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附錄1
驅動輪輸送帶的牽引力與滑動的比較
A.J.G. Nuttall*,G. Lodewijks
迪福特技術大學, 傳送技術和物流管理， Mekelweg 2 ， 2623 CD迪福特 ，荷蘭接收于 2005 年7月 13 日；在校接收于 2005 年12月 15 日；被承認于2006 年1月2日，網(wǎng)上發(fā)布于2006年3月2日
摘要：
本文提出了用于水平帶式輸送機的現(xiàn)有模型的擴展, 描述有彎曲表面的輸送帶的驅動輪的牽引力和滑動之間的關系。模型包括以麥克斯韋元件形式運行表面的具有黏彈性的橡膠。應用正確的要素之后，主要是解決彼此相連各元素（原來沒有建模的）之間的交互作用, 實驗的結果表明模型能夠很好地匹配，則帶速在一定的速度范圍內(nèi)對牽引力有小的作用。
2006 Elsevier 公司版權所有。
關鍵詞: 旋轉關系；牽引力；粘彈性；麥克斯韋模型； 帶式輸送帶； 彎曲帶表面
1.引言
傳統(tǒng)的帶式輸送機在輸送大塊礦石時，在輸送系統(tǒng)的首部或尾部都會有一個纏有皮帶的動力滑輪的驅動裝置，如圖1所示。這表明輸送帶系統(tǒng)的驅動結構中有單一的或是雙重的驅動裝置。但是，當需要兩個以上的驅動配置時，問題就會出現(xiàn)。由于驅動輪不能放置在沿運輸帶的繩纜任意位置，不影響礦石的滾落，不能充分利用分散動力系統(tǒng)的優(yōu)點。
在多種復雜的驅動系統(tǒng)中，可選擇性的驅動方法可以提供更大的布局柔性，還能增強直接作用在皮帶表面的驅動輪性能，產(chǎn)生所需的牽引力。例如在Enerka–Becker 系統(tǒng)(簡稱E–BS)中，都會有一些帶有裝在輸出軸上驅動輪的馬達形成一對驅動力，實際上可以放在沿皮帶的任意位置。Bekel [1]也提議使傳統(tǒng)的驅動帶底部變硬來弄平傳送帶，它可以用一對驅動輪帶動起來。在傳送帶沿線任意位置設立驅動裝置的自由度可以使系統(tǒng)設計者們有機會在部分組件出現(xiàn)故障時，通過平衡已安裝的驅動力來控制皮帶上的張力。這就是降低張力的關鍵，可以用同樣輕型的皮帶構造從而忽略傳送帶的長度。這將會降低成本，增強結構的柔性，也使組件的標準化成為可能。
對于常規(guī)的驅動帶和驅動輪，如在E–BS中的，產(chǎn)生的牽引力是由皮帶與滑輪或驅動輪表面接觸力和摩擦系數(shù)決定的。但是，隨著驅動輪的外形使得磨擦不完全來自于皮帶的張力，而是源自皮帶與其運送礦石的重量和壓縮軸產(chǎn)生的力。在常規(guī)的傳送帶中，由于驅動滑輪歐拉公式[2]的不同，常用來決定最大可轉移的有效牽引力，而不能用于一個傳送驅動輪輸送機。所以，一個新的模型需要明確表述，考慮材料、皮帶的幾何性質和驅動。
圖1
本文提出的就是一個像E–BS的模型，描述了牽引與傳送帶驅動輪中滾動接觸補片的滑動之間的關系。模型包括橡膠的黏彈性，作為一個Maxwell元素的陣列，與過去常用在Bekel [1]系統(tǒng)中的彈性方法相比較。模型都與試驗結果相比較。牽引-滑動關系是有作用的，因為牽引和滑動與正常的摩擦力相結合，極大影響皮帶表面的磨損率。在壽命內(nèi)，為了防止帶損壞，設定允許的最大限度磨損率，這可導致降低最大可轉移的牽引。
2.基于粘彈性的摩擦力建模
