數(shù)學第二部分 空間與圖形 第二十二課時 矩形
第第2222課時課時矩矩形形-2-3-1.矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形,叫做矩形(長方形).2.矩形的性質:邊:(1)矩形的兩組對邊分別平行;(2)矩形的兩組對邊分別相等;角:(3)矩形的對角相等,四個角都是直角;對角線:(4)矩形的對角線相等,且互相平分.對稱性:(5)矩形既是軸對稱圖形(2條對稱軸),也是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.3.矩形的判定:角:(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形;對角線:(3)對角線相等的平行四邊形是矩形;(4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.-4-1.(2017瀘州)下列命題是真命題的是 ( D )A.四邊都相等的四邊形是矩形B.菱形的對角線相等 C.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D.對角線相等的平行四邊形是矩形2.(2017蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點D,ADB=30,AB=4,則OC= ( B )A.5B.4C.3.5 D.3-5-3.(2017山西)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到BCD,CD與AB交于點E.若1=35,則2的度數(shù)為( A )A.20B.30 C.35D.554.(2017上海)已知平行四邊形ABCD,AC、BD是它的兩條對角線,那么下列條件中,能判斷這個平行四邊形為矩形的是 ( C )A.BAC=DCAB.BAC=DACC.BAC=ABDD.BAC=ADB-6-考點考點1矩形的性質矩形的性質【例1】(2015南平)如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于點O,BEAC,CFBD,垂足分別為E,F.求證:BE=CF.【名師點撥】 本題主要考查矩形的性質及三角形全等的判定方法及性質.要證BE=CF,可運用矩形的性質結合已知條件證BE、CF所在的三角形全等.-7-【我的解法】 證明:四邊形ABCD為矩形,AC=BD,則BO=CO.BEAC于E,CFBD于F,BEO=CFO=90.又BOE=COF,BOE COF.BE=CF.【題型感悟】 求證不為同一三角形的兩線段相等,關鍵是能夠將所證線段放在兩三角形,結合已知條件,判定出兩三角形全等是解決問題的關鍵.-8-【考點變式】(2017南寧)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面積.-9-解:(1)證明:四邊形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,AC=BD,ABC=90,BE=DF,OE=OF,在AOE和COF中,OA=OC,AOE=COF,OE=OF,AOE COF(SAS),AE=CF;(2)OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=OB,AOB=COD=60,AOB是等邊三角形,OA=AB=6,AC=2OA=12,-10-考點考點2矩形的判定矩形的判定【例2】(2015湘西)如圖,在平行四邊形ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分別為E,F.(1)求證:ADE CBF;(2)求證:四邊形BFDE為矩形.【名師點撥】 本題考點為矩形的判定;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.(1)由DE與AB垂直,BF與CD垂直,得到一對直角相等,再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC,對角相等,利用AAS即可的值;(2)由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行,得到CDE為直角,利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值.-11-【我的解法】 證明:(1)DEAB,BFCD,AED=CFB=90,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=BC,A=C,(2)四邊形ABCD為平行四邊形,CDAB,CDE+DEB=180,DEB=90,CDE=90,CDE=DEB=BFD=90,四邊形BFDE為矩形.【題型感悟】 此題考查了矩形的判定,全等三角形的判定與性質,以及平行四邊形的性質,熟練掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵.-12-【考點變式】(2017安順)如圖,DBAC,且DB= AC,E是AC的中點,(1)求證:BC=DE;(2)連接AD、BE,若要使四邊形DBEA是矩形,則給ABC添加什么條件,為什么?又DBEC,四邊形DBCE是平行四邊形.BC=DE.(2)添加AB=BC.理由:DBAE,DB=AE,四邊形DBEA是平行四邊形. BC=DE,AB=BC,AB=DE. ADBE是矩形.-13-一、選擇題1.(2017西寧)如圖,點O是矩形ABCD的對角線AC的中點,OMAB交AD于點M,若OM=3,BC=10,則OB的長為 ( D )2.(2017懷化)如圖,在矩形ABCD中, 對角線AC,BD相交于點O,AOB=60,AC=6 cm,則AB的長是 ( A )A.3 cm B.6 cmC.10 cmD.12 cm -14-3.(2017安順)如圖,矩形紙片ABCD中,AD=4 cm,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O,若AO=5 cm,則AB的長為 ( C )A.6 cm B.7 cmC.8 cmD.9 cm-15-二、填空題4.(2016茂名)已知矩形的對角線AC與BD相交于點O,若AO=1,那么BD=2.5.(2016無錫)如圖,矩形ABCD的面積是15,邊AB的長比AD的長大2,則AD的長是3.-16-三、解答題6.(2017日照)如圖,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足為E.(1)求證:DCA EAC;(2)只需添加一個條件,即,可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.DCA EAC(SSS);(2)添加AD=BC,可使四邊形ABCD為矩形;理由如下:AB=DC,AD=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,CEAE,E=90,由(1)得:DCA EAC,D=E=90,四邊形ABCD為矩形.
