高中數(shù)學 121常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù)測試3 新人教B版選修2－2

常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù) 第1題. 2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù) （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）求在區(qū)間的最大值和最小值． 答案：解：的定義域為． （Ⅰ）． 當時，；當時，；當時，． 從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知在區(qū)間的最小值為． 又． 所以在區(qū)間的最大值為． 第2題. （2002海南、寧夏理）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第3題. （2007海南、寧夏理）設(shè)函數(shù)． （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 答案：解： （Ⅰ）， 依題意有，故． 從而． 的定義域為．當時，； 當時，； 當時，． 從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少． （Ⅱ）的定義域為，． 方程的判別式． （ⅰ）若，即，在的定義域內(nèi)，故無極值． （ⅱ）若，則或． 若，，． 當時，，當時，，所以無極值． 若，，，也無極值． （ⅲ）若，即或，則有兩個不同的實根 ，． 當時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點， 故無極值． 當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點， 由極值判別方法知在取得極值． 綜上，存在極值時，的取值范圍為． 的極值之和為 ． 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ． 答案： 第5題. (2007湖南文)已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點． （I）求的最大值； （II）當時，設(shè)函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)的表達式． 答案：解：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點，所以在，內(nèi)分別有一個實根， 設(shè)兩實根為（），則，且．于是 ，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16． （II）解法一：由知在點處的切線的方程是 ，即， 因為切線在點處穿過的圖象， 所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則 不是的極值點． 而，且 ． 若，則和都是的極值點． 所以，即．又由，得．故． 解法二：同解法一得 ． 因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號．于是存在（）． 當時，，當時，； 或當時，，當時，． 設(shè)，則 當時，，當時，； 或當時，，當時，． 由知是的一個極值點，則． 所以．又由，得，故 第6題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第7題. (2007江西理)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（　?。? Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：B 第8題. （全國卷I理）設(shè)函數(shù)． （Ⅰ）證明：的導數(shù)； （Ⅱ）若對所有都有，求的取值范圍答案：解： （Ⅰ）的導數(shù)． 由于，故． （當且僅當時，等號成立）． （Ⅱ）令，則 ， （?。┤簦敃r，， 故在上為增函數(shù)， 所以，時，，即． （ⅱ）若，方程的正根為， 此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)． 所以，時，，即，與題設(shè)相矛盾． 綜上，滿足條件的的取值范圍是． 第9題. (2007全國I文)曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：A 第10題. (2007全國I文)設(shè)函數(shù)在及時取得極值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍． 答案：（Ⅰ）， 因為函數(shù)在及取得極值，則有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 當時，； 當時，； 當時，． 所以，當時，取得極大值，又，． 則當時，的最大值為． 因為對于任意的，有恒成立， 所以　， 解得　或， 因此的取值范圍為． 第11題. (2007全國II理)已知函數(shù)． （1）求曲線在點處的切線方程； （2）設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：． 答案：解：（1）求函數(shù)的導數(shù)：． 曲線在點處的切線方程為： ， 即 ． （2）如果有一條切線過點，則存在，使 ． 于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程 有三個相異的實數(shù)根． 記 ， 則 ． 當變化時，變化情況如下表： 0 0 0 極大值 極小值 由的單調(diào)性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根； 當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根； 當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根． 綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則 即 ． 第12題. (2007陜西理)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)． （I）若的定義域為，求的取值范圍； （II）當?shù)亩x域為時，求的單調(diào)減區(qū)間． 答案：解：（Ⅰ）的定義域為，恒成立，， ，即當時的定義域為． （Ⅱ），令，得． 由，得或，又， 時，由得； 當時，；當時，由得， 即當時，的單調(diào)減區(qū)間為； 當時，的單調(diào)減區(qū)間為． 第13題. (2007浙江理)設(shè)，對任意實數(shù)，記． （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）求證：（?。┊敃r，對任意正實數(shù)成立； （ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立． 答案：（I）解：． 由，得 ． 因為當時，， 當時，， 當時，， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，， 單調(diào)遞減區(qū)間是． （II）證明：（i）方法一： 令，則 ， 當時，由，得． 當時，， 當時，， 所以在內(nèi)的最小值是． 故當時，對任意正實數(shù)成立． 方法二： 對任意固定的，令，則 ， 由，得． 當時，． 當時，， 所以當時，取得最大值． 因此當時，對任意正實數(shù)成立． （ii）方法一： ． 由（i）得，對任意正實數(shù)成立． 即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立． 