很多研究者都用Maxwell模型來量化滾筒在富有粘彈性表面滾動的能量消耗[3—5]，與輸送帶穿過托輥相比。當皮帶通過托輥時，橡膠表面迅速伸縮。因為橡膠表面材料經(jīng)常會產(chǎn)生粘彈性，從而導致壓力的不對稱分配，也就是產(chǎn)生了阻力。通過實現(xiàn)粘彈性來推測阻力，Maxwell模型主要用在三種參數(shù)格式。其中一種比較特殊，由Lodewijks[6]描述，以Winkler的基礎或鋪墊結合為三個參數(shù)化Maxwell模型包括彈簧，彼此沒有相互作用。因為在相互作用的組件之間的剪力無法測算可以忽略不計，從而使計算變得簡單。盡管簡化的結果可以表明輸送帶的運行能夠產(chǎn)生令人滿意的效果。所以，Maxwell模型參數(shù)同Winker的基礎結合將會提供一個研究分析傳送帶驅動輪牽引力與滑動力關系的起點。
為了在E—BS中能更詳細描述出驅動輪對牽引力的影響，模型提供了兩種途徑。首先，Maxwell要素的數(shù)量增加到可以在整個接觸補片過程中提供模型與橡膠特性之間的有效結合。其次，一個毛刷模型也用于描述汽車輪胎[4]的橡膠輪胎面的作用也常來用來計算驅動輪與皮帶之間由于滑動而產(chǎn)生的剪力。
這三個參數(shù)Maxwell模型，都是由系列中的單個的Maxwell要素組成，滿足傳統(tǒng)的輸送帶要求，因為在托輥與輸送帶之間可以描述為一系列的接觸，由于持續(xù)的接觸長度覆蓋了接觸區(qū)域使模型只能通過單一激振頻率配合，使調(diào)整單個Maxwel時間常數(shù)到這個激振頻率成為可能。但是，在E—BS中，彎曲的運行表面，有一個橢圓的接觸區(qū)域?；谠跈E圓片中不同的接觸長度，模型只好以一定范圍的頻率配合。圖2即描述了模型是怎樣演示皮帶穿過托輥或驅動輪變化的過程。一個以角速度運轉的剛性滾筒施加到以皮帶速度為運轉的彎曲的黏彈性表面上，形成了橢圓的接觸區(qū)域。
在激振范圍內(nèi)，為配合以橡膠的粘彈性的模型，產(chǎn)生了附加的Maxwell要素。一系列Maxwell要素近似黏彈性的特性，每個包括以以硬度為的彈簧的彈力度和一個減幅系數(shù)為的減震器。如圖3所示。理想的模型應該有無限多的元素組成，但是，由于實際情況與計算的原因，理想狀況通過一定數(shù)量的要素到m簡化了。
圖2 圖3
Maxwell模型要素需要通過調(diào)整來適應在測量振蕩試驗中的帶的黏彈性的復雜彈性模量，材料承受正弦交變應力和應變[8，9]的情況下。圖4表明橡膠用于E—BS皮帶的作用下的實驗結果。這些實驗結果有代表性地表達了如存儲能模量，損失模量和損失因素等內(nèi)容。同時，提出了復雜的彈性模量和與其相關的內(nèi)容如下：
一定數(shù)量的用在模型中的Maxwell要素m依賴于想得到的頻率范圍內(nèi)所需復雜彈性模量的精確度。以可能的輸送帶的輸送速度為～，近似接觸長度為0.02m，激振頻率范圍從80到。當要素的數(shù)量增加時，精確度也隨之增加。但是，有越多要素的模型也會變得越復雜，增加更多計算消耗的時間，搜索開始條件以配合程序難度增加時對優(yōu)化路線很好的集中。此外，由于執(zhí)行最小二乘法，要素的最大數(shù)量由實驗測量數(shù)據(jù)所限制，從而不可能有比數(shù)據(jù)節(jié)點更多的模型參數(shù)。
圖4表示當使用大量的不同的Maxwell要素時，模型是怎樣適應測量E—BS黏彈性特性的。
圖形清楚地說明了有一個要素（或是三個參數(shù)值）的最簡單模型產(chǎn)生不滿意的在之間近似值同改善的三個要素（或七個參數(shù)值）之間的區(qū)別。有七參數(shù)的模型最終選為好的匹配，用于進一步的計算中。
