，同時(shí)令2=g/L可得,由上式可知，小角度下單擺的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為,單擺的非線性振動(dòng),隨著的增大，擺球的運(yùn)動(dòng)方程為一個(gè)非線性微分方程。,可以證明單擺的周期變?yōu)?式中m是最大角位移，即單擺振

11、動(dòng)的角擺幅。,當(dāng) 時(shí)，T，T/T隨擺幅m變化關(guān)系如圖所示。,可見單擺的周期是一個(gè)向無(wú)窮大發(fā)展的非線性變化。,兩邊積分得,單擺線性振動(dòng)的相圖,即,T/T隨擺幅m變化關(guān)系,可見，線性振動(dòng)的相軌跡為橢圓,,中心點(diǎn)是穩(wěn)定的奇點(diǎn).,初始條件確定后，單擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程就對(duì)應(yīng)于其中一個(gè)橢圓，單擺的運(yùn)動(dòng)是一系列的同周期運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全確定。,單擺非線性振動(dòng)的相圖,如果對(duì)擺角不加限制，微分方程變成非線性微分方程，對(duì)方程兩邊積分可得,單擺無(wú)阻尼線性振動(dòng)的相圖,當(dāng)t=0時(shí)，=0,可見，其相圖不再是一橢圓，相軌跡兩端凸出略呈尖角狀，但仍是封閉曲線，表示運(yùn)動(dòng)仍是周期性往復(fù)擺動(dòng)。,當(dāng)擺幅增大到時(shí)，相跡線上出現(xiàn)了兩個(gè)分支點(diǎn)

12、，我們稱之為鞍點(diǎn),如上圖.,單擺無(wú)阻尼非線性振動(dòng)的相圖,鞍點(diǎn)和中心點(diǎn)一樣也是一個(gè)奇點(diǎn)，但是在鞍點(diǎn)上,說(shuō)明鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，因?yàn)榕c之相連的四條相軌跡中兩條指向它，兩條背離它，而附近相軌跡呈雙曲線狀,從勢(shì)能曲線和相圖上可知,處勢(shì)能最大，,勢(shì)能曲線、相圖、鞍點(diǎn),雙曲點(diǎn)的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動(dòng)的可能,假定存在阻尼和驅(qū)動(dòng)力，讓擺作受迫振動(dòng)這樣一來(lái)，雙曲點(diǎn)就成了敏感區(qū)能量稍大，單擺就會(huì)越過(guò)勢(shì)壘的頂峰，跨到它的另一側(cè)；能量稍小，則為勢(shì)壘所阻，滑回原來(lái)的一側(cè)單擺向回?cái)[動(dòng)。,二、非線性振動(dòng)系統(tǒng)的混沌行為,仍以單擺為例, 前面已經(jīng)討論過(guò)它的自由振動(dòng),下面分析其阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng),有阻尼、無(wú)策動(dòng)力的振動(dòng),小擺幅時(shí)

13、運(yùn)動(dòng)方程為,小擺幅時(shí),按阻尼的大小其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分為過(guò)阻尼、臨界阻尼、和阻尼振動(dòng).從相圖可知,無(wú)論單擺從什么初始狀態(tài)出發(fā),最后都要靜下來(lái).其狀態(tài)最終要落到中央焦點(diǎn)處,這一點(diǎn)好象能把相空間的點(diǎn)逐漸地吸引起來(lái),稱為“吸引子”,單擺阻尼振動(dòng)的相圖(小擺幅),有阻尼、并有策動(dòng)力的振動(dòng),大擺幅時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是非線性的,單擺阻尼振動(dòng)的相圖(大擺幅),此時(shí),從其相圖上可以看出, 相平面被分成不同的區(qū)域, 相軌跡都收斂與該區(qū)域中心的吸引子.,振動(dòng)方程為,這是非線性微分方程,此時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況變得非常復(fù)雜,可以對(duì)三個(gè)參量在不同組合情況下進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,畫出相圖來(lái)分析.,有策動(dòng)力、有阻尼時(shí)單擺的相圖,保持其他兩個(gè)參量不變