下面證明的唯一性： 當，，時， ，， 由（i）得，， 再取，得， 所以， 即時，不滿足對任意都成立． 故有且僅有一個正實數(shù)， 使得對任意正實數(shù)成立． 方法二：對任意，， 因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是： ， 即， ① 又因為，不等式①成立的充分必要條件是， 所以有且僅有一個正實數(shù)， 使得對任意正實數(shù)成立． 第14題. (2007湖北理)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求證：（）． 答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力． 解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同． ，，由題意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，則．于是 當，即時，； 當，即時，． 故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)， 于是在的最大值為． （Ⅱ）設(shè)， 則． 故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)， 于是函數(shù)在上的最小值是． 故當時，有，即當時， 第15題. (2007安徽文)設(shè)函數(shù)，， 其中，將的最小值記為． （I）求的表達式； （II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值． 答案：解：（I）我們有 ． 由于，，故當時，達到其最小值，即 ． （II）我們有． 列表如下： 極大值 極小值 由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為． 第16題. 設(shè)，． （Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （Ⅱ）求證：當時，恒有 答案： （Ⅰ）解：根據(jù)求導法則有， 故， 于是， 列表如下： 2 0 極小值 故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值． （Ⅱ）證明：由知，的極小值． 于是由上表知，對一切，恒有． 從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加． 所以當時，，即． 故當時，恒有． 第17題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當時，，， 又，． 所以，曲線在點處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分兩種情況討論． （1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極小值 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第18題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值． 答案：（Ⅰ）解：當時，，， 又，． 所以，曲線在點處的切線方程為， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分兩種情況討論． （1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極小值 極大值 所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)． 函數(shù)在處取得極小值，且， 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表： 0 0 極大值 極小值 所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)． 函數(shù)在處取得極大值，且． 函數(shù)在處取得極小值，且． 第19題. (2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件． （Ⅰ）求分公司一年的利潤（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值． 答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為： ． （Ⅱ） ． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側(cè)的值由正變負． 所以（1）當即時， ． （2）當即時， ， 所以 答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）． 第20題. (2007廣東文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 答案： 第21題. (2007廣東文)已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)．設(shè)，． （1）求的值； （2）已知對任意的正整數(shù)有，記．求數(shù)列的前項和． 答案：解：(1) 由 得 (2) 又 數(shù)列是一個首項為 ，公比為2的等比數(shù)列； 第22題. (2007山東理)設(shè)函數(shù)，其中． （Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性； （Ⅱ）求函數(shù)的極值點； （Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立． 答案：解：（Ⅰ）由題意知，的定義域為， 設(shè)，其圖象的對稱軸為， ． 當時，， 即在上恒成立， 當時，， 當時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當時，函數(shù)無極值點． ②時，有兩個相同的解， 時，， 時，， 時，函數(shù)在上無極值點． ③當時，有兩個不同解，，， 時，，， 即，． 時，，隨的變化情況如下表： 高考資源網(wǎng) 極小值 由此表可知：時，有惟一極小值點， 當時，， ， 此時，，隨的變化情況如下表： 極大值 極小值 由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點； 綜上所述： 時，有惟一最小值點； 時，有一個極大值點和一個極小值點； 時，無極值點． （Ⅲ）當時，函數(shù)， 令函數(shù)， 則． 當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 又． 時，恒有，即恒成立． 故當時，有． 對任意正整數(shù)取，則有． 所以結(jié)論成立． 第23題. (2007四川理)設(shè)函數(shù) （Ⅰ）當時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項； （Ⅱ）對任意的實數(shù)，證明（是的導函數(shù)）； （Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，請說明理由． 答案：（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是 （Ⅱ）證法一：因 證法二： 因 而 故只需對和進行比較。 令，有 由，得 因為當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值 故當時，， 從而有，亦即 故有恒成立。 所以，原不等式成立。 （Ⅲ）對，且 有 又因，故 ∵，從而有成立， 即存在，使得恒成立． 第24題. (2007重慶理)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)． （Ⅰ）試確定的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍． 