《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》習(xí)題

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1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案 1-1.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。 答：優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。 在明確設(shè)計(jì) 變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表示成一般數(shù)學(xué) 形式。求設(shè)計(jì)變量向量x Xi X2 L Xn T使 f(x) min 且滿(mǎn)足約束條件 hk(x) 0 (k 1,2,Ll) gj(x) 0 (j 1,2,L m) 2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義？ 答:二元函數(shù)f(X1,X2)在X0點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫(xiě)成下面的形 )ff^ cos 1 x1 x2 xo cos 2 T xo 式：f d xo

2、 x1 xo cos 1 — cos x2 xo f 令 f(x0) [9 I x2 則稱(chēng)它為函數(shù)f(X1, X2)在Xo點(diǎn)處的梯度。 (1 )梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。 (2)梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。 梯度f(wàn)(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度 -f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函數(shù) f(X1, X2) =2x 12+X22-2X 1+X2在 xo [0,0]T 處函數(shù)變化率 最 大的方向和數(shù)值。 解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的

3、方向，這里用單位向量 p 表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模I f(x0)|。求f (x1, x2)在x0 點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下: f f x0 Xi 4x1 2 2 f 2x2 1 x0 1 x2 f(x0) f 2 f 2 = i) ; x1 x2 2 2 __f(x0) 1 、5 f(x0) -5 1 . 5 2-3.試求目標(biāo)函數(shù)f x1,x2 3x： 4x1x2 x2在點(diǎn)X0=[1,0] T處的最速下降 方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。 解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) —6x1 x1 4x2,— x2 4x1 2x2

4、 則函數(shù)在X"[1,0「處的最速下降方向是 f P f(X0) x1 f x2 x1 1 2%0 6x1 4x1 4x2 2x2 6 x1 1 4 x2 0 這個(gè)方向上的單位向量是: P e IP [6,4]T 6)2 42 [3,2]T <13 新點(diǎn)是 X1 X0 3 13 2 .13 新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 f(X1) 94 2,13 13 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？(要求配圖) 答：一個(gè)點(diǎn)集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點(diǎn)x1、 包含在該集合，就稱(chēng)該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。 x2的線段都全部 函

5、數(shù)f(x)為凸集定義域的函數(shù)，若對(duì)任何的0 1及凸集域的任 意兩點(diǎn)x1、x2,存在如下不等式： f X1 1 x2 f x1 1 x2 稱(chēng)f (x)是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。 對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題 二月（牛孫…，x） X三R" [st g/X）＜0 j= 1,2,…，膽 若 f(x)、gj(x) j=1,2,…,m 都是凸函數(shù)，則稱(chēng)此問(wèn)題為凸規(guī)劃 3-1.簡(jiǎn)述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖) 答：搜索區(qū)間(a, b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找 到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a, b)任取兩點(diǎn)al, bl , ai 《bi,并計(jì)算函數(shù)值f (

6、ai), f (bi)。將有下列三種可能情形； 1) f (ai) f (bi)由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間(a, bi) 2) f (a?！怠礷 (bi),同理,極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間(ai, b) 3) f (ai) =f (bi),這是極小點(diǎn)應(yīng)在(ai, bi) fftl) f 0>i) ?〕(bn -I—Uv vj—I- U—— a J bl b 耳 & bl b g 31 bl b D 23 3) 3-2.簡(jiǎn)述黃金分割法搜索過(guò)程及程序框圖。 i b (ba) 2 a (ba) 其中，為待定常數(shù)。 J b 3-3.對(duì)函數(shù)f( ) 2 2 ,當(dāng)給定搜索區(qū)間

7、 5 5時(shí)，寫(xiě)出用黃金 分割法求極小點(diǎn) 的前三次搜索過(guò)程。(要列表) 黃金分割法的搜索過(guò)程 序號(hào) a ai a2 b Y1 比較 Y2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 < 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ? 1.686 > -0.967 2 ? -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 < -0.48 3 -2.639 -1.737 -1.181 ? -0.457 > -0.482

8、 c y3 yi ci ， X3 Xi i / Xp 一（Xi X3 2 C2 Ci X2 X3 3-4.使用二次插值法求f(x尸sin(x)在區(qū)間［2,6］的極小點(diǎn)，寫(xiě)出計(jì)算步驟和 迭代公式，給定初始點(diǎn) xi=2, X2=4 , X3=6 , =10-4 o 解: i 2 3 4 Xi 2 4 4.55457 4.55457 X2 4 4.55457 4.73656 4.72i25 X3 6 6 6 4.73656 yi 0.9092971 -0.756802 -0.987

9、572 -0.987572 y2 -0.756802 -0.987572 -0.999708 -0.99996i y3 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.999708 Xp 4.55457 4.73656 4.72i25 4.7i236 yp -0.987572 -0.999708 -0.99996i -i 迭代次數(shù)K= 4 ,極小點(diǎn)為 4.71236 ,最小值為 -1 c y2 yi 6 C2 , C3 X2 Xi 色） C3 收斂的條件: y2 yp V2 4-1.簡(jiǎn)述無(wú)約束優(yōu)化方法中梯度

