小學(xué)數(shù)學(xué) 奧林匹克競(jìng)賽 輔導(dǎo)培訓(xùn) 專項(xiàng)學(xué)習(xí)直線型面積

《小學(xué)數(shù)學(xué) 奧林匹克競(jìng)賽 輔導(dǎo)培訓(xùn) 專項(xiàng)學(xué)習(xí)直線型面積》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué) 奧林匹克競(jìng)賽 輔導(dǎo)培訓(xùn) 專項(xiàng)學(xué)習(xí)直線型面積（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一講 直線型面積（一） 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用直線型面積的最基本性質(zhì)——等積變形； 2. 熟練掌握直線型面積模型： （1）等積變形 （2）鳥頭模型 （3）任意四邊形模型 （4）梯形“蝴蝶”模型 （5）相似模型 （6）燕尾定理模型 知識(shí)精講 直線型面積求解是在以三角形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形等一些規(guī)則圖形為基礎(chǔ)上進(jìn)行的。 最基本的思想是等積變形。 一、等積變形 ①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； ②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如左圖 ③夾在一

2、組平行線之間的等積變形，如右上圖； 反之，如果，則可知直線平行于． ④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； ⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比． 二、鳥頭定理 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 ⑴(或在的延長(zhǎng)線上，在上)， 則 三、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)： ①或者

3、 ② 蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑．通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系． 板塊一、等積變形 【例 1】 (三帆中學(xué))長(zhǎng)方形的面積為36，、、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、、，而 即； 而， ． 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點(diǎn)法．找的特殊點(diǎn)，把

4、點(diǎn)與點(diǎn)重合， 那么圖形就可變成下圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： ． 解法三：可以找到長(zhǎng)方形的特殊狀態(tài)正方形，然后就和上面的特殊點(diǎn)法一樣． 【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積． 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法．由于是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米． （法2）連接、． 由于與的面積

5、之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米． 【鞏固】(2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試)是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示，是內(nèi)部任意一點(diǎn)，、，那么陰影部分的面積是__________． 【解析】 尋找可以利用的條件，連接、、、可得右圖所示： 則有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以陰影部

6、分的面積是： 即為：． 這個(gè)題同樣可以用特殊點(diǎn)法來(lái)做，點(diǎn)與點(diǎn)重合． 【例 2】 (人大附中入學(xué)試題)在長(zhǎng)方形中，，，四邊形的面積是，求陰影總面積． 【解析】 將這個(gè)復(fù)雜的圖形分解成簡(jiǎn)單的圖形來(lái)思考． 仔細(xì)分析一下的面積可得，如下面左圖： 根據(jù)等積變化，可以得到,同理由右圖可以得到； 所以陰影部分的面積和是：, 而,所以陰影總面積是：． 【鞏固】如右圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是5厘米，陰影部分的面積和是12平方厘米，求四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 根據(jù)例1

7、，可得、，而 可得：(平方厘米)． 【例 3】 (華杯2004年試題)如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積． 【解析】 連接、、(在上圖上已經(jīng)標(biāo)出)，則，根據(jù)等積變化，可得、,所以陰影部分的面積就等于正方形的面積，即為100平方厘米． 【鞏固】?jī)蓚€(gè)正方形如右圖表示，大正方形的邊長(zhǎng)是10，求圖中 陰影的面積是多少？ 【解析】 連接(如下面的左圖)，則有,可得 ,從而可得，如下面的右圖： 從而可得陰影的面積與的面積相等． ．

8、 也可直接用特殊點(diǎn)法做這個(gè)題，將正方形的邊長(zhǎng)視為0，這、、、四點(diǎn)合一，如上面的右圖．或者直接考慮小正方形的邊長(zhǎng)也是10． 另外無(wú)論小正方形怎么小，結(jié)果是一樣的． 【例 4】 (2007年湖北省“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題)如下圖，是平行四邊形，三角形是直角三角形，長(zhǎng)8厘米，長(zhǎng)7厘米，陰影部分面積比三角形的面積大于12平方厘米，則__________厘米． 【解析】 實(shí)際上是平行四邊形的高，求出平行四邊形的面積就能求出的長(zhǎng)度． 陰影部分面積比三角形的面積大于12平方厘米，可將其替換成平行四邊形的面積比三角形的面積大12平方厘米．

