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1、微專題51 等差等比數列綜合問題
一、基礎知識：
1、等差數列性質與等比數列性質：
等差數列
等比數列
遞推公式
通項公式
等差（比）中項
等間隔抽項
仍構成等差數列
仍構成等比數列
相鄰項和
成等差數列
成等比數列
2、等差數列與等比數列的互化：
（1）若為等差數列，，則成等比數列
證明：設的公差為，則為一個常數
所以成等比數列
（2）若為正項等比數列，，則成等差數列
證明：設的公比為，則為常數
所以成等差數列
二、典型例題：
例1：已知等比數列中，若成等差數列，則公比（ ）
A.
2、 B. 或 C. D.
思路：由“成等差數列”可得：，再由等比數列定義可得：，所以等式變?yōu)椋航獾没颍洐z驗均符合條件
答案：B
例2：已知是等差數列，且公差不為零，其前項和是，若成等比數列，則（ ）
A. B.
C. D.
思路：從“成等比數列”入手可得：，整理后可得：，所以，則，且，所以符合要求
答案：B
小煉有話說：在等差數列（或等比數列）中，如果只有關于項的一個條件，則可以考慮將涉及的項均
3、用（或）進行表示，從而得到（或）的關系
例3：已知等比數列中的各項均為正數，且，則_______________
思路：由等比數列性質可得：，從而，因為為等比數列，所以為等差數列，求和可用等差數列求和公式：
答案：
例4：三個數成等比數列，其乘積為，如果第一個數與第三個數各減，則成等差數列，則這三個數為___________
思路：可設這三個數為，則有，解得，而第一個數與第三個數各減2，新的等差數列為，所以有：，即，解得或者，時，這三個數為，當時，這三個數為
答案：
小煉有話說：三個數成等比（或等差）數列時，可以中間的數為核心。設為（或），這種“對稱”的設法便于充分利用條件
4、中的乘積與和的運算。
例5：設是等差數列，為等比數列，其公比，且，若，則有（ ）
A. B. C. D. 或
思路：抓住和的序數和與的關系，從而以此為入手點。由等差數列性質出發(fā)，，因為，而為等比數列，聯想到與有關，所以利用均值不等式可得：（故，均值不等式等號不成立）所以即
答案：B
小煉有話說：要熟悉等差數列與等比數列擅長的運算，等差數列擅長加法，等比數列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據表達式的運算進行選擇。
例6：數列是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，則有（ ）
A. B
5、.
C. D. 與的大小不確定
思路：比較大小的式子為和的形式，所以以為入手點，可得，從而作差比較，由為正項等比數列可得：，所以
答案：B
小煉有話說：要熟悉等差數列與等比數列擅長的運算，等差數列擅長加法，等比數列擅長乘積。所以在選擇入手點時可根據表達式的運算進行選擇。
例7：設數列是以2為首項，1為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，則（ ）
A. B. C. D.
思路：求和看通項，考慮，所以，，所以
答案：A
例8：(2011,江
6、蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為的等差數列，則的最小值是___________
思路：可知等比數列為，等差數列為 ，依題意可得①，若要最小，則要達到最小，所以在①中，每一項都要盡量取較小的數，即讓不等式中的等號成立。所以，所以，驗證當時， ，①式為，滿足題意。
答案：
例9：已知等差數列的公差，前項和為，等比數列是公比為的正整數，前項和為，若，且是正整數，則等于（ ）
A. B. C. D.
解：本題的通項公式易于求解，由可得，而處理通項公式的關鍵是要解出，由可得，所以，由，可得，所
7、以可取的值為，可得只有才有符合條件的，即，所以，所以，，則
答案：D
例10：個正數排成行列（如表），其中每行數都成等差數列，每列數都成等比數列，且所有的公比都相同，已知，則_______，___________
思路：本題抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整個數陣，抓住已知中的，可得，從而只要得到某一行的數，即可求得數陣中的每一項 。而第四列即可作為突破口，設每 行的公差為 由可得，從而，所以 。則，求和的通項公式，利用錯位相減法可求得：
答案：
小煉有話說：對于數陣問題首先可設其中的項為（第行第列），因為數陣中每行每列具備特征，所以可將其中一行或一列作為突破口，求得通項公式或者關鍵量，然后再以該行（或該列）為起點拓展到其他的行與列，從而得到整個數陣的通項公式
高中數學講義微專題51等差等比數列綜合問題
