數(shù)字信號處理實驗 基于Matlab

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1、 數(shù)字信號處理實驗 （基于Matlab） 王春興 物理與電子科學學院 2003.5 數(shù)字信號處理實驗（基于Matlab） 第一章 概述 信號的定義及表達 信號：帶有信息的任何物理量 本課程討論的信號：時間函數(shù) 連續(xù)時間信號 CT 離散時間信號DT 模擬信號到數(shù)字信號 采樣（時間離散化） 量化（取值離散化） （P.7 圖1.6） 數(shù)字信號的表達：二進制數(shù)組 ----二進制編碼 數(shù)制轉(zhuǎn)換： 10進制---2進制 MSB和LSB 符號數(shù)的表達：符號位（補碼） 數(shù)字信號處理

2、分析方式： 理論分析設(shè)計 采用DT信號進行 （本課程內(nèi)容） 實時電路處理 采用數(shù)字信號進行 （數(shù)字電路內(nèi)容） 數(shù)字信號的特點及應用 特點：數(shù)字信號與模擬信號的比較 抗干擾性強、精度高、容易存儲、可靈活處理 與計算機系統(tǒng)兼容 數(shù)字技術(shù)的應用領(lǐng)域 語音技術(shù)（傳輸、識別、合成） 圖象處理（靜止圖象、移動圖象、三維動畫） 地波分析（地震探測、地質(zhì)探礦） 諧振分析（高層建筑、橋梁、機翼等） 自動控制 實時檢測 本課程的主要教學安排： 主要內(nèi)容：（50學時） 數(shù)字信號的頻率分析：定義、變換與計算 (22學時) 頻率定義、CTFS與DTFS、CTFT

3、與DTFT、DFT與FFT 數(shù)字信號的頻率處理：濾波器設(shè)計 （26學時） LTI系統(tǒng)分析 理想濾波器與低階數(shù)字濾波； FIR濾波器設(shè)計、IIR濾波器設(shè)計 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)與誤差分析 教材與參考書： 教材： 《 Digital Signal Processing –spectral computation and filter design 》（Third edition） (美) Chi-Tsong Chen 電子工業(yè)出版社 2002版 《數(shù)字信號處理基礎(chǔ)》（加）Joyce Van de Vegte 著

4、 侯正信 王國安 等譯 電子工業(yè)出版社2003版 《信號與系統(tǒng)計算機練習—利用MATLAB》 John R.Buck 劉樹棠 譯 西安交通大學出版社 2000版 主要工具： MATLAB ： 信號波形圖、頻譜計算與分析 濾波器設(shè)計及系統(tǒng)頻率特性分析 考核方式： 平時作業(yè) 30% 考試（筆試、操作） 70% MATLAB的基本應用方法 命令窗口（Command window）的使用： 輸入各類變量或函數(shù)名稱，按回車即得到當前變量或函數(shù)值； 輸入各類命令，按回車

5、即得到該命令執(zhí)行結(jié)果； 若需要輸入多行命令或程序，各行間用“；”間隔； M文件的編制與調(diào)試執(zhí)行 打開空白文件或已經(jīng)有的文件，進行程序文件的輸入編輯； 各行間用“；”間隔； 一行中“%”以后內(nèi)容為注釋部分，不影響程序執(zhí)行； 程序編制完畢后，可以按“F5”鍵保存執(zhí)行，注意根據(jù)屏幕提示建立文件名稱；如果出現(xiàn)錯誤，可在命令窗口看到錯誤類型及位置，根據(jù)錯誤檢測信息對程序進行調(diào)試； MATLAB命令及函數(shù) 信號的表達方式及作圖 在MATLAB中，任何變量或函數(shù)均表現(xiàn)為向量，任何向量的元素編號均從1開始； 序列（向量）表達方式 設(shè)定坐標向量n和信號向量x；x和n為長度相同的向量，向量

6、的編號從1開始； n=[-2 :0.1:2] 坐標向量可以直接逐點寫出：n=[2 3 4 5 6 7]； 也可以采用起點，終點和步長的形式寫出：n=[-2 :0.1:2] ； 信號向量可以直接逐點寫出：x=[1 2 3 4 3 2]； 也可以采用與n有關(guān)的函數(shù)運算形式寫出： 例如： x=3*n x=exp(j*(pi/8)*n) 作圖： 采用stem（n，x） 作出離散圖形 DT信號 采用plot（n，x） 作出連續(xù)圖形（折線連接） CT信號 作圖時主要通過合理設(shè)置n的范圍及步長來保證變量坐標的正確性；可以利用title，axis等

7、函數(shù)為圖形設(shè)置說明和坐標范圍； 特別注意：作圖時必須保證坐標向量與信號向量長度完全一致； 0101：離散序列的作圖 直接表現(xiàn)離散序列 n=[2 3 4 5 6 7]; x=[1 2 3 4 3 2]; stem(n,x); 0102：將圖形表現(xiàn)為連續(xù)曲線 n=[2 3 4 5 6 7]; x=[1 2 3 4 3 2]; plot(n,x); 0203：信號表現(xiàn)為坐標向量的函數(shù) n=[2 3 4 5 6 7]; x=exp(j*(pi/8)*n); plot(n,x); 0204：圖形說明和坐標范圍的設(shè)置 n=[-20:0.5:20]; x=exp(j*(pi

8、/8)*n); plot(n,x),title('n=[-20:0.5:20];x=exp(j*(pi/8)*n);plot(n,x)'); axis([-20,20,-2,2]); 第二章 DTFS和CTFS---周期信號的頻率分量 信號的時域表達形式： 連續(xù)時間信號CT 離散時間信號DT DT信號由CT信號采樣得出 CT信號 采樣信號 DT信號 周期信號：每隔一段時間重復的信號 信號變化快慢的描述： 周期T：信號重復的時間間隔 頻率：單位時間內(nèi)信號重復的次數(shù) 頻域表達形式 人類接受的自然信號主要以頻率形式表達： 聲音 色彩