14、, f 逐漸增加時(shí),單擺的相圖會(huì)產(chǎn)生如下變化:,f=1.07,出現(xiàn)2倍的周期, f 變化兩個(gè)周期后單擺才恢復(fù)原狀;,f=1.15,相軌跡分布看似沒有規(guī)律,反映了某種內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征;,f =1.45,單擺運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)2倍的周期,作單向旋轉(zhuǎn);,f=1.35,相軌跡又呈現(xiàn)比較簡(jiǎn)單分布, 恢復(fù)單倍周期狀態(tài),但此時(shí)單擺并非作來(lái)回振動(dòng),而是作單向的旋轉(zhuǎn);,f=1.47,單擺出現(xiàn)4倍的周期,作單向旋轉(zhuǎn);,f=1.50, 又出現(xiàn)貌似無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng),但比 f=1.15,時(shí)更為混亂.,由此可見,在受迫阻尼振動(dòng)中,單擺的運(yùn)動(dòng)反映出如下特征:,,描述運(yùn)動(dòng)特征的動(dòng)力學(xué)方程是非線性的;,這些非線性方程是確定性的,不包含任何隨時(shí)

15、間變化的 隨機(jī)項(xiàng);,,,在某些情況下,單擺出現(xiàn)了貌似無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng).此時(shí)系統(tǒng)對(duì)初始條件特別敏感,初始條件的微小差異可能導(dǎo)致面目全非的結(jié)果.這就是單擺的混沌行為.,系統(tǒng)出現(xiàn)的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。,混沌:,一般無(wú)法用解析的方法求解，只能在給定參量和初值條件下用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。,混沌現(xiàn)象具有如下特征:,,對(duì)初值敏感依賴最初的微小差別會(huì)隨時(shí)間逐漸放大而導(dǎo)致明顯的巨大差別。,運(yùn)動(dòng)不可重現(xiàn),不可預(yù)報(bào);,,,相軌跡顯示混沌運(yùn)動(dòng)收斂于“奇怪吸引子”;,,混沌現(xiàn)象,研究表明，混沌僅出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中，是非線性引起的隨機(jī)性。而自然界中絕大多數(shù)實(shí)際過(guò)程都是非線性的，因此，混沌是一種普遍存在而又極其復(fù)雜的現(xiàn)象。,自

16、70年代以來(lái)，許多科學(xué)家都在各自的領(lǐng)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，如湍流、非線性振蕩電路、激光運(yùn)行系統(tǒng)、超導(dǎo)中的約瑟夫遜結(jié)系統(tǒng)等都存在混沌現(xiàn)象。,混沌不僅是數(shù)理學(xué)科的理論,而是遍布各個(gè)領(lǐng)域.如化學(xué)反應(yīng)中的混沌行為、股票市場(chǎng)的混沌現(xiàn)象、生態(tài)學(xué)中的“蟲口模型” 等等,比如天氣預(yù)報(bào)中存在混沌現(xiàn)象，雖然不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)幾年后的天氣情況，但可以很好地預(yù)報(bào)明后幾天的天氣情況；,這說(shuō)明，混沌現(xiàn)象的內(nèi)在隨機(jī)性與隨機(jī)系統(tǒng)中的隨機(jī)性有著本質(zhì)區(qū)別。,總之，混沌的隨機(jī)性是一種內(nèi)在的隨機(jī)性，它將使我們永遠(yuǎn)不能對(duì)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)和預(yù)測(cè)。,混沌并不是完全無(wú)序，而是無(wú)序中隱含著有序；,條件,8.4 波動(dòng)方程,一、 機(jī)械波的產(chǎn)生

17、,二、橫波和縱波,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波傳播方向相互垂直的波；如柔繩上傳播的波。,介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波傳播方向相互平行的波；如空氣中傳播的聲波。,波源：作機(jī)械振動(dòng)的物體,,橫波：,縱波：,機(jī)械波:,機(jī)械振動(dòng)以一定速度在彈性介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)地傳播出去，就形成機(jī)械波。,彈性介質(zhì)：承擔(dān)傳播振動(dòng)的物質(zhì),波的傳播方向,特點(diǎn)：具有波峰和波谷,橫波,,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向,縱波,波的傳播方向,,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向,,,,,特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域,下面以橫波為例觀察波的形成過(guò)程,靜止,,,,,振動(dòng)狀態(tài)傳至4,,,,,,,振動(dòng)狀態(tài)傳至7,振動(dòng)狀態(tài)傳至10,,,,振動(dòng)狀態(tài) 傳至13,,,,,結(jié)論,(1) 波動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)并不隨

