小學數(shù)學 奧林匹克競賽 輔導培訓 專項學習直線型面積

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1、 第一講 直線型面積（一） 教學目標 1. 熟練運用直線型面積的最基本性質(zhì)——等積變形； 2. 熟練掌握直線型面積模型： （1）等積變形 （2）鳥頭模型 （3）任意四邊形模型 （4）梯形“蝴蝶”模型 （5）相似模型 （6）燕尾定理模型 知識精講 直線型面積求解是在以三角形、長方形、正方形、梯形等一些規(guī)則圖形為基礎上進行的。 最基本的思想是等積變形。 一、等積變形 ①等底等高的兩個三角形面積相等； ②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如左圖 ③夾在一

2、組平行線之間的等積變形，如右上圖； 反之，如果，則可知直線平行于． ④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； ⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； ⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比． 二、鳥頭定理 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比． 如圖在中，分別是上的點如圖 ⑴(或在的延長線上，在上)， 則 三、任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理”)： ①或者

3、 ② 蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系． 板塊一、等積變形 【例 1】 (三帆中學)長方形的面積為36，、、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、、，而 即； 而， ． 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點法．找的特殊點，把

4、點與點重合， 那么圖形就可變成下圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： ． 解法三：可以找到長方形的特殊狀態(tài)正方形，然后就和上面的特殊點法一樣． 【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內(nèi)任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積． 【解析】 （法1）特殊點法．由于是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米． （法2）連接、． 由于與的面積

5、之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米． 【鞏固】(2007首屆全國資優(yōu)生思維能力測試)是邊長為12的正方形，如圖所示，是內(nèi)部任意一點，、，那么陰影部分的面積是__________． 【解析】 尋找可以利用的條件，連接、、、可得右圖所示： 則有: 同理可得：; 而,即； 同理：,,; 所以： 而； ； 所以陰影部

6、分的面積是： 即為：． 這個題同樣可以用特殊點法來做，點與點重合． 【例 2】 (人大附中入學試題)在長方形中，，，四邊形的面積是，求陰影總面積． 【解析】 將這個復雜的圖形分解成簡單的圖形來思考． 仔細分析一下的面積可得，如下面左圖： 根據(jù)等積變化，可以得到,同理由右圖可以得到； 所以陰影部分的面積和是：, 而,所以陰影總面積是：． 【鞏固】如右圖，長方形的長是8厘米，寬是5厘米，陰影部分的面積和是12平方厘米，求四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 根據(jù)例1

7、，可得、，而 可得：(平方厘米)． 【例 3】 (華杯2004年試題)如圖，有三個正方形的頂點、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長為10厘米，求陰影部分的面積． 【解析】 連接、、(在上圖上已經(jīng)標出)，則，根據(jù)等積變化，可得、,所以陰影部分的面積就等于正方形的面積，即為100平方厘米． 【鞏固】兩個正方形如右圖表示，大正方形的邊長是10，求圖中 陰影的面積是多少？ 【解析】 連接(如下面的左圖)，則有,可得 ,從而可得，如下面的右圖： 從而可得陰影的面積與的面積相等． ．

8、 也可直接用特殊點法做這個題，將正方形的邊長視為0，這、、、四點合一，如上面的右圖．或者直接考慮小正方形的邊長也是10． 另外無論小正方形怎么小，結果是一樣的． 【例 4】 (2007年湖北省“創(chuàng)新杯”數(shù)學邀請賽決賽試題)如下圖，是平行四邊形，三角形是直角三角形，長8厘米，長7厘米，陰影部分面積比三角形的面積大于12平方厘米，則__________厘米． 【解析】 實際上是平行四邊形的高，求出平行四邊形的面積就能求出的長度． 陰影部分面積比三角形的面積大于12平方厘米，可將其替換成平行四邊形的面積比三角形的面積大12平方厘米．

9、 (平方厘米)，所以(平方厘米) 故的長度是：(厘米)． 【鞏固】是長方形內(nèi)一點，已知的面積是5，的面積是2，求的面積是多少？ 【解析】 設,因為, 所以可得：，即 另有 所以,可得()． 【例 5】 (2007年六年級希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且．則兩塊地和的面積比是_________． 【解析】 連接，如下圖表示． 設的面積為1， 的面積，則根據(jù)題上說給出的條件，由得， 即的面積為、; 又有，、，而； 得，所以．

10、 【鞏固】如圖，已知長方形的面積是16，三角形的面積是3，三角形的面積是4，那么三角形的面積是___________． 【解析】 連結對角線，如右圖： 的面積是；而的面積也是4，并且有相同的高和相同的邊()，所以．同理，的面積是，所以,即． 所以的面積是,而長方形的面積是，所以的面積． 從而的面積等于． 【例 6】 (2007年天津“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽)如圖所示，長方形的長是12厘米，寬是8厘米，三角形的面積是32平方厘米，則___________厘米． 【解析】 解法一:可以從圖上得出,連接、．如下圖所示： 因此,也就有(平方厘米

11、), 而(平方厘米)．所以 (平方厘米) 故(厘米)． 解法二：要求的長，可以先求出，而是和的底，兩個三角形的高的和等于長方形的寬，并且它們的面積和是的面積．所以,所以(厘米)． 【例 7】 如圖，在平行四邊形中，，．求陰影面積與空白面積的比． 【解析】 方法一：因為，，所以，． 因為，所以， 所以，． 同理可得，，． 因為，所以空白部分的面積， 所以陰影部分的面積是． ，所以陰影面積與空白面積的比是． 【例 8】 、分別為直角梯形兩邊上的點，且、、彼此平行，若，，，．求陰影部分的面積． 【解析】 連接、．