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第第2222課時課時矩矩形形-2-3-1.矩形定義:有一個角是直角的平行四邊形,叫做矩形(長方形).2.矩形的性質:邊:(1)矩形的兩組對邊分別平行;(2)矩形的兩組對邊分別相等;角:(3)矩形的對角相等,四個角都是直角;對角線:(4)矩形的對角線相等,且互相平分.對稱性:(5)矩形既是軸對稱圖形(2條對稱軸),也是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.3.矩形的判定:角:(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形;對角線:(3)對角線相等的平行四邊形是矩形;(4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.-4-1.(2017瀘州)下列命題是真命題的是 ( D )A.四邊都相等的四邊形是矩形B.菱形的對角線相等 C.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D.對角線相等的平行四邊形是矩形2.(2017蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點D,ADB=30,AB=4,則OC= ( B )A.5B.4C.3.5 D.3-5-3.(2017山西)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到BCD,CD與AB交于點E.若1=35,則2的度數(shù)為( A )A.20B.30 C.35D.554.(2017上海)已知平行四邊形ABCD,AC、BD是它的兩條對角線,那么下列條件中,能判斷這個平行四邊形為矩形的是 ( C )A.BAC=DCAB.BAC=DACC.BAC=ABDD.BAC=ADB-6-考點考點1矩形的性質矩形的性質【例1】(2015南平)如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于點O,BEAC,CFBD,垂足分別為E,F.求證:BE=CF.【名師點撥】 本題主要考查矩形的性質及三角形全等的判定方法及性質.要證BE=CF,可運用矩形的性質結合已知條件證BE、CF所在的三角形全等.-7-【我的解法】 證明:四邊形ABCD為矩形,AC=BD,則BO=CO.BEAC于E,CFBD于F,BEO=CFO=90.又BOE=COF,BOE COF.BE=CF.【題型感悟】 求證不為同一三角形的兩線段相等,關鍵是能夠將所證線段放在兩三角形,結合已知條件,判定出兩三角形全等是解決問題的關鍵.-8-【考點變式】(2017南寧)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面積.-9-解:(1)證明:四邊形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,AC=BD,ABC=90,BE=DF,OE=OF,在AOE和COF中,OA=OC,AOE=COF,OE=OF,AOE COF(SAS),AE=CF;(2)OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=OB,AOB=COD=60,AOB是等邊三角形,OA=AB=6,AC=2OA=12,-10-考點考點2矩形的判定矩形的判定【例2】(2015湘西)如圖,在平行四邊形ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分別為E,F.(1)求證:ADE CBF;(2)求證:四邊形BFDE為矩形.【名師點撥】 本題考點為矩形的判定;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.(1)由DE與AB垂直,BF與CD垂直,得到一對直角相等,再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC,對角相等,利用AAS即可的值;(2)由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行,得到CDE為直角,利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值.-11-【我的解法】 證明:(1)DEAB,BFCD,AED=CFB=90,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=BC,A=C,(2)四邊形ABCD為平行四邊形,CDAB,CDE+DEB=180,DEB=90,CDE=90,CDE=DEB=BFD=90,四邊形BFDE為矩形.【題型感悟】 此題考查了矩形的判定,全等三角形的判定與性質,以及平行四邊形的性質,熟練掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵.-12-【考點變式】(2017安順)如圖,DBAC,且DB= AC,E是AC的中點,(1)求證:BC=DE;(2)連接AD、BE,若要使四邊形DBEA是矩形,則給ABC添加什么條件,為什么?又DBEC,四邊形DBCE是平行四邊形.BC=DE.(2)添加AB=BC.理由:DBAE,DB=AE,四邊形DBEA是平行四邊形. BC=DE,AB=BC,AB=DE. ADBE是矩形.-13-一、選擇題1.(2017西寧)如圖,點O是矩形ABCD的對角線AC的中點,OMAB交AD于點M,若OM=3,BC=10,則OB的長為 ( D )2.(2017懷化)如圖,在矩形ABCD中, 對角線AC,BD相交于點O,AOB=60,AC=6 cm,則AB的長是 ( A )A.3 cm B.6 cmC.10 cmD.12 cm -14-3.(2017安順)如圖,矩形紙片ABCD中,AD=4 cm,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O,若AO=5 cm,則AB的長為 ( C )A.6 cm B.7 cmC.8 cmD.9 cm-15-二、填空題4.(2016茂名)已知矩形的對角線AC與BD相交于點O,若AO=1,那么BD=2.5.(2016無錫)如圖,矩形ABCD的面積是15,邊AB的長比AD的長大2,則AD的長是3.-16-三、解答題6.(2017日照)如圖,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足為E.(1)求證:DCA EAC;(2)只需添加一個條件,即,可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.DCA EAC(SSS);(2)添加AD=BC,可使四邊形ABCD為矩形;理由如下:AB=DC,AD=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,CEAE,E=90,由(1)得:DCA EAC,D=E=90,四邊形ABCD為矩形.
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