18、波前進(jìn)；,(2) 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后,波動(dòng)是相位的傳播；,(3) 波動(dòng)曲線與振動(dòng)曲線不同。,波面和波線,在波傳播過(guò)程中，任一時(shí)刻媒質(zhì)中振動(dòng)相位相同的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的面。,波面:,沿波的傳播方向作的有方向的線。,柱面波,在各向同性均勻介質(zhì)中，波線波面。,波線:,波前:,在某一時(shí)刻，波傳播到的最前面的波面。,注意,,,x,y,z,,波面,波線,球面波,波面,波線,波面,波線,平面波,同一波線上相鄰兩個(gè)相位差為 2 的質(zhì)點(diǎn)之間的距離；即波源作一次完全振動(dòng)，波前進(jìn)的距離。波長(zhǎng)反映了波的空間周期性。,三、波長(zhǎng) 周期 頻率和波速,,波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)距離所需的時(shí)間。周期表征了波的時(shí)間周期性。,單位時(shí)間內(nèi)，波前進(jìn)

19、距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關(guān)系為,振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度。波速與波長(zhǎng)、周期和頻率的關(guān)系為,(1) 波的周期和頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無(wú)關(guān)；一般情況下，與波源振動(dòng)的周期和頻率相同 。,縱波的波速為：,(2) 波速實(shí)質(zhì)上是相位傳播的速度，故稱為相速度； 其大小主要決定于介質(zhì)的性質(zhì)，與波源及波的頻率無(wú)關(guān)。,說(shuō)明,,,固體既可以傳播縱波也可以傳播橫波,液體和氣體只能傳播縱波，其波速由下式給出,固體媒質(zhì)中傳播的橫波速率由下式給出：,稀薄大氣中的縱波波速為,三、簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程,波面為平面的簡(jiǎn)諧波,介質(zhì)傳播的是諧振動(dòng)，且波所到之處，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)作同頻率的諧振動(dòng)。,本節(jié)主要討論在無(wú)吸收（即不吸收所傳播的振

20、動(dòng)能量）、各向同性、均勻無(wú)限大介質(zhì)中傳播的平面簡(jiǎn)諧波。,平面簡(jiǎn)諧波,平面簡(jiǎn)諧波,說(shuō)明,,簡(jiǎn)諧波是一種最簡(jiǎn)單、最基本的波，研究簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)規(guī)律是研究更復(fù)雜波的基礎(chǔ)。,簡(jiǎn)諧波:,y,,,,,,x,x,,P,O,簡(jiǎn)諧振動(dòng),從時(shí)間看, P 點(diǎn) t 時(shí)刻的位移是O 點(diǎn),簡(jiǎn)諧振動(dòng),,平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),時(shí)刻的位移;,從相位看，P 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位較O 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)相位落后,,若,P 為任意點(diǎn),,其它形式,由波函數(shù)可知波的傳播過(guò)程中任意兩質(zhì)點(diǎn) x1 和 x2 振動(dòng)的相位差為,x2x1, <0，說(shuō)明 x2 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位總落后于x1 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；,討論,,u 實(shí)際上是振動(dòng)相位的傳播速度。,t1 時(shí)刻x1 處的

21、振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)t 時(shí)間傳播到x1+x 處，則,可得到,若波沿軸負(fù)向傳播時(shí)，同樣可得到波動(dòng)方程:,其 它 形 式,,如圖，,在下列情況下試求波動(dòng)方程：,(3) 若 u 沿 x 軸負(fù)向，以上兩種情況又如何？,例,(1) 以 A 為原點(diǎn)；,(2) 以 B 為原點(diǎn)；,,B,A,,,,已知A 點(diǎn)的振動(dòng)方程為：,,,,(1)在 x 軸上任取一點(diǎn)P ，A點(diǎn) 振動(dòng)方程為：,波函數(shù)為：,解,P,,(2) B 點(diǎn)振動(dòng)方程為：,(3) 以 A 為原點(diǎn)：,以 B 為原點(diǎn)：,波動(dòng)方程:,表示在t1 時(shí)刻的波形,t 與 x 都發(fā)生變化,表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程,波動(dòng)方程的物理意義,x=x1（常數(shù)）,t=t1（常數(shù)）,表

22、示介質(zhì)中任何質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移,已知t1時(shí)刻的波形圖（紫色），要確定t=t1+t時(shí)刻的波形圖，只須將其沿波的傳播方向平移ut的距離即可（紅色）,,,,t=t1時(shí),t=t1+t時(shí),,可以證明三維的波動(dòng)方程為：,其中為質(zhì)點(diǎn)的位移,從上兩式可得波動(dòng)方程：,波動(dòng)方程的一般形式,波速 u =400m/s, t = 0 s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動(dòng)方程。,,,設(shè)波動(dòng)方程為,t = 0 s時(shí)刻yo=2m，vo0，所以,O點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)的位移及速度,,,,,例,解,同理，對(duì)于P點(diǎn)有,t = 0 s時(shí)刻yP=0，vP0，所以,波動(dòng)方程為,,,,沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.