10、法、共鈍梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別 答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù) 相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在梯度法中， 迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的 過(guò)程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過(guò)程互相垂直，形成“之”字形的 鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？?是在接近極小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種 情況似乎與“最速下降”的名稱(chēng)矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。 從局部上看, 在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則

11、走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。 共軻梯度法是共軻方向法中的一種， 因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軻的量都是依賴(lài)于迭代點(diǎn)處 的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱(chēng)作共軻梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這 就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。 所以共輾梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱(chēng)作旋轉(zhuǎn)梯度法。 鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軻方向的一種共軻方向法， 這種方法是在研究其有正 1 T T 定矩陣G的二次函數(shù)f(x) — xTGx bTx c的極小化問(wèn)題時(shí)形成的。其基本思想是在不用 2 導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)

12、造G的共軻方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終 點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組 線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換， 還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保 證逐次生成共軻方向。 4-2.如何確定無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題最速下降法的搜索方向？ 答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)彳1最小，因此搜所方向 d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-f(x)。使 函數(shù)值在該點(diǎn)附近的圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法 k 1 k k x x f (x ) (k=0 ,

13、 1,2,…) k 由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱(chēng)為梯度法 k 為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向 -f(x )能獲得最大的下降值，其步長(zhǎng)因子a應(yīng)取一維搜 k 索的最佳步長(zhǎng)。即有 k 1 k k k k f x f x a f (x ) min f x a f (x ) min () k 根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得； k 1 T k k 1 T k f (x ) f(x ) 0或?qū)懗?d d 0 由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù) 梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在

14、最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小 點(diǎn)靠近的過(guò)程。 4-3.給定初始值x0=[-7,11]T ,使用牛頓法求函數(shù) f(Xi,X2)(xi 2)2 (xi 2x2)2的極小值點(diǎn)和極小值。 解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 f (Xi , X2 ) 2(x1 2) 2(x1 2x2) 4(Xi 2x2) 2 f(xi,x2) 4 4 2 1 4 8，2f 1 1 2 4 1 1 4 4 假設(shè)初始值 x0=[-7,11] w 0 76 八 則 f(x0) 116 , (1 分) x1 x0 2f 1 f(x。): (2 分) 則 f (x1) , ( 1 分) 0

15、 X1滿(mǎn)足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的, (2分) (4分) 所以是極小點(diǎn) * 1 1 x x1 , f(x ) 1。 2 分 1 4-4.以二元函數(shù)f(x1,X2)為例說(shuō)明單形替換法的基本原理。 答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn) x1, x2, x3,以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純 計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè) f (x1) >f (x2) >f (x3),這說(shuō)明x3點(diǎn)最好，x1點(diǎn)最差。 為了尋找極小點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對(duì)稱(chēng)方向進(jìn)行搜索，即通過(guò) X1并穿過(guò)x2x3 的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn) x5 使 x5=x4+ (x4-x1 ) x5

16、稱(chēng)彳X1點(diǎn)相對(duì)于X4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值 f (X5),可能出現(xiàn)以下幾種情 1) f (x5) f(x1),反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說(shuō)明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在 X1X4之間 5) f(x)>f(x1),說(shuō)明x1x4方向

17、上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。 5-1.簡(jiǎn)述約束優(yōu)化方法的分類(lèi)。（簡(jiǎn)述約束優(yōu)化問(wèn)題的直接解法、間接 解法的原理、特點(diǎn)及主要方法。） 答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問(wèn)題， 它的基本思路是在 m個(gè)不等式約束條件 0 所確定的可行域選擇一個(gè)初始點(diǎn) x ,然后決定可行搜索方向 d,且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng) 沿d方向 i 進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn) x ,即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)， 重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿(mǎn)足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向 作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將

18、由直接解 法中的各種算法決定。 直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是： 1）由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域進(jìn)行，因此 迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。 2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可 行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相 同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行 計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。 3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，? 在有界可行域存在滿(mǎn)足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。 直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡(jiǎn)約梯度法等。 間接解法有

19、不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn) 行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn) 化成一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜 索到原約束問(wèn)題的最優(yōu)解。 間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是： 1）由于無(wú) 約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟， 已經(jīng)研究出不少有效的無(wú)約束最優(yōu)化方法和程序， 使得間接解 法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類(lèi)算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。 2）可以有 效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題。 3）間接算法存在的主要問(wèn)題是，選取

20、加權(quán)因子比較 困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。 間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。 5-2.用點(diǎn)法求下列問(wèn)題的最優(yōu)解： 2 min f (x) x1 st g1 3 x2 0 (提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù) (x,r) f (x) 解。) x2 2x1 1 2 r In gu (x),然后用解析法求 u 1 ［解］構(gòu)造點(diǎn)懲罰函數(shù)： 2 2 (x ,r) f (x) r In gu(x) xi u 1 令懲罰函數(shù)對(duì)x的極值等于零： d 2xi 2 dx 2x2 ( r)/(3 2 x2 2x1 1 r ln(3 x2) 0 x2) xi x2 1 6 .36 8r 4 舍去負(fù)根后，得x2 6 36 8r 4 當(dāng) r 0時(shí)，x2 3,該問(wèn)題的最優(yōu)解為 x 1 3T o