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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料
例談反證法在解題中的應用
反證法是一種間接證法.它是數學學習中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步：
?。?）反設：作出與求證的結論相反的假設；
?。?）歸謬：由反設出發(fā)，導出矛盾結果；
?。?）作出結論：證明了反設不能成立，從而證明了所求證的結論成立.
其中，導出矛盾是關鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設矛盾，自相矛盾等.
一、證明“至多”或“至少”問題
例1 已知函數對其定義域內的任意兩個實數，當時，都有．求證：至多有一個實數使得．
證明：假設存在兩個不等實數，使
2、得．
不妨設，由條件可知，與式矛盾．
故至多有一個實數使得．
二、證明“不可能”問題
例2 給定實數，且，設函數，求證：經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于軸．
證明：假設函數圖象上存在兩點，使得直線平行于軸．
設且．由，
得，
解得．與已知矛盾．
故經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸.
例3 雙曲線的兩支為，正三角形的三頂點位于此雙曲線上．求證：不可能在雙曲線的同一支上．
證明：假設正三角形的三頂點位于雙曲線同一支如上，其坐標分別為，不妨設，則一定有．
于是
?。?
因此，．這說明是鈍角三角形，與為正三角形矛盾．故不可能在雙曲線的同一支上．
三、證明“存在性”或“唯一性”問題
例4 已知函數的圖象過點．問是否存在常數，使不等式對一切實數都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
解：假設存在符合條件的．
的圖象過，
，即．
又對一切實數都成立，
令，則．
，，．
?。?
由得
據題意，對于任意實數，與都成立．
對于，若，則，不合題意；若，欲使的解集為，則需即解得．
對于，再考慮，把代入，得，其解集為．
所以，存在滿足條件的，其中．
2020高中數學北師大版選修22教案：第1章 例談反證法在解題中的應用
