數學第八章 立體幾何與空間向量 8.8 立體幾何中的向量方法（二）求空間角和距離

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1、8.8立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離第八章立體幾何與空間向量基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習2.直線與平面所成角的求法直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，a與n的夾角為，則sin |cos |_.l1與l2所成的角a與b的夾角范圍0，求法cos _1.兩條異面直線所成角的求法兩條異面直線所成角的求法設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則知識梳理(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).3

2、.求二面角的大小求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小_.|cosn1，n2|利用空間向量求距離(供選用)(1)兩點間的距離設點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)， 【知識拓展】(2)點到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.( )(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.( )(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.( )(4)兩異面直線夾角的

3、范圍是 ，直線與平面所成角的范圍是 ，二面角的范圍是0，.( )(5)若二面角a的兩個半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.( )題組一思考題組一思考辨析辨析基礎自測1245632.P104T2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為 A.45 B.135C.45或135 D.90題組二教材改編題組二教材改編12456解析3答案兩平面所成二面角為45或18045135.12456答案3.P117A組T4(2)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長為2，側棱長為2 ，則AC1與側面ABB1A1所成的角為_.

4、3解析124563C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為 解析12456答案3124563解析解析以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設直三棱柱的棱長為2，則可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，090，30.5.已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，則l與所成的角為_.12456答案3解析306.過正

5、方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的角為_.解析124563答案45124563解析解析如圖，以點A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，知AD平面PAB，設E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD.故平面PAB與平面PCD所成的角為45.題型分類深度剖析典例典例 如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2D

6、F，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC； 題型一求異面直線所成的角師生共研師生共研證明證明證明如圖所示，連接BD，設BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設GB1.由ABC120，由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，AC，F(xiàn)G平面AFC，所以EG平面AFC.因為EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.解答解解如圖，以G為坐標原點，分別以GB，GC所在直線為x軸，y軸，用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直

7、線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.思維升華思維升華證明證明四邊形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017廣東五校第一次診斷)如圖所示，菱形ABCD中，ABC60，AC與BD相交于點O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求證：BD平面ACFE； 證明(2)當直線FO與平面BED所成的角為45時，求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小.解答解解以O為原點

8、，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，過O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標系，設平面EBD的法向量為n(x，y，z)，令z1，則n(2,0,1)，典例典例 (2016全國)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點.(1)證明：MN平面PAB； 證明題型二求直線與平面所成的角師生共研師生共研取BP的中點T，連接AT，TN，又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN 平面PAB，所以MN平面PAB.(2)求直線AN與平面PMN所成角的正

9、弦值.解答解解取BC的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC，以A為坐標原點，AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.設n(x，y，z)為平面PMN的法向量，設AN與平面PMN所成的角為，利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：A

10、CB1D； 證明證明證明易知AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.設ABt，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3). (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.解答設直線B1C1與平面ACD1所成的角為，設n(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，題型三求二面角師生共研師生共研典例典例 (2017全國)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BAD

11、ABC90，E是PD的中點.(1)證明：直線CE平面PAB； 證明證明取PA的中點F，連接EF，BF.證明所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，又BF平面PAB，CE 平面PAB，故CE平面PAB.(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M-AB-D的余弦值.解答設M(x，y，z)(0 x1)，因為BM與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，即(x1)2y2z20. 設m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，由圖可知二面角MABD是銳角，利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面

12、所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2017天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PAAC4，AB2.(1)求證：MN平面BDE； 證明證明證明如圖，以A為原點，分別以AB，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.由題意，可得A(0,0,0)，B(2,0

13、,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).設n(x，y，z)為平面BDE的一個法向量，因為MN 平面BDE，所以MN平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值；解答解解易知n1(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設n2(x1，y1，z1)為平面EMN的一個法向量，不妨設y11，可得n2(4,1，2).解答解解由題意，設AHh(0h4)，題型四求空間距離(供選用) 師生共研師生共研典例典例 (2018株洲模擬)如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求點A到平面M