9、 信號分析的重要任務：從時域信號得出頻域信號 頻率的定義----單頻率時間信號 CT信號的頻率 與周期性密切相關(guān) 標準信號 上述信號均為周期信號，周期為T；頻率均為 ； 周期與頻率的關(guān)系 取值范圍 DT信號的頻率 (仿照CT信號定義) DT信號由CT信號采樣得到； 周期信號的采樣不一定為周期信號； 對于DT信號，頻率與周期沒有直接對應關(guān)系； 仿照CT信號定義 基本信號 上述信號頻率均為 要點：信號的時域性質(zhì)：非周期性 頻率性質(zhì)：多重性 頻率范圍 取值范圍 Nyqu

10、ist frequency range 與采樣頻率有關(guān) CT與DT信號頻率之間的關(guān)系：P. 29 fd與采樣頻率有關(guān)，位于范圍內(nèi)； 將高頻按周期折合到低頻（主值區(qū)）； 例 p.27 2.1 2.2 付氏級數(shù)及頻率分量 一般周期時間信號的頻率：采用單頻率信號表達 CTFS （連續(xù)時間付氏級數(shù)） 定義式 （周期信號：周期為P） 存在條件：絕對可積，而且在一個周期內(nèi)間斷點和極值點有限； 頻率分量：CTFS coefficient / frequency component 通常為復數(shù)： Magnitud

11、e phase phase的范圍 共軛對稱性：奇偶性 real : even : odd real and even real and even real and odd imaginary and odd 周期信號頻率分量的計算 （例 P.38） 要點： 2.4 利用簡單分解求 2.5 利用公式求矩形

12、脈沖的 2.6 利用公式求沖激串（sampling function）的 周期信號的時間范圍： 雙邊信號 一般周期信號的頻率范圍： 若對于所有的，則稱為帶限信號； 頻率分量的意義： 平均功率: 只與magnitude有關(guān) phase的影響：對信號波形的影響 對視頻有影響，對音頻沒有影響 DTFS（離散時間付氏級數(shù)） 定義式 頻率分量討論： 的周期性 只有N個獨立系數(shù) 共軛對稱性：奇偶性 m的取值范圍：應使 的范圍為 時移的影響： 線性相位變化 例 p.48—54 2.8

13、 利用公式直接計算系數(shù) N=3 2.9 利用公式直接計算系數(shù) N=4 2.10 時移的作用 時移不影響DTFS系數(shù)的幅度，只在系數(shù)中加入線性相位； 利用MATLAB計算頻率分量 DTFS系數(shù)的FFT計算 重要函數(shù) c=(1/N)*fft(x) x=N*ifft(c) 應用要點：x和c的序列都為N個元素，下標排列都為[ 1 …..N]，分別對應于離散時間n [0….N-1]和離散頻率 m [0….N-1]； DTFS可以利用任何一個周期進行計算； 在采用FFT的時候，輸入數(shù)據(jù)必須從n=0到N-1； 利用shift（）函數(shù)（P.56）可以使頻率向量排布在對

14、稱區(qū)間內(nèi)： N為odd時，下標0在正中，N為even時，下標0偏左； 利用m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1/2)可以得到對應的橫坐標； 注意：c為周期序列，周期為N； 例2.8題的求解 N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; 例2.9題的求解 N=4;T=1; x=[ 2.5 -0.4 1 -2]; %program 2.2 N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; D=2*pi/(N*T); X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D; subplot(2,1,1),

15、stem(w,abs(shift(X))),title('(a)'); subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)'); CTFS系數(shù)的FFT計算 問題：x為連續(xù)信號；m取值范圍為無限大區(qū)間； 方案：在一個周期內(nèi)取N點對x進行采樣（離散化）； 求出DTFS系數(shù)---周期序列； 取主值范圍內(nèi)的序列即為對應CTFS系數(shù)； 當x為帶限信號時，在滿足采樣定理條件下可以得出準確的CTFS系數(shù)； 例 2.4題的求解 2.12 %program 2.2 P=2*pi/0.3;N=1

16、1;T=P/N;D=2*pi/P; n=0:N-1; x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D; subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X))),title('(a)'); subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)'); 對于帶限信號，在滿足采樣定理的條件下，不同大小的N值（采樣數(shù)量）得到的幅頻分量相同； 若采樣周期不夠小，則

17、將產(chǎn)生頻率混疊失真； 例2.3 頻率混疊的影響 例2.5題的求解 通過改變采樣點數(shù)量N，可以比較混疊的影響大小 %program 2.4 hold on; N=42;P=4;T=P/N;D=2*pi/P; q=floor(1/T); x=[ones(1,q+1) zeros(1,N-2*q-1) ones(1,q)]; X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); stem(m*D,shift(X),'b','fill'); 對于在足夠逼近條件下，magnetude可以得到足夠良好近似值；（能量逼近）；但計算出的phase不

18、會得出良好近似值（通常不采用）； 關(guān)鍵：N的選取（足夠大以獲得良好近似，足夠小以減少運算量） 根據(jù)設(shè)定的精確度，求出最小的N： 令N=2n，選定n的特定值，再逐1增加；重復計算在Nyquist范圍內(nèi)的系數(shù)差，直到系數(shù)差小于設(shè)定值為止； 例2.6 根據(jù)設(shè)定最大誤差，自動選取最小采樣點數(shù)量，并求出滿足要求的頻譜 例2.5題的求解 % program 2.6 a=1;b=100;P=4;D=2*pi/P;beta=1; while b>beta N1=2^a;T1=P/N1;q1=floor(1/T1); x1=[ones(1,q1+1

