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雙基限時練(二十七)
基 礎 強 化
1．sin15cos75＋cos15sin105等于( )
A．0 B.
C. D．1
解析 原式＝sin15cos75＋cos15sin75＝sin(15＋75)＝sin90＝1.
答案 D
2．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，則sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵α是第三象限角，tanα＝2，∴＝2.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴解得sinα＝－，cosα＝－，
∴sin＝sinαcos＋cosαsin
＝－＋＝－.
答案 A
3
2、．已知向量a＝(sin15，－1)，b＝(1，cos15)，則ab＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 由條件可得
ab＝sin15－cos15＝sin(15－45)
＝－sin30＝－.
答案 B
4．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，則△ABC是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
解析 ∵sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin(A－B＋B)＝sinA≥1，且0≤sinA≤1，∴sinA＝1，即A＝，
∴△ABC是直角三角形．
答案 C
5
3、．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則的值為( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴
∴sinαcosβ＝，sinβcosα＝.
∴＝＝.
答案 C
6．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個相鄰交點的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 f(x)＝2sin，由題設知，f(x)的周期為T＝π，
∴ω＝2.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故選C.
4、
答案 C
7．已知向量＝(，1)，逆時針旋轉60到的位置，則點P′的坐標為________．
解析 ∵||＝＝2，設∠xOP＝α，
則cosα＝，sinα＝，∴α＝30.
設P′(x′，y′)，又|′|＝||＝2，
∴x′＝2cos(30＋60)＝0，
y′＝2sin(30＋60)＝2，
故P′的坐標為(0,2)．
答案 (0,2)
8．已知sinα＋cosα＝，α∈，則sin＝______.
解析 sin＝sinαcos－cosαsin
＝cosα－sinα＝(cosα－sinα)．
∵α∈，∴cosα>sinα，∴(sinα＋cosα)2＝，
(sinα－cos
5、α)2＝，∴cosα－sinα＝.
∴sin＝＝.
答案
能 力 提 升
9．已知cosα＝，cos(α－β)＝，α>β，且α，β均為銳角，則sinβ＝________.
解析 ∵cosα＝，cos(α－β)＝，α>β，且α，β均為銳角，
∴sinα＝，sin(α－β)＝，
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝－＝.
答案
10．已知銳角α滿足cos＝－，求sinα，cosα的值．
解析 ∵α為銳角，
∴<＋α<π，
sin＝ ＝.
sinα＝sin＝，
cosα＝cos＝.
11．設函數(shù)f(x)＝sinx
6、＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到．
解析 (1)f(x)＝sinx＋sinxcos＋cosxsin＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin.
當sin＝－1時，
f(x)min＝－，
此時x＋＝＋2kπ，
∴x＝＋2kπ(k∈Z)．
∴f(x)的最小值為－，此時x的集合.
(2)將函數(shù)y＝sinx的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)y＝sinx；然后將函數(shù)y＝sinx向左平移個單位得到函數(shù)y＝f(x)＝sin.
12．已知函數(shù)f
7、(x)＝sin＋sin＋cos2x＋a(a∈R，a為常數(shù))．
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當x∈時，f(x)的最小值為－2，求a的值．
解析 (1)f(x)＝2sin2xcos＋cos2x＋a
＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin＋a，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
故所求區(qū)間為(k∈Z)．
(2)當x∈時，2x＋∈，
∴x＝時，f(x)取得最小值．
∴2sin＋a＝－2，∴a＝－1.
品 味 高 考
13．設f(x)＝sin3x＋cos3x，若對任意實數(shù)x都有|f(x)|≤a，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析 由f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋)，得|f(x)|≤2，故a≥2.
答案 a≥2
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