高中數(shù)學 121常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù)測試3 新人教B版選修2－2

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1、常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù) 第1題. 2007海南、寧夏文)設函數(shù) （Ⅰ）討論的單調性； （Ⅱ）求在區(qū)間的最大值和最小值． 答案：解：的定義域為． （Ⅰ）． 當時，；當時，；當時，． 從而，分別在區(qū)間，單調增加，在區(qū)間單調減少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在區(qū)間的最小值為． 又． 所以在區(qū)間的最大值為． 第2題. （2002海南、寧夏理）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第3題. （2007海南、寧夏理）設函數(shù)． （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和

2、大于． 答案：解： （Ⅰ）， 依題意有，故． 從而． 的定義域為．當時，； 當時，； 當時，． 從而，分別在區(qū)間單調增加，在區(qū)間單調減少． （Ⅱ）的定義域為，． 方程的判別式． （ⅰ）若，即，在的定義域內(nèi)，故無極值． （ⅱ）若，則或． 若，，． 當時，，當時，，所以無極值． 若，，，也無極值． （ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根 ，． 當時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點， 故無極值． 當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點， 由極值判別方法知在取得極值． 綜上，存在極值時，的取值范圍為． 的極值之和為 ． 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上

3、的最小值是 ． 答案： 第5題. (2007湖南文)已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點． （I）求的最大值； （II）當時，設函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側進入另一側），求函數(shù)的表達式． 答案：解：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點，所以在，內(nèi)分別有一個實根， 設兩實根為（），則，且．于是 ，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在點處的切線的方程是 ，即， 因為切線在點處穿過的圖象， 所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則 不是的極值點． 而，且 ． 若，則和都是的

4、極值點． 所以，即．又由，得．故． 解法二：同解法一得 ． 因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號．于是存在（）． 當時，，當時，； 或當時，，當時，． 設，則 當時，，當時，； 或當時，，當時，． 由知是的一個極值點，則． 所以．又由，得，故 第6題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第7題. (2007江西理)設在內(nèi)單調遞增，，則是的（　?。? Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：B 第8題. （全國卷I理）設函數(shù)．

5、（Ⅰ）證明：的導數(shù)； （Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍答案：解： （Ⅰ）的導數(shù)． 由于，故． （當且僅當時，等號成立）． （Ⅱ）令，則 ， （ⅰ）若，當時，， 故在上為增函數(shù)， 所以，時，，即． （ⅱ）若，方程的正根為， 此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以，時，，即，與題設相矛盾． 綜上，滿足條件的的取值范圍是． 第9題. (2007全國I文)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：A 第10題. (2007全國I文)設函數(shù)在及時取得極值． （Ⅰ）求a、b的值；

6、（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍． 答案：（Ⅰ）， 因為函數(shù)在及取得極值，則有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 當時，； 當時，； 當時，． 所以，當時，取得極大值，又，． 則當時，的最大值為． 因為對于任意的，有恒成立， 所以　， 解得　或， 因此的取值范圍為． 第11題. (2007全國II理)已知函數(shù)． （1）求曲線在點處的切線方程； （2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：． 答案：解：（1）求函數(shù)的導數(shù)：． 曲線在點處的切線方程為： ， 即 ． （2）如果有一條切線過點，則存在，使 ． 于是，若

7、過點可作曲線的三條切線，則方程 有三個相異的實數(shù)根． 記 ， 則 ． 當變化時，變化情況如下表： 0 0 0 極大值 極小值 由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根； 當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根； 當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根． 綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則 即 ． 第12題. (2007陜西理)設函數(shù)，其中為實數(shù)． （I）若的定義域為，求的取值范圍； （II）當?shù)亩x域為時，求的單調減區(qū)間． 答案：解：（Ⅰ）的定義域為，恒成立，，

8、 ，即當時的定義域為． （Ⅱ），令，得． 由，得或，又， 時，由得； 當時，；當時，由得， 即當時，的單調減區(qū)間為； 當時，的單調減區(qū)間為． 第13題. (2007浙江理)設，對任意實數(shù)，記． （I）求函數(shù)的單調區(qū)間； （II）求證：（ⅰ）當時，對任意正實數(shù)成立； （ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立． 答案：（I）解：． 由，得 ． 因為當時，， 當時，， 當時，， 故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，， 單調遞減區(qū)間是． （II）證明：（i）方法一： 令，則 ， 當時，由，得． 當時，， 當時，， 所以在內(nèi)的最小值是． 故當時，對任意

