朝陽(yáng)一模 數(shù)學(xué)理科試題

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 20xx.3 （考試時(shí)間120分鐘 滿分150分） 本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分 第一部分（選擇題 共40分） 注意事項(xiàng)：考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上答無(wú)效。 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng). 1. 復(fù)數(shù) A. B. C. D.

2、2. 已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角為 A. B. C. D. 3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 A. B. C. D. 4. 已知平面，直線，且，則“且”是“”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 5. 有10件不同的電子產(chǎn)品，其中有2件產(chǎn)品運(yùn)行不穩(wěn)定.技術(shù)人員對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試， 直到2件不穩(wěn)定的產(chǎn)品全部找出后測(cè)試結(jié)

3、束，則恰好3次就結(jié)束測(cè)試的方法種數(shù)是（ ） A. B. C. D. 6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有.當(dāng)時(shí)，.若直線與函數(shù)的圖象在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是 A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 某工廠生產(chǎn)的種產(chǎn)品進(jìn)入某商場(chǎng)銷售，商場(chǎng)為吸引廠家第一年免收管理費(fèi)，因此第一 年種產(chǎn)品定價(jià)為每件70元，年銷售量為11.8萬(wàn)件. 從第二年開始，商場(chǎng)對(duì)種產(chǎn)品 征收銷售額的的管理費(fèi)（即銷售100元要征收元），于是該產(chǎn)

4、品定價(jià)每件比第一年 增加了元，預(yù)計(jì)年銷售量減少萬(wàn)件，要使第二年商場(chǎng)在種產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)中收取的 管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元，則的取值范圍是 A. B. C. D. 8.已知點(diǎn)集，，點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域與點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域的邊界的交點(diǎn)為.若點(diǎn)在點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域內(nèi)（不在邊界上），則△的面積的最大值是 A. B. C. D. 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分

5、. 把答案填在答題卡上. 9. 已知雙曲線的方程為，則此雙曲線的離心率為 ，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為 . 開始 輸入k S=0，i=1 i=i+1 輸出S 結(jié)束 是 否 10. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 . 2 1 1 3 3 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 2 1 （第10題圖） （第11題圖） 11. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值是，則輸出的值是

6、 . 12.在極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)，則線段的中點(diǎn) 到極點(diǎn)的距離是 . 13.已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 14.已知△中， .一個(gè)圓心為，半徑為的圓在△ 內(nèi)，沿著△的邊滾動(dòng)一周回到原位. 在滾動(dòng)過(guò)程中，圓至少與△的一邊相切，則點(diǎn)到△頂點(diǎn)的最短距離是 ，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)是 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.把答案答在答題卡上. 15. （本小題滿分13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）若

7、，求的值； （II）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 16. （本小題滿分13分） 85 80 90 100 95 分?jǐn)?shù) 75 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 某次有1000人參加的數(shù)學(xué)摸底考試，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀. （Ⅰ）下表是這次考試成績(jī)的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a, b的值； 區(qū)間 [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 人數(shù) 50 a 350 300 b （II）現(xiàn)在要用分層抽樣的方

8、法從這1000人中抽取40人的成 績(jī)進(jìn)行分析，求其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)； （Ⅲ）在（II）中抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參 加座談會(huì)，記“其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的 分布列與數(shù)學(xué)期望. 17. （本小題滿分14分） C A F E B M D 在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，， 平面，，，，，且是的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)， 使得與所成的角為？ 若存在，求出的長(zhǎng)度；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)

9、明理由. 18. （本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間. 19. （本小題滿分14分） 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓 相交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若 ，試求滿足的關(guān)系式. 20．（本小題滿分13分） 已知各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列 ，滿足，．若存在最小的正整數(shù)，使得，則可定義變換，變換將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列．設(shè)，． （

10、Ⅰ）若數(shù)列，試寫出數(shù)列；若數(shù)列，試寫出數(shù)列； （Ⅱ）證明存在唯一的數(shù)列，經(jīng)過(guò)有限次變換，可將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列； （Ⅲ）若數(shù)列，經(jīng)過(guò)有限次變換，可變?yōu)閿?shù)列．設(shè)，，求證，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)． 北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 20xx.3 一、選擇題： 題號(hào) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A C B B C D D B 二、填空題： 題號(hào) （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案

11、 三、解答題： （15）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以 ， 所以 . 平方得，=， 所以 . ……………6分 （II）因?yàn)? = = =. ……………10分 當(dāng)時(shí)，. 所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為； 當(dāng)時(shí)，的最小值為.