答案：解：（I）由題意知，因此，從而． 又對求導得 ． 由題意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 當時，，此時為減函數(shù)； 當時，，此時為增函數(shù)． 因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為． （III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，從而， 解得或． 所以的取值范圍為． 導數(shù)的應(yīng)用 第1題. 曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第2題. 設(shè)函數(shù)． （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性； （II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 答案：解： 每個點落入中的概率均為． 依題意知． （Ⅰ）． （Ⅱ）依題意所求概率為， ． 第3題. （2007海南、寧夏文）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ． 答案： 第5題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____． 答案： 第6題. (2007江西文)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（　?。? Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件 答案：Ｃ 第7題. (2007江西文)四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ　 高考資源網(wǎng) 第8題. (2007全國II文)已知函數(shù) 在處取得極大值，在處取得極小值，且． （1）證明； （2）求的取值范圍． 答案：解：求函數(shù)的導數(shù)． （Ⅰ）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根． 所以 當時為增函數(shù)，，由，得． （Ⅱ）在題設(shè)下，等價于　即． 化簡得． 此不等式組表示的區(qū)域為平面上三條直線：． b a 2 1 2 4 O 所圍成的的內(nèi)部，其三個頂點分別為：． 在這三點的值依次為． 所以的取值范圍為． 第9題. (2007山東文)設(shè)函數(shù)，其中． 證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值． 答案：證明：因為，所以的定義域為． ． 當時，如果在上單調(diào)遞增； 如果在上單調(diào)遞減． 所以當，函數(shù)沒有極值點． 當時， 令， 將（舍去），， 當時，隨的變化情況如下表： 0 極小值 從上表可看出， 函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為． 當時，隨的變化情況如下表： 0 極大值 從上表可看出， 函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為． 綜上所述， 當時，函數(shù)沒有極值點； 當時， 若時，函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為． 若時，函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為． 高考資源網(wǎng) 第10題. （2007山東文)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標． 答案：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標準方程為， 由已知得：， 橢圓的標準方程為． （Ⅱ）設(shè)． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，即． ． ． ． 解得：，且均滿足． 當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 當時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標為． 第11題. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍． 答案：解：（Ⅰ），由已知， 即解得 ，，，． （Ⅱ）令，即， ，或． 又在區(qū)間上恒成立，． 第12題. (2007廣東文)若函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上是（ ） A．單調(diào)遞減的偶函數(shù) B．單調(diào)遞減的奇函數(shù) C．單調(diào)遞增的偶函數(shù) D．單調(diào)遞增的奇函數(shù) 答案：B 第13題. (2007湖北文)已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則＿＿＿＿． 答案：3 高考資源網(wǎng) 第14題. (2007四川文)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函數(shù)的最小值為． （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值． 答案：Ⅰ）∵為奇函數(shù)， ∴ 即 ∴ ∵的最小值為 ∴ 又直線的斜率為 因此， ∴，，． （Ⅱ）． 　　　，列表如下： 極大 極小 　　　所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和 ∵，， ∴在上的最大值是，最小值是． 高考資源網(wǎng) 第15題. (2007天津文)設(shè)函數(shù)（），其中． （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當時，求函數(shù)的極大值和極小值； （Ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立． 答案：（Ⅰ）解：當時，，得，且 ，． 所以，曲線在點處的切線方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分兩種情況討論． （1）若，當變化時，的正負如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （2）若，當變化時，的正負如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且 ； 函數(shù)在處取得極大值，且 ． （Ⅲ）證明：由，得，當時， ，． 由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使， 只要 即 　　　　　　　?、? 設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為． 要使①式恒成立，必須，即或． 所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立． 高考資源網(wǎng) 第16題. (2007重慶文)用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 答案：解：設(shè)長方體的寬為，則長為， 高為． 故長方體的體積為． 從而． 令，解得（舍去）或，因此． 當時，；當時，． 故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值． 從而最大體積，此時長方體的長為，高為． 答：當長方體的長為，寬為，高為時，體積最大，最大體積為．高考資源網(wǎng)