數(shù)學(xué)第八章 立體幾何與空間向量 8.8 立體幾何中的向量方法（二）求空間角和距離

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1、8.8立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離第八章立體幾何與空間向量基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)2.直線(xiàn)與平面所成角的求法直線(xiàn)與平面所成角的求法設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線(xiàn)l與平面所成的角為，a與n的夾角為，則sin |cos |_.l1與l2所成的角a與b的夾角范圍0，求法cos _1.兩條異面直線(xiàn)所成角的求法兩條異面直線(xiàn)所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線(xiàn)l1，l2的方向向量，則知識(shí)梳理(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿(mǎn)足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).3

2、.求二面角的大小求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小_.|cosn1，n2|利用空間向量求距離(供選用)(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)， 【知識(shí)拓展】(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線(xiàn)段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)兩直線(xiàn)的方向向量所成的角就是兩條直線(xiàn)所成的角.( )(2)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線(xiàn)與平面所成的角.( )(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.( )(4)兩異面直線(xiàn)夾角的

3、范圍是 ，直線(xiàn)與平面所成角的范圍是 ，二面角的范圍是0，.( )(5)若二面角a的兩個(gè)半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.( )題組一思考題組一思考辨析辨析基礎(chǔ)自測(cè)1245632.P104T2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為 A.45 B.135C.45或135 D.90題組二教材改編題組二教材改編12456解析3答案兩平面所成二面角為45或18045135.12456答案3.P117A組T4(2)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2 ，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_(kāi).

4、3解析124563C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角，題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為 解析12456答案3124563解析解析以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，090，30.5.已知向量m，n分別是直線(xiàn)l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n ，則l與所成的角為_(kāi).12456答案3解析306.過(guò)正

5、方形ABCD的頂點(diǎn)A作線(xiàn)段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的角為_(kāi).解析124563答案45124563解析解析如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，知AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD.故平面PAB與平面PCD所成的角為45.題型分類(lèi)深度剖析典例典例 如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2D

6、F，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC； 題型一求異面直線(xiàn)所成的角師生共研師生共研證明證明證明如圖所示，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120，由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，AC，F(xiàn)G平面AFC，所以EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)求直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值.解答解解如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB，GC所在直線(xiàn)為x軸，y軸，用向量法求異面直線(xiàn)所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直

7、線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線(xiàn)的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線(xiàn)所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.思維升華思維升華證明證明四邊形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017廣東五校第一次診斷)如圖所示，菱形ABCD中，ABC60，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求證：BD平面ACFE； 證明(2)當(dāng)直線(xiàn)FO與平面BED所成的角為45時(shí)，求異面直線(xiàn)OF與BE所成角的余弦值的大小.解答解解以O(shè)為原點(diǎn)

8、，OA，OB所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，過(guò)O且平行于CF的直線(xiàn)為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面EBD的法向量為n(x，y，z)，令z1，則n(2,0,1)，典例典例 (2016全國(guó))如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN平面PAB； 證明題型二求直線(xiàn)與平面所成的角師生共研師生共研取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN 平面PAB，所以MN平面PAB.(2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正

9、弦值.解答解解取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC得AEBC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)n(x，y，z)為平面PMN的法向量，設(shè)AN與平面PMN所成的角為，利用向量法求線(xiàn)面角的方法(1)分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：A

10、CB1D； 證明證明證明易知AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3). (2)求直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.解答設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成的角為，設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，題型三求二面角師生共研師生共研典例典例 (2017全國(guó))如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BAD

11、ABC90，E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線(xiàn)CE平面PAB； 證明證明取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.證明所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，又BF平面PAB，CE 平面PAB，故CE平面PAB.(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線(xiàn)BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M-AB-D的余弦值.解答設(shè)M(x，y，z)(0 x1)，因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，即(x1)2y2z20. 設(shè)m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，由圖可知二面角MABD是銳角，利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面

12、所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017天津)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，PAAC4，AB2.(1)求證：MN平面BDE； 證明證明證明如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得A(0,0,0)，B(2,0