19、) zeros(1,N1-2*q1-1) ones(1,q1)]; X1=fft(x1/N1); N2=2*N1;T2=P/N2;q2=floor(1/T2); x2=[ones(1,q2+1) zeros(1,N2-2*q2-1) ones(1,q2)]; X2=fft(x2/N2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100; a=a+1; end N2,b

20、m=-N2/2+1:N2/2; stem(m*D,abs(shift(X2))); 對此程序作少數(shù)改動可以得到對其他信號的計算： P.73 例2.14 平均功率計算 CT信號 DT信號 例2.15 分別采用時域序列和頻譜序列求信號平均功率 例2.4題的信號功率 %program 2.8 P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N; n=0:N-1; x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); P1=sum(x.^2)*T/P X=fft(x/N); P2=sum(abs(X).^2)

21、例2.16 采用頻譜序列求信號平均功率 例2.5題的信號功率 %program 2.9 N=1024;D=2*pi/4; x=[ones(1,257) zeros(1,511) ones(1,256)]; X=fft(x/N); mu=floor(5/D); m=2:mu+1; p=abs(X(1))^2+2*sum(abs(X(m)).^2) 第三章 CTFT和DTFT---一般信號的頻譜 實際信號都是非周期信號（非雙邊信號） 周期信號對應于離散頻率分量（離散頻譜） 非周期信號對應于連續(xù)頻譜 CTFT 連續(xù)時間信號的付氏變換 定義式

22、 頻譜 存在條件：絕對可積，而且在一個周期內(nèi)間斷點和極值點有限； 例 3.1 eatu(t) 的頻譜 P.85 圖3.1 例3.2 wa（t）的頻譜：時域窗口函數(shù) P.87 圖3.2 主瓣：高2a，寬2π/a 旁瓣：寬π/a 零點：n π/a 窗口寬度與主瓣/旁瓣寬度成反比； 窗口的時移不改變幅頻特性，只引入線性相位； 例3.3 模擬理想低通濾波器 ：頻域窗口函數(shù) P.89 圖3.3 CT周期信號的頻譜 步驟：將CT周期

23、信號先展開為CTFS，再進行逐項變換； 若干常用信號的頻譜（P.91 圖3.4） 例 3.4 沖激串的CTFT 頻譜的性質(zhì) 連續(xù)有界：若絕對可積，則有界并連續(xù)； 奇偶性： P.94 表3.1 時間實函數(shù)----幅頻偶、相頻奇 時間實偶----頻譜實偶 時間實奇----頻譜虛奇 時移與頻移： 時移引入線性相位，頻移對應復指數(shù)調(diào)制 時間尺度變換： 時間壓縮對應頻譜擴展 Parseval’s relation能量的頻率分布

24、 能量只與幅頻特性有關(guān)，時移不影響信號能量分布 周期信號與非周期信號的能量對比 周期信號能量為無限大，平均功率為，非零功率只存在于離散頻率點； 絕對可積的非周期信號能量為，在任何特定頻率點能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上； 連續(xù)時間信號截斷對于頻譜的影響 只有極少數(shù)信號可以求出頻譜的解析表達式； 絕大多數(shù)實際信號只能采用數(shù)值方式求解頻譜； 對無限長時間連續(xù)信號，在實際計算時必須考慮截斷并離散化； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) 時域乘積對應于頻域卷積： 其中 單頻率信號的截斷效果 （P.104 圖3.8） 使單頻率

25、展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對于有限帶寬信號，截斷導致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應越顯著; 對于連續(xù)信號，增大L可以將上述效應削弱到可以忽略的程度； 例3.5 的頻譜：采用不同寬度的窗口截斷； （P.104 圖3.8） Gibbs現(xiàn)象 用付氏變換表達時間函數(shù)時，當頻譜信號含有不連續(xù)點時，頻譜的紋波將會變窄并靠近該點，但紋波不會隨L的無限增大而消失，而是趨于一個常量（寬度無限小，高度約為不連續(xù)變化量的9%）； （P.105 圖3.9） 將頻譜變換為時間函數(shù)時存在相同的現(xiàn)象； 采用矩形窗口截斷信號必然出現(xiàn)

26、Gibbs現(xiàn)象。 DTFT 離散時間信號的付氏變換 定義式 頻譜 具有周期性 可以表達為任何一個周期上的積分 主值區(qū)域： 例 3.6 anu[n] 的頻譜 P.109 圖3.11 例 3.7 離散時間矩形窗口函數(shù)wd[n]的頻譜 N=2M+1 P.110 圖3.12 與連續(xù)時間窗口類似，離散時間窗口的頻譜在一個周期內(nèi)也產(chǎn)生主瓣與旁瓣，頻譜零點位于處；主瓣高度為N；旁瓣只有N-2個； 例3.8 數(shù)字理想低通濾波器 （P.112 圖3.13） DT周期信號的頻譜

27、 標準信號 時域沖激串對應于頻域沖激串 一般周期信號 將DT周期信號先展開為DTFS，再進行逐項變換； 截斷的影響 對無限長時間DT信號進行計算時，必須進行截斷； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) 頻域?qū)矸e： 其中 N=2M+1 截斷效果 P.116 圖3.14 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對于有限帶寬信號，截斷導致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應越顯著。 矩形窗截斷必然導致Gibbs現(xiàn)象 P.117 圖3.15 連續(xù)