9、正實數(shù)成立． 方法二： 對任意固定的，令，則 ， 由，得． 當時，． 當時，， 所以當時，取得最大值． 因此當時，對任意正實數(shù)成立． （ii）方法一： ． 由（i）得，對任意正實數(shù)成立． 即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立． 下面證明的唯一性： 當，，時， ，， 由（i）得，， 再取，得， 所以， 即時，不滿足對任意都成立． 故有且僅有一個正實數(shù)， 使得對任意正實數(shù)成立． 方法二：對任意，， 因為關于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是： ， 即， ① 又因為，不等式①成立的充分必要條件是， 所以有且僅有一個正實數(shù)，

10、 使得對任意正實數(shù)成立． 第14題. (2007湖北理)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求證：（）． 答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力． 解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同． ，，由題意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，則．于是 當，即時，； 當，即時，． 故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)， 于是在的最大值為． （Ⅱ）設， 則． 故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)， 于是函數(shù)在上的最小值是． 故當時，有，即當時， 第15題.

11、(2007安徽文)設函數(shù)，， 其中，將的最小值記為． （I）求的表達式； （II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調性并求極值． 答案：解：（I）我們有 ． 由于，，故當時，達到其最小值，即 ． （II）我們有． 列表如下： 極大值 極小值 由此可見，在區(qū)間和單調增加，在區(qū)間單調減小，極小值為，極大值為． 第16題. 設，． （Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調性并求極值； （Ⅱ）求證：當時，恒有 答案： （Ⅰ）解：根據(jù)求導法則有， 故， 于是， 列表如下： 2 0

12、 極小值 故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． （Ⅱ）證明：由知，的極小值． 于是由上表知，對一切，恒有． 從而當時，恒有，故在內(nèi)單調增加． 所以當時，，即． 故當時，恒有． 第17題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當時，，， 又，． 所以，曲線在點處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分兩種情況討論． （1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表： 0 0

13、極小值 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第18題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當時，，， 又，． 所以，曲線在點處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：．

14、 由于，以下分兩種情況討論． （1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極小值 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第19題. (2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，

15、并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件． （Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關系式； （Ⅱ）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值． 答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關系式為： ． （Ⅱ） ． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側的值由正變負． 所以（1）當即時， ． （2）當即時， ， 所以 答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元

16、）． 第20題. (2007廣東文)函數(shù)的單調遞增區(qū)間是 ． 答案： 第21題. (2007廣東文)已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)．設，． （1）求的值； （2）已知對任意的正整數(shù)有，記．求數(shù)列的前項和． 答案：解：(1) 由 得 (2) 又 數(shù)列是一個首項為 ，公比為2的等比數(shù)列； 第22題. (2007山東理)設函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調性； （Ⅱ）求函數(shù)的極值點； （Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)，不等式都

17、成立． 答案：解：（Ⅰ）由題意知，的定義域為， 設，其圖象的對稱軸為， ． 當時，， 即在上恒成立， 當時，， 當時，函數(shù)在定義域上單調遞增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當時，函數(shù)無極值點． ②時，有兩個相同的解， 時，， 時，， 時，函數(shù)在上無極值點． ③當時，有兩個不同解，，， 時，，， 即，． 時，，隨的變化情況如下表： 高考資源網(wǎng) 極小值 由此表可知：時，有惟一極小值點， 當時，， ， 此時，，隨的變化情況如下表： 極大值 極

18、小值 由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點； 綜上所述： 時，有惟一最小值點； 時，有一個極大值點和一個極小值點； 時，無極值點． （Ⅲ）當時，函數(shù)， 令函數(shù)， 則． 當時，，所以函數(shù)在上單調遞增， 又． 時，恒有，即恒成立． 故當時，有． 對任意正整數(shù)取，則有． 所以結論成立． 第23題. (2007四川理)設函數(shù) （Ⅰ）當時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項； （Ⅱ）對任意的實數(shù)，證明（是的導函數(shù)）； （Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，試證明你的結論并求出的值；若不存在，請說明理由． 答案：（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這

