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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
例談反證法在解題中的應(yīng)用
反證法是一種間接證法.它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步：
?。?）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)；
（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果；
（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立.
其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等.
一、證明“至多”或“至少”問題
例1 已知函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有．求證：至多有一個(gè)實(shí)數(shù)使得．
證明：假設(shè)存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使
2、得．
不妨設(shè)，由條件可知，與式矛盾．
故至多有一個(gè)實(shí)數(shù)使得．
二、證明“不可能”問題
例2 給定實(shí)數(shù)，且，設(shè)函數(shù)，求證：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于軸．
證明：假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸．
設(shè)且．由，
得，
解得．與已知矛盾．
故經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸.
例3 雙曲線的兩支為，正三角形的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上．求證：不可能在雙曲線的同一支上．
證明：假設(shè)正三角形的三頂點(diǎn)位于雙曲線同一支如上，其坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，則一定有．
于是
?。?
因此，．這說明是鈍角三角形，與為正三角形矛盾．故不可能在雙曲線的同一支上．
三、證明“存在性”或“唯一性”問題
例4 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)．問是否存在常數(shù)，使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
解：假設(shè)存在符合條件的．
的圖象過，
，即．
又對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，
令，則．
，，．
?。?
由得
據(jù)題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，與都成立．
對(duì)于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得．
對(duì)于，再考慮，把代入，得，其解集為．
所以，存在滿足條件的，其中．
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