2010-2011學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二元一次不等式 (1)

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1、§3.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 §3.3.1 二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 對(duì)點(diǎn)講練 一、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 例1 畫(huà)出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域. (1)2x-y-6≥0; (2) 解 (1)如圖1,先畫(huà)出直線(xiàn)2x-y-6=0,取原點(diǎn)O(0,0)代入2x-y-6中,因?yàn)?×0-1×0-6=-6<0,所以在直線(xiàn)2x-y-6=0左上方的所有點(diǎn)(x,y)都滿(mǎn)足2x-y-6<0,故直線(xiàn)2x-y-6=0右下方的區(qū)域就是2x-y-6>0,因此2x-y-6≥0表示直線(xiàn)右下方的區(qū)域(包含邊界);    圖1       圖2 (2)先畫(huà)出直線(xiàn)

2、x-y+5=0(畫(huà)成實(shí)線(xiàn)),如圖2取原點(diǎn)O(0,0),代入x-y+5,因?yàn)?-0+5=5>0,所以原點(diǎn)在x-y+5>0表示的平面區(qū)域內(nèi),即x-y+5≥0表示直線(xiàn)x-y+5=0上及其右下方的點(diǎn)的集合,同理可得,x+y≥0表示直線(xiàn)x+y=0上及其右上方的點(diǎn)的集合,x≤3表示直線(xiàn)x=3上及其左方的點(diǎn)的集合. 總結(jié) 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分,但要注意是否包含邊界. ?變式訓(xùn)練1 畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域. 解  不等式x<3表示直線(xiàn)x=3左側(cè)點(diǎn)的集合;不等式2y≥x即x-2y≤0表示直線(xiàn)x-2y=0上及左上方點(diǎn)的集合

3、;不等式3x+2y≥6, 即3x+2y-6≥0表示直線(xiàn)3x+2y-6=0上及右上方點(diǎn)的集合;不等式3y0表示直線(xiàn)x-3y+9=0右下方點(diǎn)的集合.綜上可得,不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分. 二、平面區(qū)域的面積問(wèn)題 例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為(  )                    A.2 B.1 C. D. 解析 記 則 即 作出可行域可知

4、面積為1. 答案 B ?變式訓(xùn)練2 若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線(xiàn)x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為    . 答案  解析  如圖所示,區(qū)域A表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC內(nèi)部及其邊界組成的圖形,當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí)掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲DEC所圍成的區(qū)域. 又D(0,1),B(0,2),E,C(2,0). S四邊形ODEC=S△OBCS△BDE=. 三、平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 例3 利用平面區(qū)域求不等式組的整數(shù)解. 分析 先畫(huà)出平面區(qū)域,再用代入法逐個(gè)驗(yàn)證. 解 把x=3代入6x+7y≤50,得 y≤4,又∵y≥2

5、,∴整點(diǎn)有:(3,2)(3,3)(3,4); 把x=4代入6x+7y≤50,得y≤, ∴整點(diǎn)有:(4,2)(4,3). 把x=5代入6x+7y≤50,得y≤, ∴整點(diǎn)有:(5,2); 把x=6代入6x+7y≤50,得y≤2,整點(diǎn)有(6,2); 把x=7代入6x+7y≤50,得y≤,與y≥2不符. ∴整數(shù)解共有7個(gè)為(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2). 總結(jié) 求某個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn),一般采用代入驗(yàn)證法來(lái)求,要做到不漏掉任何一個(gè)整點(diǎn). ?變式訓(xùn)練3 畫(huà)出2x-3

6、y≤3? 平面區(qū)域如圖所示: 而其中的正整數(shù)解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3),共5組. 課堂小結(jié): 1.二元一次不等式(組)的解集對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)平面的一個(gè)區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均滿(mǎn)足不等式(組).常用特殊點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的是直線(xiàn)哪一側(cè)的部分. 2.畫(huà)平面區(qū)域時(shí),注意邊界線(xiàn)的虛實(shí)問(wèn)題. 3.求平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),要有一個(gè)明確的思路不可馬虎大意,常先確定x的范圍,再逐一代入不等式組,求出y的范圍最后確定整數(shù)解的個(gè)數(shù). 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1.已知點(diǎn)(-1,2)和(3,-3)在直線(xiàn)3x+y-a=0的兩側(cè),則a的取值范圍是(  )

7、 A.a(chǎn)∈(-1,6) B.a(chǎn)∈(-6,1) C.a(chǎn)∈(-∞,-1)∪(6,+∞) D.a(chǎn)∈(-∞,-6)∪(1,+∞) 答案 A 2.如圖所示,表示滿(mǎn)足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的點(diǎn)(x,y)所在的區(qū)域?yàn)?  ) 答案 B 解析 不等式(x-y)(x+2y-2)>0等價(jià)于不等式組 (Ⅰ)或不等式組(Ⅱ)分別畫(huà)出不等式組(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面區(qū)域,再求并集,可得正確答案為B. 3.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(  ) A.2個(gè) B.4個(gè)

8、 C.6個(gè) D.8個(gè) 答案 C 解析 畫(huà)出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分類(lèi)代入檢驗(yàn),符合要求的點(diǎn)有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共6個(gè). 4.若平面區(qū)域D的點(diǎn)(x,y)滿(mǎn)足不等式組,則平面區(qū)域D的面積是(  ) A.+ B.1+ C.+ D.1+ 答案 B 解析 畫(huà)出平面區(qū)域,如圖,陰影部分面積S=1+. 5.(2009·天津?yàn)I海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9,那么實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.3+2

9、 B.-3+2 C.-5 D.1 答案 D 解析 區(qū)域如圖,易求得A(2,2),B(a,a+4),C(a,a). S△ABC=1/2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9,得a=1. 二、填空題 6.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),則△ABC的內(nèi)部及邊界所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組是________________. 答案  解析  如圖直線(xiàn)AB的方程為x+2y1=0(可用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式寫(xiě)出) 直線(xiàn)AC的方程為2x+y5=0 直線(xiàn)BC的方程為xy+2=0 把(0,0)代入2x+y5=5<0 ∴A

10、C左下方的區(qū)域?yàn)?x+y-5<0. ∴同理可得△ABC區(qū)域(含邊界)為. 7.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________. 答案  解析  平面區(qū)域如圖. 解 得 易得 8.已知點(diǎn)A(5,5),過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l:x=my+n (n>0),若可行域的外接圓的直徑為20,則實(shí)數(shù)n=________. 答案 10 解析  可行域如圖所示,設(shè)直線(xiàn)l:x=my+n的傾斜角為α, 則 又點(diǎn) 在直線(xiàn) 上 時(shí), 又n>0, 不合題意,舍去, 當(dāng)時(shí), 三、解答題 9.畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域并求其面積. 解  如圖所示,其中的陰影部分便是欲表示的平面區(qū)域. 由 得, 同理得 而點(diǎn)B 到直線(xiàn)距離為 10.畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,并求其中的整數(shù)解(x,y). 解 作出平面區(qū)域,如圖所示. 可求得頂點(diǎn)坐標(biāo) 故的范圍是<,<, 其中整數(shù)是 結(jié)合圖形并經(jīng)檢驗(yàn)可得整數(shù)解有 (0,0),(0, 1),(1,0),(1, 1),(2, 2).

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