23、5m/s求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。,,t=2s,,,由圖知,t=0原點(diǎn)0:,,例,解,一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為,(1) a. 比較法(與標(biāo)準(zhǔn)形式比較）,標(biāo)準(zhǔn)形式,波函數(shù)為,比較可得,例,解,求,(1) 波的振幅、波長(zhǎng)、周期及波速； (2) 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度。,振幅,波長(zhǎng),周期,波速,(2),b.分析法（由各量物理意義，分析相位關(guān)系）,8.5 波的干涉和衍射,一、惠更斯原理,,,R1,R2,S1,S2,O,,,,,,,,,惠更斯提出：,波前上任意一點(diǎn)都 可看作是新的子波源；所有子波源各自向外發(fā)出許多子波；各個(gè)子波所形成的包絡(luò)面，就是原波面在一定時(shí)間內(nèi)所傳播到的新波面。,已知某一

24、時(shí)刻波前，可用幾何方法決定下一時(shí)刻波前；,,,,,,惠更斯原理解釋衍射現(xiàn)象,,二、疊加原理,波傳播的獨(dú)立性,疊加原理,當(dāng)幾列波在傳播過(guò)程中在某一區(qū)域相遇后再行分開，各波的傳播情況與未相遇一樣，仍保持它們各自的頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等特性繼續(xù)沿原來(lái)的傳播方向前進(jìn)。,在波相遇區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，為各波單獨(dú)存在時(shí)所引起的振動(dòng)的合振動(dòng)。,,,v1,v2,注意,波的疊加原理僅適用于線性波的問(wèn)題,,,根據(jù)疊加原理可知，P 點(diǎn)處振動(dòng)方程為,,,,,S1,S2,,合振動(dòng)的振幅,,P,P,P 點(diǎn)處波的強(qiáng)度,三、波的干涉,相干條件:,頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定。,相位差,當(dāng),干涉相長(zhǎng),當(dāng),干涉相消,空間

25、點(diǎn)振動(dòng)的情況分析,討論,干涉相長(zhǎng),若,若,干涉相消,干涉相長(zhǎng),干涉相消,從能量上看，當(dāng)兩相干波發(fā)生干涉時(shí)，在兩波交疊的區(qū)，合成波在空間各處的強(qiáng)度并不等于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強(qiáng)度分布是時(shí)間上穩(wěn)定的、空間上強(qiáng)弱相間具有周期性的一種分布。,,A、B 為兩相干波源，距離為 30 m ，振幅相同， 相同，初相差為 ,u = 400 m/s,f =100 Hz 。,例,A、B 連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置。,求,解,,,B,A,,,,,,30m,（P 在A 左側(cè)）,（P 在B 右側(cè)）,(即在兩側(cè)干涉相長(zhǎng)，不會(huì)出現(xiàn)靜止點(diǎn)),r1,r2,P 在A、B 中間,干涉相消,(在 A，B 之間

26、距離A 點(diǎn)為 r1 =1,3,5,,29 m 處出現(xiàn)靜止點(diǎn)),8.5 聲波 超聲波,一、聲波,聲波是機(jī)械波的一種。在彈性介質(zhì)中傳播的縱波，其頻率約在20到20000Hz范圍內(nèi)，能引起人的聽覺，這種波叫作聲波。頻率低于20Hz的叫次聲波，高于20000Hz的叫超聲波。,超聲波具有波動(dòng)的一般特性，也能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象。,氣體中的聲速,為氣體定壓摩爾熱容與定容摩爾熱容之比，P為氣體的壓強(qiáng),。,為氣體的密度,如在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，空氣中的聲速為,例,試求摩爾質(zhì)量為m、溫度為T 的理想氣體中的聲速。,解,可見在同一溫度下，聲波在液體和固體中的傳播速度要比在氣體中大得多,聲壓,介質(zhì)中有聲波傳播時(shí)