9、 (平方厘米)，所以(平方厘米) 故的長(zhǎng)度是：(厘米)． 【鞏固】是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，已知的面積是5，的面積是2，求的面積是多少？ 【解析】 設(shè),因?yàn)? 所以可得：，即 另有 所以,可得()． 【例 5】 (2007年六年級(jí)希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且．則兩塊地和的面積比是_________． 【解析】 連接，如下圖表示． 設(shè)的面積為1， 的面積，則根據(jù)題上說(shuō)給出的條件，由得， 即的面積為、; 又有，、，而； 得，所以．

10、 【鞏固】如圖，已知長(zhǎng)方形的面積是16，三角形的面積是3，三角形的面積是4，那么三角形的面積是___________． 【解析】 連結(jié)對(duì)角線，如右圖： 的面積是；而的面積也是4，并且有相同的高和相同的邊()，所以．同理，的面積是，所以,即． 所以的面積是,而長(zhǎng)方形的面積是，所以的面積． 從而的面積等于． 【例 6】 (2007年天津“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)如圖所示，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12厘米，寬是8厘米，三角形的面積是32平方厘米，則___________厘米． 【解析】 解法一:可以從圖上得出,連接、．如下圖所示： 因此,也就有(平方厘米

11、), 而(平方厘米)．所以 (平方厘米) 故(厘米)． 解法二：要求的長(zhǎng)，可以先求出，而是和的底，兩個(gè)三角形的高的和等于長(zhǎng)方形的寬，并且它們的面積和是的面積．所以,所以(厘米)． 【例 7】 如圖，在平行四邊形中，，．求陰影面積與空白面積的比． 【解析】 方法一：因?yàn)椋?，所以，? 因?yàn)?，所以? 所以，． 同理可得，，． 因?yàn)?，所以空白部分的面積， 所以陰影部分的面積是． ，所以陰影面積與空白面積的比是． 【例 8】 、分別為直角梯形兩邊上的點(diǎn)，且、、彼此平行，若，，，．求陰影部分的面積． 【解析】 連接、．

12、 由于、、彼此平行，所以四邊形是梯形，且與該梯形的兩個(gè)底平行，那么三角形與、三角形與的面積分別相等，所以三角形的面積與三角形的面積相等．而三角形的面積根據(jù)已知條件很容易求出來(lái)． 由于為直角梯形，且，，，，所以三角形的面積的面積為：．所以三角形的面積為25． 【例 9】 如圖，三角形的面積是，、的長(zhǎng)度分別為11、3．求長(zhǎng)方形的面積． 【解析】 如圖，過(guò)作∥，過(guò)作∥，、交于，連接． 則 另解：設(shè)三角形、、的面積之和為，則正方形的面積為． 從圖中可以看出，三角形、、的面積之和的2倍，等于正方形的面積與長(zhǎng)方形的面積之和，即，得，所以正方形的面積為．

13、 【例 10】 如圖所示，在四邊形中，，，，分別是各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與四邊形的面積之比． 【解析】 (法1)設(shè)，，，． 連接知，，，； 所以； 同理．于是； 注意到這四個(gè)三角形重合的部分是四塊陰影小三角形，沒(méi)算的部分是四邊形；因此四塊陰影的面積和就等于四邊形的面積． (法2)特殊值法(只用于填空題、選擇題)，將四邊形畫成正方形，很容易得到結(jié)果． 【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級(jí))如圖，、、、分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、、及分別表示四個(gè)小四邊形的面積．試比較與的大?。? 【解析】 如右圖，連接、、、，則可判斷出，每條邊與點(diǎn)所構(gòu)成的