13、,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)镸N 平面BDE，所以MN平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值；解答解解易知n1(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2(x1，y1，z1)為平面EMN的一個(gè)法向量，不妨設(shè)y11，可得n2(4,1，2).解答解解由題意，設(shè)AHh(0h4)，題型四求空間距離(供選用) 師生共研師生共研典例典例 (2018株洲模擬)如圖，BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2 ，求點(diǎn)A到平面M

14、BC的距離.解答解解如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，因?yàn)锽CD與MCD均為正三角形，所以O(shè)BCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD，OM平面MCD，所以MO平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 因?yàn)锽CD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 設(shè)平面MBC的法向量為n(x，y，z)，求點(diǎn)面距一般有以下三種方法：(1)作點(diǎn)到面的垂線(xiàn)，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.(2)等體積法.(3)向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2018武昌質(zhì)檢)如圖所

15、示，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD ，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD的中點(diǎn).(1)求直線(xiàn)PB與平面POC所成角的余弦值； 解答解解在PAD中，PAPD，O為AD的中點(diǎn)，POAD.又側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.在直角梯形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，OABC1，OCAD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線(xiàn)為x軸，OD所在直線(xiàn)為y軸，OP所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，OAOP，OAOC，OPOCO，OA平面POC.則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，

16、1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， (2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；解答設(shè)平面PCD的法向量為u(x，y，z)，取z1，得u(1,1,1).解答設(shè)平面CAQ的法向量為m(x1，y1，z1)，取z11，得m(1，1，1).平面CAD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，整理化簡(jiǎn)，得321030.典例典例 (12分)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明：BEDC；(2)求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足BFAC，求二面角FABP的余弦值. 利用空間向量求解空間角答題模板答題模

17、板規(guī)范解答答題模板(1)證明證明由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，規(guī)范解答規(guī)范解答可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 1分設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的一個(gè)法向量，設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面FAB的一個(gè)法向量，不妨令z11，可得n1(0，3,1).取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，因?yàn)槎娼荈ABP是銳角，答題模板答題模板利用向量求空間角的步驟利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系；第一步：建立空間直角坐標(biāo)系；第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步：求向量第

18、三步：求向量(直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量直線(xiàn)的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；坐標(biāo)；第四步：計(jì)算向量的夾角第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值或函數(shù)值)；第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角；第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角；第六步：反思回顧第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.課時(shí)作業(yè)1.(2018撫順調(diào)研)在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B1D所成角的大小為 基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，

19、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0).答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516解析解析以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，123456789101112131415163.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 答案解析12345678910111213141516解析解析以A為

20、原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，12345678910111213141516n1(1,2,2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)，4.(2017西安調(diào)研)已知六面體ABCA1B1C1是各棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)CC1與平面AB1D所成的角為 A.45 B.60C.90 D.30 解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析如圖所示，取AC的中點(diǎn)N，連接NB，以N為坐標(biāo)原

21、點(diǎn)，NB，NC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面AB1D的法向量為n(x，y，z)，12345678910111213141516直線(xiàn)與平面所成角的范圍是0，90，直線(xiàn)CC1與平面AB1D所成的角為45.5.(2018大同模擬)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是 解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，解析答

22、案123456789101112131415166.二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2 ，則該二面角的大小為 A.150 B.45C.60 D.12012345678910111213141516解析123456789101112131415167.(2017昆明質(zhì)檢)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF和BC1所成的角是_.答案6012345678910111213141516解析解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所

23、在直線(xiàn)為x軸，BA所在直線(xiàn)為y軸，BB1所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0,90，EF和BC1所成的角為60.123456789101112131415168.(2018南寧質(zhì)檢)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線(xiàn)CD與平面BDC1所成角的正弦值為_(kāi).解析答案12345678910111213141516解析解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,

24、1,0)，C1(0,1,2) 設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n(2，2,1).設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，9.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_(kāi).12345678910111213141516答案解析解析解析方法一方法一延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GBBC3，作BHAG于點(diǎn)H，連接EH，則EHB為所求銳二面角的平面角. 12345678910111213141516方法二方法二如圖，以

25、點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件得12345678910111213141516設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為，12345678910111213141516令y1，z3，x1，則n(1,1，3)，取平面ABC的法向量為m(0,0，1)，10.(2017河北石家莊二模)設(shè)二面角CD的大小為45，A點(diǎn)在平面內(nèi)，B點(diǎn)在CD上，且ABC45，則AB與平面所成角的大小為_(kāi).12345678910111213141516答案30解析1234567891011121314151