28、信號的離散化 連續(xù)信號不能進行數(shù)值計算，必須離散化為離散信號； 連續(xù)信號離散化過程稱為采樣過程； Nyquist 采樣定理 理想采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間信號離散化 時域離散化 頻域周期性復制 恢復采樣信號的條件： 1 帶限信號 存在最高頻率 2 采樣頻率（Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復信號； 該操作等效于時域的理想內(nèi)插恢復（在每個采樣點插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條件2時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復； 不滿足條件1時，總是產(chǎn)生混疊；

29、 當CT信號能量有限時，可以增大T使得混疊影響足夠小； 對信號進行預先低通濾波是消除混疊的有效方式。 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號時必然需要截斷，必然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號的實際處理過程 模擬信號---采樣及零階保持---ADC---數(shù)字編碼信號 數(shù)字編碼信號---DAC---零階保持信號---低通濾波---模擬信號 DT周期信號的頻譜 標準信號 時域沖激串對應于頻域沖激串 一般周期

30、信號 將DT周期信號先展開為DTFS，再進行逐項變換； 截斷的影響 對無限長時間DT信號進行計算時，必須進行截斷； 時域截斷模型：以窗口函數(shù)乘以時間函數(shù) 頻域?qū)矸e： 離散取樣函數(shù) N=2M+1 截斷效果 P.1116 圖3.14 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對于有限帶寬信號，截斷導致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應越顯著。 矩形窗截斷必然導致Gibbs現(xiàn)象 P.1116 圖3.14 Nyquist 采樣定理 采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時間

31、信號離散化 恢復采樣信號的條件： 3 帶限信號 存在最高頻率 4 采樣頻率（Nyquist rate） 滿足上述條件時，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復信號； 該操作等效于時域的理想內(nèi)插恢復（在每個采樣點插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條件2時，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號可恢復； 不滿足條件1時，總是產(chǎn)生混疊； 當CT信號能量有限時，可以增大T使得混疊影響足夠?。? 對信號進行預先低通濾波是消除混疊的有效方式。 時限帶限理論 任何非零連續(xù)信號都不可能即為時限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號時必然需要截斷，必

32、然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號可以近視看作為時限帶限信號，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號的實際處理過程 模擬信號---采樣及零階保持---ADC---數(shù)字編碼信號 數(shù)字編碼信號---DAC---零階保持信號---低通濾波---模擬信號 第四章 DFT和FFT---頻譜的計算 絕大多數(shù)信號不能采用解析方式進行頻譜分析，只能采用數(shù)值計算方法計算頻譜； DFT 離散付氏變換 只對有限長度的序列定義，由DTFT頻譜在一個周期內(nèi)進行N點采樣得出 定義式 特點：將有限信號的無限寬頻譜壓縮到一個周期內(nèi)（有限寬度） 將離散信號的連續(xù)頻譜采樣

33、為有限序列 設(shè) 則 重要性質(zhì) 時間序列和頻譜序列均以N為周期；可擴展為周期信號；可以從任何一個周期中計算； 例 DFT和DTFT的對比計算 DFT（離散序列）是DTFT（連續(xù)頻譜）的采樣 P.136—140 例4.1---4.3 DFT與DTFS的關(guān)系： 將有限長時間序列看作無限長時間序列的一個周期，就可以進行DTFS變換 只相差常數(shù)N 反變換的時域混疊問題 當時域序列為有限長m時，作N點的DFT N≥m 不會產(chǎn)生混疊 DFT和DTFT反變換結(jié)果相同； N

34、DFT 當時域序列為無限長時，作N點的DFT的反變換一定會產(chǎn)生混疊；但若時域序列為絕對可和，則當N足夠大時，混疊可以忽略。 DFT的性質(zhì) （與DTFS和DTFT類似） 對于時域序列，將有限長序列擴展為無限長周期序列進行討論。 奇偶性 周期時移—圓周移動 DFT解決頻率計算問題的方式： 對有限時間序列的連續(xù)頻譜，只計算其中離散的采樣點； DFT存在的問題： 計算量問題：對于N點DFT，需進行N2次復數(shù)乘法，N（N-1）次復數(shù)加法；N的增加導致運算量龐大，N的減少導致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用DFT的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對計算公式進行分解，降低計算量。

35、 要點：以N為周期，均勻分布于單位圓上 例：N=8 8點序列的DFT分析 利用的性質(zhì)可以得到 所以可以得出 注意： 是以0，2，4，6點構(gòu)成序列的DFT 是以1，3，5，7點構(gòu)成序列的DFT 將N點序列拆分為兩個N/2點序列進行計算： 運算結(jié)構(gòu)：蝶形運算（butterfly equation） 左邊m只取4個值，右邊m取8個值 繼續(xù)對和進行分析： 利用的性質(zhì)

36、可以得到 所以可以得出第2層蝶形運算關(guān)系： 是以0，4點構(gòu)成序列的DFT 是以2，6點構(gòu)成序列的DFT 將N/2點序列拆分為兩個N/4點序列進行計算 進一步可以得到第3層蝶形運算關(guān)系： 上述運算過程可以由蝶形運算圖表示為： 可以看到，在上圖中采用了蝶形運算作為運算基本單元，一個蝶形運算的單元如下圖所示： 輸入3個復數(shù) A ，B，C 輸出2個復數(shù) X1，X2 輸入/輸出關(guān)系為： X1=A+B*C X

37、2=A-B*C 1個蝶形運算涉及1次復數(shù)乘法（4次實數(shù)乘，2次實數(shù)加），2次復數(shù)加（4次實數(shù)加）。 FFT的蝶形運算方式可以極大地減少DFT的運算工作量；在P.150的表4.2中列出了隨著N的增加，DFT與FFT運算量的比較； 在FFT的蝶形運算圖中可以看出，各層蝶形運算可以構(gòu)成流水線處理形式，一次蝶形運算完成，數(shù)據(jù)提供給下一層后，就可以對新的數(shù)據(jù)進行處理；因此，F(xiàn)FT對數(shù)據(jù)的平均處理時間可以壓縮到1次蝶形運算的時間。 蝶形運算在軟件實現(xiàn)時可以將其設(shè)置為函數(shù)，在運算中調(diào)用；在硬件實現(xiàn)時可將其設(shè)計為基本功能單元（目前已有專用的FFT集成器件）； MATLAB的FFT函數(shù)定義 FF