12、 ……………13分 （16）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）依題意，. ……………4分 （Ⅱ）設(shè)其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為x，則，解得：x=30， 即其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30名. ……………7分 （Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2， ，，， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P ，所以X的數(shù)學(xué)期望為. ……………13分 （17）（本小題滿分14分） 證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接. N C A F E B M D 在△中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，

13、 又因?yàn)椋? 所以且. 所以四邊形為平行四邊形， 所以. 又因?yàn)槠矫妫矫妫? 故平面. …………… 4分 解法二：因?yàn)槠矫?，，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. ……………1分 由已知可得 z C A F E B M D x y （Ⅰ）， . ……………2分 設(shè)平面的一個(gè)法向量是. 由得 令，則.

14、 ……………3分 又因?yàn)椋? 所以，又平面，所以平面. ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個(gè)法向量是. 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)?，所以平? 故是平面的一個(gè)法向量. 所以，又二面角為銳角， 故二面角的大小為. ……………10分 （Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得與所成的角為. 不妨設(shè)（），則. 所以， 由題意得， 化簡(jiǎn)得， 解得.

15、所以在線段上不存在點(diǎn)，使得與所成的角為.…………14分 （18）（本小題滿分13分） 解：因?yàn)樗? （Ⅰ）當(dāng)時(shí), ,, 所以 . 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. ……………4分 （Ⅱ）因?yàn)椋? ……………5分 （1）當(dāng)時(shí),由得；由得. 所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增, 在區(qū)間單調(diào)遞減. ……………6分 （2）當(dāng)時(shí), 設(shè)，方程的判別式 ……………7分 ①當(dāng)時(shí)，此時(shí). 由得,或； 由得. 所以函數(shù)單調(diào)遞增

16、區(qū)間是和, 單調(diào)遞減區(qū)間. ……………9分 ②當(dāng)時(shí)，此時(shí).所以， 所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是. ……………10分 ③當(dāng)時(shí)，此時(shí). 由得； 由得,或. 所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是和, 單調(diào)遞增區(qū)間. ……………12分 ④當(dāng)時(shí), 此時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是. …………13分 （19

17、）（本小題滿分14分） 解: （Ⅰ）依題意，， ， 所以. 故橢圓的方程為. ……………4分 （Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由解得. 不妨設(shè)，， 因?yàn)?，又，所以? 所以的關(guān)系式為，即. ………7分 ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為. 將代入整理化簡(jiǎn)得，. 設(shè)，，則,. ………9分 又，. 所以

18、 ………12分 所以，所以，所以的關(guān)系式為.………13分 綜上所述，的關(guān)系式為. ………14分 （20）（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）若，則；； ； ； ． 若，則 ； ； ； ． ………4分 （Ⅱ）先證存在性，若數(shù)列滿足及，則定義變換，變換將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列：． 易知和是互逆變換． ………5分 對(duì)于數(shù)列連續(xù)實(shí)施變換（一直不能再作變換為止

19、）得 ， 則必有（若，則還可作變換）．反過(guò)來(lái)對(duì)作有限次變換，即可還原為數(shù)列，因此存在數(shù)列滿足條件． 下用數(shù)學(xué)歸納法證唯一性：當(dāng)是顯然的，假設(shè)唯一性對(duì)成立，考慮的情形． 假設(shè)存在兩個(gè)數(shù)列及均可經(jīng)過(guò)有限次變換，變?yōu)?，這里， 若，則由變換的定義，不能變?yōu)椋? 若，則，經(jīng)過(guò)一次變換，有 由于，可知（至少3個(gè)1）不可能變?yōu)椋? 所以，同理令， ， 則，所以，． 因?yàn)椋? ， 故由歸納假設(shè)，有，． 再由與互逆，有 ， ， 所以，，從而唯一性得證． ………9分 （Ⅲ）顯然，這是由于若對(duì)某個(gè)，，則由變換的定義可知， 通過(guò)變換，不能變?yōu)椋勺儞Q的定義可知數(shù)列每經(jīng)過(guò)一次變換，的值或者不變，或者減少，由于數(shù)列經(jīng)有限次變換，變?yōu)閿?shù)列時(shí)，有，， 所以為整數(shù)，于是，， 所以為除以后所得的余數(shù)，即．………13分