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1、專項(xiàng)強(qiáng)化練(一) 選修4－2：矩陣與變換(理獨(dú))
題型一 常見平面變換
1．已知變換T把平面上的點(diǎn)(3，－4)，(5,0)分別變換成(2，－1)，(－1,2)，試求變換T對應(yīng)的矩陣M.
解：設(shè)M＝，
由題意得，＝，
∴解得
即M＝.
2．(2019高郵中學(xué)模擬)已知點(diǎn)A在變換T：→＝作用后，再繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到點(diǎn)B.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4,3)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解：設(shè)A(x，y)，則A在變換T下的坐標(biāo)為(x＋3y，y)，又繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90對應(yīng)的矩陣為，
所以＝＝，得解得
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－9,4).
3．設(shè)矩陣M＝(其中a>0，b>0)，若曲線C：x2＋y2
2、＝1在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a＋b的值．
解：設(shè)曲線C：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)P(x，y)，在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P1(x1，y1)，
則＝，
即
又點(diǎn)P1(x1，y1)在曲線C′：＋y2＝1上，所以＋y＝1，則＋(by)2＝1為曲線C的方程．
又曲線C的方程為x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1，
因?yàn)閍>0，b>0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.
[臨門一腳]
1．把點(diǎn)A(x，y)繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角的變換，對應(yīng)的矩陣是，這個矩陣不能遺忘．
2．求點(diǎn)被矩陣變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)或求曲線被矩陣變換后的曲線所用方法是求軌跡中的相關(guān)點(diǎn)法
3、．
3．求直線在矩陣作用下所得直線方程，可以取兩個特殊點(diǎn)求解比較簡便．
題型二 矩陣的復(fù)合、矩陣的乘法及逆矩陣
1．已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把點(diǎn)(2,3)變成點(diǎn)(3,4)．
(1)求a，b的值；
(2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2.
解：(1)由題意，得＝，
即解得
(2)由(1)，得A＝.
由矩陣的逆矩陣公式得B＝＝.
所以B2＝＝.
2．設(shè)二階矩陣A，B滿足A－1＝，(BA)－1＝，求B－1.
解：設(shè)B－1＝，因?yàn)?BA)－1＝A－1B－1，
所以＝，即
解得所以B－1＝.
[臨門一腳]
1．矩陣的行列式＝ad－bc，如果ad－bc≠0，
4、則矩陣存在逆矩陣．
2．矩陣的逆矩陣為.
3．逆矩陣求解可以用定義法求解也可以用公式求解，用公式求解時要寫出原始公式．
4．若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1，乘法順序不能顛倒．
題型三 特征值和特征向量
1．已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1,2)變換成(－2,4)．
(1)求矩陣M；
(2)求矩陣M的另一個特征值．
解：(1)設(shè)M＝，
由題意，M＝＝8，
M＝＝，
∴解得
即M＝.
(2)令特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，
解得λ1＝8，λ2＝2.
5、矩陣M的另一個特征值為2.
2．已知矩陣A＝，A的兩個特征值為λ1＝2，λ2＝3.
(1)求a，b的值；
(2)求屬于λ2的一個特征向量α.
解：(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－4)＋b＝λ2－(a＋4)λ＋4a＋b＝0，
于是λ1＋λ2＝a＋4，λ1λ2＝4a＋b.解得a＝1，b＝2.
(2)設(shè)α＝，則Aα＝＝＝
3＝，故解得x＝y(tǒng).
所以屬于λ2的一個特征向量為α＝.
3．已知矩陣M＝，β＝，計(jì)算M6β.
解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，對應(yīng)的一個特征向量分別為α1＝，α2＝.
令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.
所以M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝436－3(－1)6＝.
[臨門一腳]
1．A＝是一個二階矩陣，則f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc稱為A的特征多項(xiàng)式．
2．矩陣M＝的特征值λ滿足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，屬于λ的特征向量α＝滿足M＝λ.
3．特征值和特征向量，可以用定義求解也可以用公式求解．
4．Mnβ的計(jì)算流程要熟悉，這也是求特征值和特征向量的應(yīng)用．
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（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練（一）矩陣與變換 理 選修4-2