38、T函數(shù) fft（x，N） ：計算N點時間序列x的DFT 由時間序列計算頻譜序列：都為N點序列，下標排列都為0---N-1。 對稱區(qū)間排布函數(shù)shift（fft（x，N））：參見P.56 Program2.1 可以使的取值位于的對稱區(qū)間內(nèi)； 用FFT進行頻譜計算 有限時間序列的頻譜計算 從0開始的序列：直接對該序列進行計算 (P.155 例4.4) 不是從0開始的序列：將該序列進行周期性擴展后，選取從0開始的周期進行計算 % program 4.2 N=4;T=0.5;D=2*pi/(N*T); %設(shè)置序列點數(shù)N，時域采樣周期T，頻域采樣周期D x=[2 -1

39、1 1]; % 給出時間信號序列 X=fftshift(fft(x,N)); % 選取對稱區(qū)間進行FFT，得出離散頻率序列 m=floor(-(N-1)/2):floor((N-1)/2); % 設(shè)置離散頻率坐標向量 w=-2*pi:0.01:2*pi; % 設(shè)置準連續(xù)頻率坐標范圍及分辨率 X1=2-exp(-j*0.5*w)+exp(-j*w)+exp(-j*1.5*w); % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),'o:'),title('(a)

40、'); %幅頻特性圖 subplot(1,2,2),plot(w,angle(X1),m*D,angle(X),'o:'),title('(b)'); %相頻特性圖 當序列很短時，頻域采樣點太少，頻率分辨率低； 提高頻率分辨率的手段：為時域序列補0，增加采樣點數(shù)N 從0開始的序列：在該序列之后補0可以通過直接改寫程序中的N值實現(xiàn)，當N大于x序列長度時，fft（x，N）自動為x補0； 直接對該序列進行計算 (P.155 例4.4) 不是從0開始的序列：將該序列進行尾端補0后，再進行周期性擴展，然后選取從0開始的周期進行計算；（P.158 例4.5） 若只是計算幅

41、頻特性，也可以將序列起點直接移到0點進行計算（時移不影響幅頻特性）； 無限時間序列的頻譜計算 無限序列通常不存在分辨率問題，但必須進行截斷才能計算； 截斷必然導致誤差，計算時需要考慮計算精度問題； 方案：尋找最小的a，使得采用N=2a點序列和N/2點序列計算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)； 要點： 只對幅頻特性進行比較； 若時間序列為實序列，則幅頻特性為偶函數(shù)，只對正區(qū)間比較； 兩序列頻譜采樣點密度不同，只能在公共的采樣點上進行比較； 例 P.161 Program4.4 要點：兩序列比較時，長序列密度比短序列大，因此長序列隔位與短序列逐

42、位比較； % program 4.4 T=0.5;a=1;b=100;beta=1; while b>beta N1=2^a; n1=0:N1-1; x1=0.9.^n1;X1=fft(x1); N2=2*N1; n2=0:N2-1; x2=0.9.^n2;X2=fft(x2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(2*m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100;a=a+1; end N2,b 連續(xù)時間信號的頻譜計算 當連

43、續(xù)時間信號不能表達為閉合形式時，只能采用數(shù)值計算； 連續(xù)信號的計算必須先在長度為L的區(qū)間內(nèi)經(jīng)時間采樣（周期T）成為N點序列，才能進行計算； 本節(jié)只考慮絕對可積的連續(xù)時間信號； 正區(qū)間信號 （t<0時，x=0） 選擇信號區(qū)間[0，L]：L=TN 需考慮的問題： 頻率混疊---T 盡可能小 頻率分辨率---N 盡可能大 截斷效應---L 盡可能大 計算量---N 盡可能小 建議步驟： 首先選擇L使其包含x明顯不為0的主要區(qū)域； 然后尋找最小的a，使得采用N=2a點序列和N/2點序列計算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使頻

44、率混疊可以忽略的采樣周期T； 利用已確定的T，尋找最小的a，使得采用N=2a點序列和N/2點序列計算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使截斷效應可以忽略的信號區(qū)間L； 采用上述方式，可以使幅頻特性、頻譜實部及虛部均收斂于實際頻譜，只有相頻特性不收斂； 例 P.165—170 連續(xù)時間周期信號的頻譜計算 對于周期信號，由于無限長而且不滿足絕對可積條件，將其截斷時必然產(chǎn)生嚴重的截斷效應（頻率漏泄）； 周期信號在頻譜中對應于沖激，其特點為：當N加倍時，沖激高度加倍，寬度變窄；由此效應可判斷頻譜中是否存在周期信號。 對周期信號應采用CTFS進行計算：在一個周期內(nèi)計算頻

45、譜。計算可以得出精確的幅頻特性，但通常不能得到準確的相位（相位與延時有關(guān)）。 由頻譜計算離散時間信號 （反變換） 對反變換進行數(shù)值計算時，同樣可以利用FFT函數(shù)進行； 對于存在于對稱區(qū)間內(nèi)的頻譜，計算開始前必須按周期擴展方式，選取以0為起點的周期中的序列； 對頻譜采樣點N的選取應確保消除時域混疊效應，其判據(jù)為：所得時域信號有一段區(qū)域全為0； 由于DFT是由時域信號經(jīng)過周期擴展后，任選一個周期計算所得，因而一次反變換通常無法確定時域信號的原始起點；采用不同的N進行多次反變換，對比其公共序列，可以確定出原始時間序列的起點：不同的N對應于不同的補0序列，這些序列由于周期長度不同除了在原周期