14、三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于、這兩個(gè)不同的組合，所以可知． 【例 11】 如圖，四邊形中，，，，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 ． 【解析】 運(yùn)用三角形面積與底和高的關(guān)系解題． 連接、、、，因?yàn)椋?，所以? 在中，， 在中，， 在中，， 在中，． 因?yàn)椋? 所以． 又因?yàn)? ， 所以． 【鞏固】如圖，對(duì)于任意四邊形，通過(guò)各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？ 【解析】 分層次來(lái)考慮： ⑴如下左圖，，， 所以． 又因?yàn)椋? 所以； ．

15、 ⑵如右上圖，已知，；所以； 所以，即是三等分點(diǎn)； 同理，可知、、都是三等分點(diǎn)； 所以再次應(yīng)用⑴的結(jié)論，可知，． 板塊二、鳥頭定理 【例 12】 (2007年“走美”五年級(jí)初賽試題)如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為6厘米，,．三角形的面積為_______平方厘米． 【分析】 由題意知、，可得．根據(jù)“鳥頭定理”可得，；同理得,; 而,并, 故(平方厘米)． 【例 13】 如圖，已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積． 【解析】 (法)本題是性質(zhì)的反復(fù)使用． 連接、． ∵，， ∴． 同理可得其它，最后三角形的面積

16、． (法)用共角定理∵在和中，與互補(bǔ)， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以． 【例 14】 如圖，四邊形的面積是平方米，，，，，求四邊形的面積． 【解析】 連接．由共角定理得，即 同理，即 所以 連接，同理可以得到 所以平方米 【例 15】 如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，三角形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 連接、． 因?yàn)?，根?jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”，，再根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三

17、角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”，得到，，，所以平方厘米． 板塊三、任意四邊形模型 【例 16】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積． 【解析】 ⑴根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為； ⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為， 根據(jù)蝴蝶定理，，所以， 那么． 【例 17】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 ． 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來(lái)求解． 根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè)，根據(jù)共邊

18、定理我們可以得 ，， 解得 ． 【鞏固】四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)（如圖所示）．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_________倍． ［分析］對(duì)于四邊形為任意四邊形，兩種處理方法： 1．利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決； 2．通過(guò)畫輔助線來(lái)改變?nèi)我馑倪呅危? 根據(jù)題目中給出條件， 可得 ,所以 故． 【例 18】 如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，，，求三角形的面積． 【分析】 連接． 因?yàn)?，，所以? 因?yàn)?，根?jù)共邊定理(“蝴蝶定理”結(jié)論)，， 所以．因?yàn)?，，，所以，所以，三角形的面積是． 【鞏固

19、】如圖，長(zhǎng)方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積． 【解析】 連接，． 因?yàn)?，，所以? 因?yàn)?，根?jù)共邊定理(“蝴蝶定理”結(jié)論)：，所以，所以．因?yàn)椋蚤L(zhǎng)方形的面積是平方厘米． 【例 19】 如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積． 【解析】 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接、． 由蝴蝶定理可知，而，，所以，故． 由于為中點(diǎn)，所以，故，． 由蝴蝶定理可知，所以， 那么（平方厘米）． 【例 20】 (2009年迎春杯初賽六年級(jí))正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么

20、圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米． 【解析】 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，則圖中空白部分由個(gè)與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積． 連接、、． 設(shè)的面積為”“，則面積為”“，面積為”“，那么面積為的倍，為”“，梯形的面積為，的面積為”“，的面積為． 根據(jù)蝴蝶定理，，故，， 所以，即的面積為梯形面積的，故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)． 課后練習(xí) 練習(xí)1. 如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形組

21、合而成．求陰影部分的面積． 【解析】 如圖，將大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的長(zhǎng)度設(shè)為1，則，， 所以，陰影部分面積為． 練習(xí)2. 如圖，在中，延長(zhǎng)至，使，延長(zhǎng)至，使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？ 【解析】 ∵在和中，與互補(bǔ)， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 練習(xí)3. (小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？ 【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人工湖的面積是平方千米 練習(xí)4. 如圖，，，，，．求． 【解析】 本題題目本身很簡(jiǎn)單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的種情況． 最后求得的面積為． 2010年短期班 小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)幾何第1講 教師版 page 17 of 17