19、項是 （Ⅱ）證法一：因 證法二： 因 而 故只需對和進行比較。 令，有 由，得 因為當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處有極小值 故當時，， 從而有，亦即 故有恒成立。 所以，原不等式成立。 （Ⅲ）對，且 有 又因，故 ∵，從而有成立， 即存在，使得恒成立． 第24題. (2007重慶理)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)． （Ⅰ）試確定的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調區(qū)間； （Ⅲ）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍． 答案：解：（I）由題意知，因此，從而． 又對求導得 ． 由題意，因此，解得． （II

20、）由（I）知（），令，解得． 當時，，此時為減函數(shù)； 當時，，此時為增函數(shù)． 因此的單調遞減區(qū)間為，而的單調遞增區(qū)間為． （III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，從而， 解得或． 所以的取值范圍為． 導數(shù)的應用 第1題. 曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第2題. 設函數(shù)． （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 答案：解： 每個點落入中的概率均為． 依題意知． （Ⅰ）．

21、 （Ⅱ）依題意所求概率為， ． 第3題. （2007海南、寧夏文）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ． 答案： 第5題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第6題. (2007江西文)設在內(nèi)單調遞增，，則是的（　?。? Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：Ｃ 第7題. (2007江西文)四位好朋友在一次聚會上

22、，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關系正確的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ　 高考資源網(wǎng) 第8題. (2007全國II文)已知函數(shù) 在處取得極大值，在處取得極小值，且． （1）證明； （2）求的取值范圍． 答案：解：求函數(shù)的導數(shù)． （Ⅰ）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根． 所以 當時為增函數(shù)，，由，得． （Ⅱ）在題設下，等價于　即． 化簡得． 此不等式組表示的區(qū)

23、域為平面上三條直線：． b a 2 1 2 4 O 所圍成的的內(nèi)部，其三個頂點分別為：． 在這三點的值依次為． 所以的取值范圍為． 第9題. (2007山東文)設函數(shù)，其中． 證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值． 答案：證明：因為，所以的定義域為． ． 當時，如果在上單調遞增； 如果在上單調遞減． 所以當，函數(shù)沒有極值點． 當時， 令， 將（舍去），， 當時，隨的變化情況如下表： 0 極小值 從上表可看出， 函

24、數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為． 當時，隨的變化情況如下表： 0 極大值 從上表可看出， 函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為． 綜上所述， 當時，函數(shù)沒有極值點； 當時， 若時，函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為． 若時，函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為． 高考資源網(wǎng) 第10題. （2007山東文)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點

25、，并求出該定點的坐標． 答案：解：（Ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為， 由已知得：， 橢圓的標準方程為． （Ⅱ）設． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，即． ． ． ． 解得：，且均滿足． 當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 當時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標為． 第11題. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍． 答案：解：（Ⅰ），由已知， 即解得 ，，，． （Ⅱ）令，即， ，或．

26、又在區(qū)間上恒成立，． 第12題. (2007廣東文)若函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上是（ ） A．單調遞減的偶函數(shù) B．單調遞減的奇函數(shù) C．單調遞增的偶函數(shù) D．單調遞增的奇函數(shù) 答案：B 第13題. (2007湖北文)已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則＿＿＿＿． 答案：3 高考資源網(wǎng) 第14題. (2007四川文)設函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函數(shù)的最小值為． （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值． 答案：Ⅰ）∵為奇函數(shù)， ∴ 即 ∴ ∵的最小值為 ∴ 又直線的斜率為

27、因此， ∴，，． （Ⅱ）． 　　　，列表如下： 極大 極小 　　　所以函數(shù)的單調增區(qū)間是和 ∵，， ∴在上的最大值是，最小值是． 高考資源網(wǎng) 第15題. (2007天津文)設函數(shù)（），其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的極大值和極小值； （Ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立． 答案：（Ⅰ）解：當時，，得，且 ，． 所以，曲線在點處的切線方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分兩種情況討論． （1）若，當變化時，的正負如

28、下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （2）若，當變化時，的正負如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （Ⅲ）證明：由，得，當時， ，． 由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使， 只要 即 　　　　　　　　① 設，則函數(shù)在上的最大值為． 要使①式恒成立，必須，即或． 所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立． 高考資源網(wǎng) 第16題. (2007重慶文)用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 答案：解：設長方體的寬為，則長為， 高為． 故長方體的體積為． 從而． 令，解得（舍去）或，因此． 當時，；當時，． 故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值． 從而最大體積，此時長方體的長為，高為． 答：當長方體的長為，寬為，高為時，體積最大，最大體積為．高考資源網(wǎng)