46、內(nèi)一致外，在其他地方通常會有差異； 例：P.175—178 圖 4.21 4.22 4.23 若某頻譜所對應的時間序列為正區(qū)間信號，并且頻率采樣點N大于從n=0開始的時間序列長度，則由inverse FFT計算出的序列就是原始序列。 由頻譜計算連續(xù)時間信號 （反變換） 首先對無限的頻譜進行截斷： 選擇T使得 然后對連續(xù)頻譜采樣離散化： 在有限區(qū)間內(nèi)選取N個頻率采樣點； 采用inverse FFT計算得到時間序列： 連續(xù)時間信號與時間序列的關(guān)系為： 例 P.180—182 采用FFT計算信號能量 對于連續(xù)信號，其總能量為

47、 將有限區(qū)域內(nèi)將時間信號離散化，得到： 利用FFT可以得出離散時間序列的離散頻譜，則其能量也可以表示為： 例 P.183—184 求矩形窗頻譜主瓣的能量百分比； 頻譜計算總結(jié)： 在信號分析時，考慮信號分布于全部時間區(qū)域有利于頻域分析的簡化； 但在進行FFT計算時，正區(qū)間信號比較簡便； 對于連續(xù)信號，信號出現(xiàn)的時間可以選為t=0，因此所有實際信號都可以看作為正區(qū)間信號； 利用fft和shift函數(shù)進行正變換，可以直接得到區(qū)間的頻譜； 將對稱區(qū)間的頻譜變換到區(qū)間，利用ifft函數(shù)可以得到原始的時間序列（選擇N使得得到的非零序列的最后若干位實際上全為0）；

48、 第5章 線性時不變集總系統(tǒng) 系統(tǒng)：信號之間的關(guān)系 輸入信號—系統(tǒng)處理---輸出信號 確定的輸入只產(chǎn)生唯一確定的輸出 連續(xù)系統(tǒng) 離散系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 可加性 比例性 時不變系統(tǒng) 時移不變性 對于時不變系統(tǒng)，可以將輸入信號開始出現(xiàn)的時間設(shè)置為0； 初始松弛條件 系統(tǒng)初始狀態(tài)為0； 在系統(tǒng)分析中，通常只考慮正時間區(qū)間 ； 線性時不變系統(tǒng)---LTI系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的卷積描述 沖激序列 只在一個時刻取值為1，在其他任何時刻取值為0； 任意信號序列可以用沖激序列表示： 沖激響應 離散卷積

49、由系統(tǒng)沖激響應可以得出系統(tǒng)的全部特性，設(shè)計系統(tǒng)就是設(shè)計系統(tǒng)的沖激響應； 例5.1 由系統(tǒng)特定輸入輸出求，進而得出的一般形式； 例5.2 由求系統(tǒng)的差分方程（移動平均濾波器）； 因果性 輸出信號產(chǎn)生于輸入信號之后； 物理系統(tǒng)實現(xiàn)的必要條件； 對于因果系統(tǒng)， 卷積具有交換性。 系統(tǒng)的表達：沖激響應---序列 FIR濾波器 有限沖激響應 長度N為有限 例如：移動平均系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)（乘法器） IIR濾波器 無限沖激響應 LTI系統(tǒng)的差分方程描述 在卷積描述中，隨著n的增加，的計算量增加； 利用差分方程，可以有效減少計算量和存儲量； 例

50、5.1 儲蓄系統(tǒng) 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實現(xiàn)的一種具體方式） 只由3種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （P.201 圖5.3） 差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達； 集總系統(tǒng)：可以用有限個延遲器實現(xiàn)； 任何LTI系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述； 差分方程的一般形式： （后向差分） 系統(tǒng)的表達：序列a 序列b 遞歸方程 當前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋； 與IIR系統(tǒng)對應； 非遞歸方程：除了外，所有都等于0； 當前輸出與以前的輸出無關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋； 與FIR系統(tǒng)對應； 與沖激響應的關(guān)系

51、： 系數(shù)序列即為沖激響應序列 （序列b與序列h對應）； FIR系統(tǒng)也能表達為遞歸方程以減少運算量： 例 5.3 采樣周期與實時處理過程 在實時處理過程中，采樣周期受運算周期限制，不能過小； 在非實時處理（存儲處理）時，可以不受運算周期和因果性的限制； z-變換 系統(tǒng)表達的重要工具 定義：對于正區(qū)間信號 ，其z-變換定義為 例5.4 z-變換的計算：直接利用定義式和求和公式； 反z-變換：長除法，對z進行降序排列； 收斂域問題：保障求和有限的z的可能取值區(qū)間； ROC 簡單信號的z-變換：只考慮正區(qū)間，n從0開始

52、 單位延遲 時移性質(zhì) 若， 則 反z-變換的計算方法 長除法 將表示為有理分式，直接用分子除以分母； 要點：分子和分母都必須以的降序形式 部分分式展開及查表法 將表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對進行變換； 要點：將分母進行因式分解； 基本變換對： FFT計算方法 選取常數(shù)c大于的最大極點的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號）； 取，對應為頻譜函數(shù)； 利用FFT進行反DTFT計算，選取足夠大的采樣點N，可以得到反z-變換序列； 例5.1 P.214 轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）

