《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.6隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：已知在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布，要求其函數(shù)的分布一個(gè)隨機(jī)變量的分布，要求其函數(shù)的分布(假定此函假定此函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量)。對(duì)這類問(wèn)題的解決方法。對(duì)這類問(wèn)題的解決方法,我我們希望通過(guò)已知的們希望通過(guò)已知的的分布來(lái)求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布來(lái)求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布。的分布。一、一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布一、一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布下面我們給出求下面我們給出求的分布函數(shù)和密度函的分布函數(shù)和密度函數(shù)的一般步驟：數(shù)的一般步驟：（1）由）由的值域的值域確定確定的值域的值域
2、。（2）對(duì)任意一個(gè)）對(duì)任意一個(gè)，求出，求出，即，即其中其中是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合。是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合。（3）按分布函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出）按分布函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出；（4）對(duì)對(duì) 求導(dǎo)數(shù)得到求導(dǎo)數(shù)得到，即，即 例例1設(shè)設(shè)服從服從，求，求的分布函數(shù)和的分布函數(shù)和密度函數(shù)。密度函數(shù)。解解的取值范圍為的取值范圍為，且，且（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，（2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，（3）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以，所以，分布函數(shù)為分布函數(shù)為所以，所以，密度函數(shù)為密度函數(shù)為例例2 設(shè)設(shè)，求，求的密度函數(shù)的密度函數(shù)。解解隨機(jī)變量隨機(jī)變量的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值范圍為的取值范圍為，（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，（2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，因此，因
3、此，的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為所以，所以，的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為例例3已知已知的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為求求的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解解的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，因此?duì)任意一個(gè)，因此對(duì)任意一個(gè)，有，有所以，所以，的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為如果如果是一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，是一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù)則隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)有如下性質(zhì)：的密度函數(shù)有如下性質(zhì)：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為，是一個(gè)單調(diào)函數(shù)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)單調(diào)函數(shù)且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是是的反函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù)的反函數(shù)，則隨機(jī)變量的函數(shù)的的密度函數(shù)為密度函數(shù)為利用這條性質(zhì)，我
4、們可以得到一條關(guān)于正態(tài)分利用這條性質(zhì)，我們可以得到一條關(guān)于正態(tài)分布的線性性質(zhì)，結(jié)果如下：布的線性性質(zhì)，結(jié)果如下：設(shè)設(shè)則則特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)時(shí)，時(shí)，例例4設(shè)設(shè)服從服從，求，求的密度函數(shù)的密度函數(shù)。解解已知已知且且為一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其反為一個(gè)單調(diào)且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)函數(shù)，則隨機(jī)變量函數(shù)，則隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為例例5假設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)假設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑徑（單位：（單位：mm)服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小，內(nèi)徑小于于10或大于或大于12為不合格品，其余為合格品，銷(xiāo)售每為不合格品，其余為合格品，銷(xiāo)售每件合格品獲利，銷(xiāo)售每
5、件不合格品則虧損，已知銷(xiāo)件合格品獲利，銷(xiāo)售每件不合格品則虧損，已知銷(xiāo)售利潤(rùn)售利潤(rùn)（單位：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑（單位：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑有如下有如下關(guān)系：關(guān)系：求求的分布律。的分布律。解解顯然顯然不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上，不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上，是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能的取值為是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能的取值為，且，且同理同理所以，所以，的分布律為的分布律為二、二維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)二、二維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)已知已知的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為，如何求得隨機(jī)，如何求得隨機(jī)變量變量的密度函數(shù)？下面著重討論的密度函數(shù)？下面著重討論的分布。的分布。例例6設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立，且都服從指數(shù)