12、 由于、、彼此平行，所以四邊形是梯形，且與該梯形的兩個底平行，那么三角形與、三角形與的面積分別相等，所以三角形的面積與三角形的面積相等．而三角形的面積根據(jù)已知條件很容易求出來． 由于為直角梯形，且，，，，所以三角形的面積的面積為：．所以三角形的面積為25． 【例 9】 如圖，三角形的面積是，、的長度分別為11、3．求長方形的面積． 【解析】 如圖，過作∥，過作∥，、交于，連接． 則 另解：設三角形、、的面積之和為，則正方形的面積為． 從圖中可以看出，三角形、、的面積之和的2倍，等于正方形的面積與長方形的面積之和，即，得，所以正方形的面積為．

13、 【例 10】 如圖所示，在四邊形中，，，，分別是各邊的中點，求陰影部分與四邊形的面積之比． 【解析】 (法1)設，，，． 連接知，，，； 所以； 同理．于是； 注意到這四個三角形重合的部分是四塊陰影小三角形，沒算的部分是四邊形；因此四塊陰影的面積和就等于四邊形的面積． (法2)特殊值法(只用于填空題、選擇題)，將四邊形畫成正方形，很容易得到結果． 【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級)如圖，、、、分別是四邊形各邊的中點，與交于點，、、及分別表示四個小四邊形的面積．試比較與的大?。? 【解析】 如右圖，連接、、、，則可判斷出，每條邊與點所構成的

14、三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個三角形中的兩部分都分屬于、這兩個不同的組合，所以可知． 【例 11】 如圖，四邊形中，，，，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 ． 【解析】 運用三角形面積與底和高的關系解題． 連接、、、，因為，，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，． 因為， 所以． 又因為 ， 所以． 【鞏固】如圖，對于任意四邊形，通過各邊三等分點的相應連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？ 【解析】 分層次來考慮： ⑴如下左圖，，， 所以． 又因為，， 所以； ．

15、 ⑵如右上圖，已知，；所以； 所以，即是三等分點； 同理，可知、、都是三等分點； 所以再次應用⑴的結論，可知，． 板塊二、鳥頭定理 【例 12】 (2007年“走美”五年級初賽試題)如圖所示，正方形邊長為6厘米，,．三角形的面積為_______平方厘米． 【分析】 由題意知、，可得．根據(jù)“鳥頭定理”可得，；同理得,; 而,并, 故(平方厘米)． 【例 13】 如圖，已知三角形面積為，延長至，使；延長至，使；延長至，使，求三角形的面積． 【解析】 (法)本題是性質(zhì)的反復使用． 連接、． ∵，， ∴． 同理可得其它，最后三角形的面積

16、． (法)用共角定理∵在和中，與互補， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以． 【例 14】 如圖，四邊形的面積是平方米，，，，，求四邊形的面積． 【解析】 連接．由共角定理得，即 同理，即 所以 連接，同理可以得到 所以平方米 【例 15】 如圖所示，正方形邊長為厘米，是的中點，是的中點，是的中點，三角形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 連接、． 因為，根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，，再根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三

17、角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到，，，所以平方厘米． 板塊三、任意四邊形模型 【例 16】 如圖，平行四邊形的對角線交于點，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積． 【解析】 ⑴根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為； ⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為， 根據(jù)蝴蝶定理，，所以， 那么． 【例 17】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 ． 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解． 根據(jù)蝴蝶定理得 設，根據(jù)共邊

18、定理我們可以得 ，， 解得 ． 【鞏固】四邊形的對角線與交于點（如圖所示）．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍． ［分析］對于四邊形為任意四邊形，兩種處理方法： 1．利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決； 2．通過畫輔助線來改變?nèi)我馑倪呅危? 根據(jù)題目中給出條件， 可得 ,所以 故． 【例 18】 如圖，邊長為的正方形中，，，求三角形的面積． 【分析】 連接． 因為，，所以． 因為，根據(jù)共邊定理(“蝴蝶定理”結論)，， 所以．因為，，，所以，所以，三角形的面積是． 【鞏固

19、】如圖，長方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積． 【解析】 連接，． 因為，，所以． 因為，根據(jù)共邊定理(“蝴蝶定理”結論)：，所以，所以．因為，所以長方形的面積是平方厘米． 【例 19】 如圖，已知正方形的邊長為10厘米，為中點，為中點，為中點，求三角形的面積． 【解析】 設與的交點為，連接、． 由蝴蝶定理可知，而，，所以，故． 由于為中點，所以，故，． 由蝴蝶定理可知，所以， 那么（平方厘米）． 【例 20】 (2009年迎春杯初賽六年級)正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點；那么

20、圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米． 【解析】 如圖，設與的交點為，則圖中空白部分由個與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積． 連接、、． 設的面積為”“，則面積為”“，面積為”“，那么面積為的倍，為”“，梯形的面積為，的面積為”“，的面積為． 根據(jù)蝴蝶定理，，故，， 所以，即的面積為梯形面積的，故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)． 課后練習 練習1. 如圖，大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形組

21、合而成．求陰影部分的面積． 【解析】 如圖，將大長方形的長的長度設為1，則，， 所以，陰影部分面積為． 練習2. 如圖，在中，延長至，使，延長至，使，是的中點，若的面積是，則的面積是多少？ 【解析】 ∵在和中，與互補， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 練習3. (小數(shù)報競賽活動試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？ 【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人工湖的面積是平方千米 練習4. 如圖，，，，，．求． 【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的種情況． 最后求得的面積為． 2010年短期班 小學奧數(shù)六年級幾何第1講 教師版 page 17 of 17