53、 進行z-變換： 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述： 可以看作沖激響應序列的z-變換； 可以看作差分方程序列b與序列a的分式： 利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進行各種表達方式的轉(zhuǎn)換； 例5.5（ P.217）由差分方程得到系統(tǒng)函數(shù) 對于因果的LTI集總系統(tǒng)， 為真分式，的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)； 系統(tǒng)函數(shù)的MATLAB表達：采用序列a和b表達（長度相同） 系統(tǒng)的零點和極點的計算 零點與極點的定義 MATLAB函數(shù)： zplane（b，a） [z，p，k]=tf2zp（b，a） 零點和極點的作用 極點對系統(tǒng)響應影響更大 例：P.221 圖5.6 與

54、系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他MATLAB函數(shù) dimpulse (bp,ap,N) 系統(tǒng)沖激響應：N點序列 dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應：N點序列 [r,p,k]=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應表達式 例：P.221-222 圖5.7 FIR和IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) FIR濾波器只在原點存在極點； IIR濾波器在原點以外存在極點； 離散時間付氏變換與z-變換的關(guān)系 DTFT不適合用于正區(qū)間信號分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析； 系統(tǒng)穩(wěn)定性 BIBO 對于有界輸入，輸出必須有界；----穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)沖激響應絕對可和；

55、 系統(tǒng)所有極點均位于單位圓內(nèi)； MATLAB函數(shù)： roots（bn） 計算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點； 系統(tǒng)頻率響應及其計算 對比z-變換和DTFT的定義式 可以得出 此關(guān)系式對于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對可和的輸入成立； 由以上關(guān)系可得： 系統(tǒng)—頻率響應 信號—頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應； MATLAB函數(shù)： [h，w]=freqz (bn,an,n) 給出區(qū)間上n點等分的頻率響應； （沒有n時，自動給出512點）； 可以用w為頻率坐標，h為函數(shù)，利用plot函數(shù)畫出頻率響應曲線； 系統(tǒng)一般響應的計算 MATLAB函數(shù)

56、： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對指定系統(tǒng)和輸入序列x，給出輸出序列y（長度與x相同）； 例5.8 ( P.231 ) 例5.9 ( P.233 ) 穩(wěn)態(tài)響應與暫態(tài)響應 由穩(wěn)定輸入信號（如階躍信號、正弦信號）產(chǎn)生的響應為穩(wěn)態(tài)響應，響應函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點產(chǎn)生的響應為暫態(tài)響應，響應呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應持續(xù)時間（>1%最大值）的計算： 為系統(tǒng)的最大極點，為序列長度； 有限時間后，可以認為系統(tǒng)響應進入穩(wěn)態(tài)；在進行系統(tǒng)分析時，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)響應。 連續(xù)時間LTIL系統(tǒng)

57、沖激響應： 卷積形式： 微分方程形式： Laplace變換： 基本變換對 P.241 表5.4 重要性質(zhì) Laplace變換與z-變換的關(guān)系 系統(tǒng)函數(shù) 對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，所有極點位于左半平面； 穩(wěn)定性： 頻率響應： 對于穩(wěn)定系統(tǒng)成立 穩(wěn)態(tài)響應與暫態(tài)響應 時間常數(shù)= （極點實部絕對值的倒數(shù)）MAX 系統(tǒng)響應與極點位置的關(guān)系 P.244 圖5.12 連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應的計算與測量 MATLAB函數(shù) b=[b(1) b(2) …b(M+1)] ; a=[a(1) a(2)…a(N+1)]; [H,w

58、]=freqs(b,a) 已知系統(tǒng)函數(shù)時，在區(qū)間內(nèi)自動選擇200個頻率點計算頻率響應； 不知道系統(tǒng)函數(shù)時，只能通過測量得到頻率響應，再求得系統(tǒng)函數(shù)； 測量方案： 1 使用標準正弦信號實行掃頻測量，采用頻譜分析儀或網(wǎng)絡(luò)分析儀進行測量并直接得出系統(tǒng)函數(shù)； 2 加入沖激信號，采用FFT由輸出響應計算輸出頻譜；輸出頻譜直接對應于系統(tǒng)頻率響應； 第6章 數(shù)字濾波器—理想濾波器與實際濾波器 濾波器基本概念 系統(tǒng)的作用：將輸入頻譜改變?yōu)檩敵鲱l譜 濾波：對于幅頻特性的改變 頻譜變形 頻率選擇 能物理實現(xiàn)的濾波器的系數(shù)必定為實數(shù)，其幅頻響應為偶，相頻響應為奇；所以濾波

59、器頻率響應只需要在正頻率區(qū)間內(nèi)表達； 名詞：通帶 阻帶 截止頻率 帶寬 低通 高通 帶通 帶阻 理想低通數(shù)字濾波器 頻率響應 P.254 圖6.1 理想低通； 通帶內(nèi)：幅度為1， 線性相位（與時移對應）； 阻帶內(nèi)：幅度為0； 沒有過渡帶； 只容許低頻信號通過；通帶內(nèi)的信號通過時只發(fā)生延遲，不發(fā)生信號畸變； 濾波器的實現(xiàn) 物理實現(xiàn)的必要條件—因果系統(tǒng)： 對于理想低通濾波器 理想低通濾波器為非因果系統(tǒng)，不能實現(xiàn)； 只考慮幅頻特性時的逼近處理： 1 采用長延時，則在負時間區(qū)域內(nèi)，可以足夠接近于0；代價為系

60、統(tǒng)延時增加；（圖6.4） 2 采用截止頻率為的高階Butterworth濾波器；（圖6.5） 實際濾波器參數(shù) （圖6.6） 通帶波動 阻帶波動 過渡帶 通帶截止頻率 阻帶截止頻率 群延遲范圍 MATLAB函數(shù)： [gd,w]=grpdelay (b,a,256) 對采用b，a向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分256點給出群延遲和對應頻率； 容許范圍越小，濾波器結(jié)構(gòu)越復雜； 對于FIR濾波器，總是具有線性相位，設(shè)計目標為滿足指定的幅頻特性； 對于IIR濾波器，在設(shè)計時只能考慮滿足指定的幅頻特性，然后另行設(shè)計一個全通濾波器來改善其相頻特性； 設(shè)計