27、的壓強(qiáng)與無(wú)聲波時(shí)的靜壓強(qiáng)之間有一差值，這一壓強(qiáng)差稱為聲壓。,聲壓的成因很明顯，由于聲波是疏密波，在稀疏區(qū)域，實(shí)際壓強(qiáng)小于原來(lái)靜壓強(qiáng)，在稠密區(qū)域，實(shí)際壓強(qiáng)大于原來(lái)靜壓強(qiáng)。,顯然，由于介質(zhì)中各點(diǎn)聲振動(dòng)作周期性變化，聲壓也在作周期性變化。前者聲壓為負(fù)值，后者聲壓為正值。,對(duì)平面簡(jiǎn)諧波來(lái)說(shuō)，可以證明聲壓振幅為,聲強(qiáng) 聲強(qiáng)級(jí),單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲波能量，叫聲波的能流密度或聲強(qiáng)。,可以證明，聲強(qiáng)公式為,超聲波的頻率高，因而它的聲強(qiáng)就很大。,爆炸聲、炮聲等聲波由于振幅大、聲強(qiáng)也可以很大。,即聲強(qiáng)與頻率的平方、振幅的平方成正比，其單位是,能夠引起人聽覺的聲強(qiáng)范圍大約為10-12Wm-

28、21Wm-2。此范圍很大。,通常規(guī)定聲強(qiáng)I010-12Wm-2(即相當(dāng)于頻率為1000Hz的聲波能夠引起聽覺的最弱的聲強(qiáng))為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)。如果某一聲波的聲強(qiáng)為I，則比值I/I0的對(duì)數(shù)，叫作相應(yīng)于聲強(qiáng)I 的聲強(qiáng)級(jí)L,聲強(qiáng)級(jí),L的單位為貝耳(B)。,B這一單位太大，實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常采用貝耳的1/10，即分貝(dB)為單位，,在聲學(xué)中常用聲強(qiáng)級(jí)來(lái)描述聲波在介質(zhì)中各點(diǎn)的強(qiáng)弱。,一些常遇到的聲音的聲強(qiáng) 聲強(qiáng)級(jí)和響度,二、超聲波,一般在氣體中使用的超聲波頻率可達(dá)106Hz，在固體和液體中使用的超聲波頻率可達(dá)109Hz，利用共振現(xiàn)象可以增大其振幅，得到很強(qiáng)的功率。,超聲波的波長(zhǎng)很短，一般為10-610-4m

29、.波長(zhǎng)越短，衍射現(xiàn)象越不顯著，所以超聲波易于定向；它在反射、折射及聚焦等方面與光波相似，從而可以得到高能量、方向性良好的超聲波束。,在空氣中超聲波阻尼很大，但在液體、固體中阻尼很小。特別在導(dǎo)體性溶液(如海水)中，這些特性，在實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。,超聲檢測(cè)技術(shù),利用超聲波的定向發(fā)射性質(zhì),可以探測(cè)水中的物體,如探測(cè)魚群、潛艇等,也可以測(cè)量海水的深度,研究海底的地形起伏,發(fā)現(xiàn)海礁和淺灘.,在工業(yè)上,超聲波可以探測(cè)工件內(nèi)部的缺陷(如氣泡、裂縫、砂眼等),超聲波與捕魚,如試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，魚在覓食時(shí)可發(fā)出一定的特征聲譜。當(dāng)人工模仿或直接播放魚在覓食時(shí)發(fā)出的特征聲譜時(shí)，即使不投放誘餌也可引誘大量的魚群，大大有

30、利于捕撈。,超聲波在食品加工及醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用,由于超聲波的破壞作用，能使微生物和病毒死亡。因此，在制備水果罐頭牛奶、飲水、血清、培養(yǎng)苗、疫苗等時(shí)，均可使用超聲波消毒。,利用超聲波的乳化、凝結(jié)和擴(kuò)散作用可以將某些不溶于水的藥物制成水溶液或針劑。,超聲波掃描儀用于動(dòng)物疾病的診斷，以及利用超聲波的熱效應(yīng)治療動(dòng)物的一些疾病等。,超聲波對(duì)肌肉的溫?zé)嶙饔每山獬龔埩?，發(fā)生普遍的充血現(xiàn)象，軟化疤痕及改善循環(huán)等效果。,超聲波對(duì)植物的作用,用一定的強(qiáng)度和頻率的超聲波處理大麥，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其發(fā)芽的平均時(shí)間縮短，萌發(fā)的機(jī)能也增長(zhǎng)了。,用超聲波處理種在某種程度上加快了種子的萌發(fā)，并且可以打破有些種子的休眠期，,在中草藥種植方面效果尤為顯著。這是因?yàn)榉N子由于超聲波能量的影響，從而加強(qiáng)了種子細(xì)胞中的氧化過(guò)程。,