6、分布相互獨(dú)立，且都服從指數(shù)分布，試求試求的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解解指數(shù)分布指數(shù)分布的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為因?yàn)橐驗(yàn)閄與與Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X與與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為的值域的值域，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，其中其中，從而，當(dāng)，從而，當(dāng)時(shí)，時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)得通過(guò)求導(dǎo)數(shù)得的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 例例7 7 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且，試求，試求的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解解因?yàn)橐驗(yàn)閄與與Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X與與Y的聯(lián)合密度函的聯(lián)合密度函數(shù)為數(shù)為的值域的值域，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，其中其中。由于。由于和和時(shí)的積分區(qū)域形狀不同，因此，需要分別討論。時(shí)的積分區(qū)域形狀不同，因此，需要分別討論。當(dāng)
7、當(dāng) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以，所以，的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求導(dǎo)數(shù)得到求導(dǎo)數(shù)得到的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)X與與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為時(shí)，時(shí)，的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為對(duì)花括號(hào)內(nèi)的積分作變換對(duì)花括號(hào)內(nèi)的積分作變換，得到，得到于是于是從而，從而，Z的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為當(dāng)當(dāng)X與與Y相互獨(dú)立時(shí)，上式成為相互獨(dú)立時(shí)，上式成為這個(gè)公式稱為卷積公式。這個(gè)公式稱為卷積公式。把把X與與Y的地位對(duì)調(diào)，同樣可得卷積公式的另一的地位對(duì)調(diào)，同樣可得卷積公式的另一種形式種形式 注意：由于許多問(wèn)題中注意：由于許多問(wèn)題中是分段函數(shù)，是分段函數(shù)，因此具體問(wèn)題中使用卷積公式并不帶來(lái)方便。當(dāng)密因此
8、具體問(wèn)題中使用卷積公式并不帶來(lái)方便。當(dāng)密度函數(shù)度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，應(yīng)用卷積公式可以是連續(xù)函數(shù)時(shí)，應(yīng)用卷積公式可以直接求得密度函數(shù)，因而比較方便。直接求得密度函數(shù)，因而比較方便。定理定理3.9（正態(tài)分布的可加性）（正態(tài)分布的可加性）設(shè)設(shè)X與與Y相互相互獨(dú)立，當(dāng)獨(dú)立，當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有證明證明的邊緣密度函數(shù)分別為的邊緣密度函數(shù)分別為按卷積公式，對(duì)任意一個(gè)按卷積公式，對(duì)任意一個(gè)，隨機(jī)，隨機(jī)變量函數(shù)變量函數(shù)的密度函數(shù)的密度函數(shù)由習(xí)題由習(xí)題3.12提供的積分公式得到提供的積分公式得到這恰是這恰是的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。用數(shù)學(xué)歸納法不難把定理用數(shù)學(xué)歸納法不難把定理3.9推廣到推廣到n個(gè)相互獨(dú)個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨
9、機(jī)變量和上去。立的正態(tài)隨機(jī)變量和上去。在有些情形下，對(duì)略微復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)在有些情形下，對(duì)略微復(fù)雜一點(diǎn)的函數(shù)(例如例如等等)用本節(jié)所講的一般用本節(jié)所講的一般方法也很容易解決。計(jì)算過(guò)程的關(guān)鍵是確定區(qū)域方法也很容易解決。計(jì)算過(guò)程的關(guān)鍵是確定區(qū)域并求出重積分。并求出重積分。三、串并聯(lián)系統(tǒng)問(wèn)題三、串并聯(lián)系統(tǒng)問(wèn)題設(shè)兩個(gè)元件的壽命分別為設(shè)兩個(gè)元件的壽命分別為，假定它們相互，假定它們相互獨(dú)立。獨(dú)立。（1）當(dāng)這兩個(gè)元件并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為）當(dāng)這兩個(gè)元件并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為（2）當(dāng)這兩個(gè)元件串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為）當(dāng)這兩個(gè)元件串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的壽命為如果如果的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為，那，那么么U的分布函數(shù)為的分
10、布函數(shù)為V的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為對(duì)于對(duì)于n個(gè)元件的串聯(lián)系統(tǒng)與并聯(lián)系統(tǒng)，很容易個(gè)元件的串聯(lián)系統(tǒng)與并聯(lián)系統(tǒng)，很容易得到類似的結(jié)果。得到類似的結(jié)果。例例8設(shè)設(shè)X與與Y是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，它們是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，它們都服從區(qū)間都服從區(qū)間上的均勻分布，其中上的均勻分布，其中，試求，試求與與的密度函數(shù)的密度函數(shù)。解解均勻分布均勻分布的分布函數(shù)的分布函數(shù)U的值域的值域，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，于是，于是，U的密度函數(shù)的密度函數(shù) V的值域的值域，當(dāng)，當(dāng)時(shí)：時(shí)：于是，于是，V的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為這里還要指出，盡管最大值、最小值分布函數(shù)這里還要指出，盡管最大值、最小值分布函數(shù)的公式對(duì)離散型隨機(jī)變量適用，但是，由于涉及較的公式對(duì)離散型隨機(jī)變量適用，但是，由于涉及較麻煩的分段函數(shù)運(yùn)算，因此還是用麻煩的分段函數(shù)運(yùn)算，因此還是用2.6中給出的方中給出的方法較容易，即通過(guò)求出概率函數(shù)來(lái)得到分布函數(shù)。法較容易，即通過(guò)求出概率函數(shù)來(lái)得到分布函數(shù)。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4