61、目標： 最簡單的數(shù)字因果濾波器，滿足指定的幅頻特性 系統(tǒng)函數(shù)為有理真分式，階數(shù)最小，系統(tǒng)穩(wěn)定； 模擬濾波器基本概念 P.260 圖6.8 MATLAB函數(shù) [H,w]=freqz(bn,an) 對采用bn，an向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分512點給出頻率響應和對應頻率點； 一階數(shù)字濾波器 單極點，無零點 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應 (圖6.9 P. 262) 討論：極點位置對于頻率響應的影響 a=0 全通，線性相位 全通濾波器（單位延遲元件） a<0 高通 a>0 低通 a絕對值越大，變化越大； 單極點，單零點

62、 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應 (圖6.10 P. 263) 討論：零點位置對于頻率響應的影響 b絕對值越大，頻率幅度越小；（作用與極點相反） 設(shè)計濾波器時，零點應盡可能遠離極點； 低通濾波設(shè)計方案： 帶寬確定 ，通帶截止頻率為 ： 通帶寬度（3-db帶寬） db： 即： 結(jié)論： 帶寬等于極點到單位圓的距離 例6.1 低通濾波 對連續(xù)時間信號的處理 離散化：根據(jù)采樣定理選擇采樣周期T，避免頻率混疊； 頻率范圍： 歸一化：對頻率乘以T； 頻率范圍： 根據(jù)所需頻率選擇帶寬，確定極點值a； 根據(jù)歸一化

63、條件得出系統(tǒng)函數(shù) 利用MATLAB程序畫出輸入/輸出信號：6.2 (P.267) 圖6.13 高通濾波設(shè)計方案 例6.2 高通濾波 對連續(xù)時間信號的處理 步驟與例6.1相同 結(jié)果： 圖6.15 數(shù)字高通濾波器的問題 由于采樣的限制，會引入對信號的低頻調(diào)制；這種調(diào)制效應難以消除； 二階數(shù)字濾波器 雙極點，雙零點 系統(tǒng)函數(shù) 頻率響應 (P.270 圖6.16) 特點： 頻譜幅度隨極點到單位圓距離增大而減小，隨零點到單位圓距離增大而增大； 極點靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻峰值； 零點靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻谷值；

64、 適當排布零點和極點的位置，可以得出不同的幅頻特性； 低通濾波器 高通濾波器 帶通濾波器 數(shù)字諧振器 圖6.17 例6.3 數(shù)字諧振器 連續(xù)信號的帶通濾波 根據(jù)采樣定理選取采樣周期T； 進行頻率范圍的歸一化； 確定帶寬范圍：上下截止頻率 ； 利用標準公式求出歸一化常數(shù)： 結(jié)果：P.273 圖6.18 結(jié)果顯然優(yōu)于例6.2的數(shù)字高通濾波器； 阻塞濾波器 零點位于，極點靠近零點 圖6.19 例6.4 阻塞濾波器 濾除60Hz信號 選取采樣周期T，得出歸一化頻率； 帶入公式進行設(shè)計； 結(jié)果：圖6.20 零點對濾波器特性的影響

65、 極點只能位于單位圓內(nèi)，但零點可以位于單位圓內(nèi)外的任意地方； 零點與互為倒數(shù)根；它們分別位于單位圓內(nèi)外的對稱位置； 在采用系統(tǒng)函數(shù)分析頻率特性時，將任何零點用其倒數(shù)根替代，其幅頻特性不受影響；因此，設(shè)計數(shù)字濾波器時，總可以假定所有零點都位于單位圓內(nèi)； 將零點用其倒數(shù)根替代會改變系統(tǒng)的相頻特性；單位圓內(nèi)的零點稱為最小相位零點；若系統(tǒng)函數(shù)的零點全在單位圓內(nèi)，稱為最小相位系統(tǒng)函數(shù)； 全通濾波器 當所有極點與零點互為倒數(shù)根時，幅頻特性恒定為1； 所有零點均位于單位圓外，相頻特性變化大； 用于延遲單元或相位均衡器：提供延遲，改變系統(tǒng)相頻特性； 梳狀濾波器 阻塞濾波器的擴展

66、：具有等距阻塞點的濾波器； 圖6.24 正弦發(fā)生器 在單位圓上有一個單極點：臨界穩(wěn)定，保持暫態(tài)； 第七章 FIR濾波器設(shè)計 FIR濾波器基本特點 沖激響應長度有限： 設(shè) ： ， ； N階FIR濾波器，長度為N+1 系統(tǒng)函數(shù) N個極點都位于原點，N個零點； 頻率響應計算 MATLAB函數(shù) [H,w]=freqz (h,1) 給出區(qū)間上512個頻率點的頻率響應 設(shè)計目標： 求解有限沖激響應，使其盡可能逼近要求的頻率響應線性相位濾波器；圖7.1 P.295 對低通濾波器的設(shè)計要求 設(shè)計思想 對于絕大多數(shù)系統(tǒng)，希望實現(xiàn)的頻率響應在區(qū)間具有奇偶對稱性；這種對稱性反映到實沖激響應上，也可以使沖激響應表達為偶序列或奇序列； 對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當N足夠大時，總有，因此可以將無限沖激響應截斷為只含N項的有限沖激響應，使得后者頻率響應逼近于前者； 若截斷區(qū)間為對稱，則得到的有限沖激響應具有奇偶對稱性，其頻率響應可以表現(xiàn)為實函數(shù)； 例：設(shè)無限沖激響應序列為實偶序列；其頻率響應可表示為