圖4彈力屬性示意圖
3．正常的應力分布
當在牽引極限內(nèi)驅動輪施加了牽引力到傳送帶上，粘性和滑動區(qū)域存在于接觸平面。在粘性區(qū)由于施加的牽引力只有橡膠表面變形，而在滑動區(qū)域因為表面的摩擦極限已經(jīng)達到，橡膠表面也滑過輪的表面。為了確定區(qū)域的位置，根據(jù)庫倫德渙—湯定理，再建模時加入摩擦。
（11）
式中為摩擦系數(shù)。
要解這個方程,在接觸面壓力分布(x,y)應首先確定，接觸面壓力由Z軸方向的粘彈性表面的變形定義(見圖 2 ) 。對于這一計算的假設為剪應力不影響正常應力的分布，也由Johnson[3]使用。 如果接觸區(qū)域與滾筒曲面和橡膠表面 (如和)相比很小，剛剛壓入表面的距離為，然后接觸面的變形可以描述如下：
（12）
以恒定皮帶的帶速的穩(wěn)定狀態(tài)下，以厚度h的Winkle基本理論和變形方程（12）()，對于麥克斯韋要素的微分方程可以表示如下式：
（13）
該微分方程可由設定在超前邊緣之間的接觸面的壓力等于零或() = 0時求解，因為在第一個接觸點根本沒變形出現(xiàn)。求解方程揭示了在接觸平面內(nèi)壓力
和 （14）
合力可由分布在整個接觸區(qū)域的應力分布的合力或式
. （15）
計算。
尾緣的接觸面位置的確定可設定值為零。
4.剪應力分布
有了計算的壓力分布和測得的摩擦系數(shù)，大部分資料可以確定在滑移帶內(nèi)的剪應力由公式（11）確定。下一個重要步驟是找出剪應力在整個接觸面分布是粘帶的剪應力計算。在粘帶，接觸表面無無滑動發(fā)生。然而，牽引力施加時，在驅動輪子的外徑和皮帶之間出現(xiàn)表觀速差或蠕變。這個表觀速率也稱為蠕變速率并定義為：
(16)
式中是驅動車輪的角速度。
蠕變速率與剪切角有關，由下列公式計算:
（17）
為了在粘性區(qū)域建立蠕變速率和剪應力分布的關系，麥克斯韋模型與刷子模型相結合來描述剪切效應。如圖5中刷子模型的描述是接觸區(qū)域內(nèi)帶的具有代表性的簡化。它分為剛性元素鉸接，并由放置在其基礎上扭轉的彈簧支撐。扭轉彈簧的特性也是基于Maxwell模型與圖3種的彈簧元素相似。
以剪切模量，剪應力和剪切角替換公式（1）、（2）和（6）中的彈性模量，應力應變，分別導出了描述行為的基礎元素。在穩(wěn)態(tài)條件下,使用變形方程（17）的微分方程描述每個麥克斯韋剪切元素可以寫成：
(18)
為了獲得黏彈性剪切參數(shù)，必須指導進行附加的振動試驗，在橡膠試驗中試樣承受的剪應力和應變。 然而，事實上，由于沒有結果的剪切試驗是可行的，剪切參數(shù)是來自正常應力試驗和在如下列公式幫助下轉換得到：
(19)
如果假定粘性區(qū)域開始于接觸面的先導邊緣，可以找到微分方程（18）的解決方案，在粘帶內(nèi)屈服剪應力為：
(20)
無論是粘性區(qū)和滑移區(qū)的分布現(xiàn)在可以由整合計算每個區(qū)域分開計算的剪應力
(21)
其中代t1(y)表粘性區(qū)到滑動區(qū)過渡線。它代表了那里邊剪應力到達邊界摩擦，可以求解：
(22)
5.修正系數(shù)
修正系數(shù)fs是為了彌補這樣的事實,即在相鄰彈簧元素Winkler基礎不包含剪切效應，以層的實際剛度來配合模型的剛度。在這種情況下,驅動車輪以及帶間的速度差很小，尾緣滑移區(qū)變得微乎其微。由于在接觸區(qū)域幾乎沒有滑移,發(fā)生速差或蠕變主要由由層剛度決定。相應蠕變速率的極限，由約翰遜[3]獲得，用半空間近似，是： 或 (23)