14、BC的距離.解答解解如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，因為BCD與MCD均為正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD，所以MO平面BCD.以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz. 因為BCD與MCD都是邊長為2的正三角形， 設平面MBC的法向量為n(x，y，z)，求點面距一般有以下三種方法：(1)作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)等體積法.(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2018武昌質檢)如圖所

15、示，在四棱錐PABCD中，側面PAD底面ABCD，側棱PAPD ，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD的中點.(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值； 解答解解在PAD中，PAPD，O為AD的中點，POAD.又側面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.在直角梯形ABCD中，O為AD的中點，OABC1，OCAD.以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，OAOP，OAOC，OPOCO，OA平面POC.則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，

16、1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (2)求B點到平面PCD的距離；解答設平面PCD的法向量為u(x，y，z)，取z1，得u(1,1,1).解答設平面CAQ的法向量為m(x1，y1，z1)，取z11，得m(1，1，1).平面CAD的一個法向量為n(0,0,1)，整理化簡，得321030.典例典例 (12分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點E為棱PC的中點.(1)證明：BEDC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點，滿足BFAC，求二面角FABP的余弦值. 利用空間向量求解空間角答題模板答題模

17、板規(guī)范解答答題模板(1)證明證明由題意，以點A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖，規(guī)范解答規(guī)范解答可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 1分設n(x，y，z)為平面PBD的一個法向量，設n1(x1，y1，z1)為平面FAB的一個法向量，不妨令z11，可得n1(0，3,1).取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，因為二面角FABP是銳角，答題模板答題模板利用向量求空間角的步驟利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標系；第一步：建立空間直角坐標系；第二步：確定點的坐標；第二步：確定點的坐標；第三步：求向量第

18、三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量直線的方向向量、平面的法向量)坐標；坐標；第四步：計算向量的夾角第四步：計算向量的夾角(或函數值或函數值)；第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角；第五步：將向量夾角轉化為所求的空間角；第六步：反思回顧第六步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.課時作業(yè)1.(2018撫順調研)在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成角的大小為 基礎保分練12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析以A點為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

19、建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516解析解析以C點為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，123456789101112131415163.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 答案解析12345678910111213141516解析解析以A為

20、原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，12345678910111213141516n1(1,2,2).平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，4.(2017西安調研)已知六面體ABCA1B1C1是各棱長均等于a的正三棱柱，D是側棱CC1的中點，則直線CC1與平面AB1D所成的角為 A.45 B.60C.90 D.30 解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析如圖所示，取AC的中點N，連接NB，以N為坐標原

21、點，NB，NC所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系.設平面AB1D的法向量為n(x，y，z)，12345678910111213141516直線與平面所成角的范圍是0，90，直線CC1與平面AB1D所成的角為45.5.(2018大同模擬)設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是 解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標系，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，解析答

22、案123456789101112131415166.二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，則該二面角的大小為 A.150 B.45C.60 D.12012345678910111213141516解析123456789101112131415167.(2017昆明質檢)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_.答案6012345678910111213141516解析解析以B點為坐標原點，以BC所

23、在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.設ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，異面直線所成角的范圍是(0,90，EF和BC1所成的角為60.123456789101112131415168.(2018南寧質檢)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值為_.解析答案12345678910111213141516解析解析以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,

24、1,0)，C1(0,1,2) 設平面BDC1的一個法向量為n(x，y，z)，令y2，得平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1).設CD與平面BDC1所成的角為，9.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_.12345678910111213141516答案解析解析解析方法一方法一延長FE，CB相交于點G，連接AG，如圖所示.設正方體的棱長為3，則GBBC3，作BHAG于點H，連接EH，則EHB為所求銳二面角的平面角. 12345678910111213141516方法二方法二如圖，以