26、6解析解析如圖，作AE平面于點(diǎn)E，在平面內(nèi)過(guò)E作EFCD于點(diǎn)F，連接AF，AECD，AEEFE，CD平面AEF，AFCD，所以AFE為二面角CD的平面角，所以AFE45，因?yàn)锳BC45，所以BAF45.連接BE，則ABE為AB與平面所成的角.又因?yàn)锳BE為銳角，所以ABE30.11.(2017洛陽(yáng)二模)已知三棱錐ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2 ，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且CP2PB.(1)求證：APDE； 12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明證明作PGBD交CD于G，連接AG.AD

27、平面BCD，ADDC，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E為AC的中點(diǎn)，DEAE2，12345678910111213141516又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，AD，CD平面ADC，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，AG，PG平面AGP，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)求直線(xiàn)AC與平面DEF所成角的正弦值.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC，DA所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立

28、空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)， 設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，12345678910111213141516設(shè)直線(xiàn)AC與平面DEF所成的角為，12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC ，點(diǎn)E在AD上，且AE2ED.(1)已知點(diǎn)F在BC上，且CF2FB，求證：平面PEF平面PAC；12345678910111213141516證明12345678910111213141516證明證明ABAC，ABAC，ACB45，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，A

29、CD45，又AEBF，四邊形ABFE是平行四邊形，ABEF，ACEF，PA底面ABCD，PAEF，PAACA，PA，AC平面PAC，EF平面PAC，又EF平面PEF，平面PEF平面PAC.(2)當(dāng)二面角APBE的余弦值為多少時(shí)，直線(xiàn)PC與平面PAB所成的角為45？12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解PAAC，ACAB，PAABA，PA，AB平面PAB，AC平面PAB，則APC為PC與平面PAB所成的角，若PC與平面PAB所成的角為45，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，則AGBC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，

30、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)平面PBE的法向量為n(x，y，z)，1234567891011121314151613.(2017全國(guó))已知直三棱柱A-BCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線(xiàn)AB1與BC1所成角的余弦值為 技能提升練12345678910111213141516答案解析12345678910111213141516解析解析方法一方法一將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120，AB2，BCCC11， 圖在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos

31、 603，又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，圖12345678910111213141516方法二方法二以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線(xiàn)為x軸，垂直于B1C1的直線(xiàn)為y軸，BB1所在的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.14.(2018長(zhǎng)春一檢)已知三棱錐SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC2，Q是三棱錐SABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為_(kāi).解析12345678910111213141516答案解析解析將三棱錐SABC放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，則到平面ABC的距離最大的點(diǎn)應(yīng)在過(guò)球心且和平面ABC垂直的直徑上，因?yàn)檎襟w的外接球直徑

32、和正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)相等，15.(2017安徽皖南八校聯(lián)考)已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為16的球O的球面上，AC為球O的直徑.當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時(shí)，二面角PABC的大小為，則sin 等于 拓展沖刺練12345678910111213141516答案解析解析解析如圖，設(shè)球O的半徑為R，由4R216，得R2，設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為d，則0d2，因?yàn)锳C為球的直徑，所以AB2BC2AC216，12345678910111213141516V三棱錐PABC取得最大值，此時(shí)平面PAC平面ABC，連接PO，因?yàn)镻OAC，平面PAC平面ABCAC，PO平面PAC，所以PO平面ABC，

33、過(guò)點(diǎn)P作PDAB于D，連接OD，因?yàn)锳BPO，ABPD，POPDP，所以AB平面POD，則ABOD，所以PDO為二面角PABC的平面角，1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析解析解析如圖，作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O，過(guò)點(diǎn)O分別作PR，PQ，QR的垂線(xiàn)OE，OF，OG，連接DE，DF，DG，則DEO，DFO，DGO.由圖可知它們的對(duì)邊都是DO，只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可.12345678910111213141516如圖，在AB邊上取點(diǎn)P，使AP2PB，連接OQ，OR，則O為QRP的中心.設(shè)點(diǎn)O到QRP三邊的距離為a，則OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa，OEORsinOREORsinORPa，12345678910111213141516.故選B.