式中和接觸面寬度的每單位長度來測量。
正應力可表示為接觸區(qū)域先導邊緣距離的函數(shù)。bekel [1]從下從列公式得出,用赫茲公式：
(24)
是靜態(tài)測量的彈性模量。與此方程正應力從公式 （23）中消去。為了配合剛度的刷子模型, 切線在開始于模型的牽引力曲線與公式（23）描述的蠕變曲線相匹配，其可由下式計算
（25）
式中和是修正系數(shù)。
由式（23）-（25）合并消去，給出如下修正系數(shù)：
模型的剛度由公式（26）中的系數(shù)測量的麥克斯韋參數(shù)補償。
6.實驗驗證
在E—BS和驗證模型中驅動狀態(tài)下，進行實驗測量牽引和滑移的實際關系。試驗過程中，用到兩個輪子，見圖.5。 一個輪子由鋼絲制成，代表驅動輪，是由電動馬達驅動，另一個輪子均由膠帶覆蓋，有橡膠層硬化在其上，它也是連接到電動機上，用作可調(diào)式剎車系統(tǒng)。每個電機軸上的應變計測量產(chǎn)生的轉矩?？烧{(diào)彈簧也可以用來把制動輪放到傳動輪，使其能夠控制接觸力。兩個輪子的直徑選成相等的,當作用力相反時，生成互相接觸補片。與在E—BS中，在傳動輪()和帶之間的補片相比較。
從每個實驗的開始，接觸力和驅動車輪的轉速設定成所需值。 為了彌補減少制動輪直徑的橡膠層的壓痕，速度的制動輪調(diào)整僅低于同步轉速，直至制動力矩降低到零。從這個角度考慮，當實測牽引力為零時，牽引滑移曲線所造成的相繼降低將導致制動車輪速度和測量由此增加24%～28%。同時它也顯示了曲線，計算結果與實際給出的粘彈性模型,同時用來形容牽引滑移關系的一個車輪驅動橡膠帶。 bekel[1]采用了一個類似半空間的做法形容約翰遜為線接觸涉及完全彈性材料，其中結果為：
和 (25)
結果表明,提出的Maxwell模型提供了一個很好的匹配值與實測值低的接觸力。隨著接觸力的增加，從模型低估了實際的24%～28%。由于粘彈性的影響，粘彈性牽引，不同曲線計算，如果以不同的速度，結果經(jīng)常與接觸力速度范圍從電子布的標準皮帶速度1.6增長到以一個潛在的高速應用與皮帶速度。
圖5
圖6速度分析與
曲線圖. 6建議這個牽引跌幅在壓紋速度將以最大的降低發(fā)生在中間的滑動范圍。但是，這種影響似乎很小，在可行的范圍內(nèi)速度的帶式輸送機。隨著速度的影響在同一量級的測量誤差，可以斷定，在這種情況下對粘彈性部分的橡膠制品性能的影響很小，關系牽引滑移。
7.結論
本文表明,擴大到三參數(shù)Maxwell模型用來計算作用在黏彈性層的滾筒滾動阻力是有可能的，包括想要的特性來決定牽引力和滑移之間的關系。這種模式有很多簡化后，這相對簡單，計算方便聯(lián)絡的模式，其中包括粘行為。在引入一個校正關系來彌補失效的結果，從實驗的覆蓋材料的電子布置膠帶形勢表明該模型產(chǎn)生令人滿意的結果與實測值。進一步分析與驗證模型顯示速度依賴牽引滑移關系，是一個小的且在可行的速度范圍內(nèi)固定了帶式輸送機。從學到的知識關系中可知牽引滑動將是一個寶貴的系統(tǒng)，因為這一系統(tǒng)設定當選擇多個驅動站安裝時如在皮帶輸送系統(tǒng)像E—BS分布。
參考文獻：
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附錄 2