25、點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設DA1，由已知條件得12345678910111213141516設平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為，12345678910111213141516令y1，z3，x1，則n(1,1，3)，取平面ABC的法向量為m(0,0，1)，10.(2017河北石家莊二模)設二面角CD的大小為45，A點在平面內，B點在CD上，且ABC45，則AB與平面所成角的大小為_.12345678910111213141516答案30解析1234567891011121314151

26、6解析解析如圖，作AE平面于點E，在平面內過E作EFCD于點F，連接AF，AECD，AEEFE，CD平面AEF，AFCD，所以AFE為二面角CD的平面角，所以AFE45，因為ABC45，所以BAF45.連接BE，則ABE為AB與平面所成的角.又因為ABE為銳角，所以ABE30.11.(2017洛陽二模)已知三棱錐ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2 ，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，P為線段BC上一點，且CP2PB.(1)求證：APDE； 12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明證明作PGBD交CD于G，連接AG.AD

27、平面BCD，ADDC，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E為AC的中點，DEAE2，12345678910111213141516又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，AD，CD平面ADC，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，AG，PG平面AGP，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)求直線AC與平面DEF所成角的正弦值.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解以D為坐標原點，DB，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立

28、空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)， 設平面DEF的法向量為n(x，y，z)，12345678910111213141516設直線AC與平面DEF所成的角為，12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC ，點E在AD上，且AE2ED.(1)已知點F在BC上，且CF2FB，求證：平面PEF平面PAC；12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明證明ABAC，ABAC，ACB45，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，A

29、CD45，又AEBF，四邊形ABFE是平行四邊形，ABEF，ACEF，PA底面ABCD，PAEF，PAACA，PA，AC平面PAC，EF平面PAC，又EF平面PEF，平面PEF平面PAC.(2)當二面角APBE的余弦值為多少時，直線PC與平面PAB所成的角為45？12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解PAAC，ACAB，PAABA，PA，AB平面PAB，AC平面PAB，則APC為PC與平面PAB所成的角，若PC與平面PAB所成的角為45，取BC的中點G，連接AG，則AGBC，以A為坐標原點，AG，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，

30、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設平面PBE的法向量為n(x，y，z)，1234567891011121314151613.(2017全國)已知直三棱柱A-BCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 技能提升練12345678910111213141516答案解析12345678910111213141516解析解析方法一方法一將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120，AB2，BCCC11， 圖在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos

31、 603，又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，圖12345678910111213141516方法二方法二以B1為坐標原點，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.14.(2018長春一檢)已知三棱錐SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC2，Q是三棱錐SABC外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為_.解析12345678910111213141516答案解析解析將三棱錐SABC放入棱長為2的正方體中，則到平面ABC的距離最大的點應在過球心且和平面ABC垂直的直徑上，因為正方體的外接球直徑

32、和正方體的體對角線長相等，15.(2017安徽皖南八校聯(lián)考)已知三棱錐PABC的所有頂點都在表面積為16的球O的球面上，AC為球O的直徑.當三棱錐PABC的體積最大時，二面角PABC的大小為，則sin 等于 拓展沖刺練12345678910111213141516答案解析解析解析如圖，設球O的半徑為R，由4R216，得R2，設點P到平面ABC的距離為d，則0d2，因為AC為球的直徑，所以AB2BC2AC216，12345678910111213141516V三棱錐PABC取得最大值，此時平面PAC平面ABC，連接PO，因為POAC，平面PAC平面ABCAC，PO平面PAC，所以PO平面ABC，

33、過點P作PDAB于D，連接OD，因為ABPO，ABPD，POPDP，所以AB平面POD，則ABOD，所以PDO為二面角PABC的平面角，1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析解析解析如圖，作出點D在底面ABC上的射影O，過點O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則DEO，DFO，DGO.由圖可知它們的對邊都是DO，只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可.12345678910111213141516如圖，在AB邊上取點P，使AP2PB，連接OQ，OR，則O為QRP的中心.設點O到QRP三邊的距離為a，則OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa，OEORsinOREORsinORPa，12345678910111213141516.故選B.