數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn) 基于Matlab

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1、 數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn) （基于Matlab） 王春興 物理與電子科學(xué)學(xué)院 2003.5 數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)（基于Matlab） 第一章 概述 信號(hào)的定義及表達(dá) 信號(hào)：帶有信息的任何物理量 本課程討論的信號(hào)：時(shí)間函數(shù) 連續(xù)時(shí)間信號(hào) CT 離散時(shí)間信號(hào)DT 模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào) 采樣（時(shí)間離散化） 量化（取值離散化） （P.7 圖1.6） 數(shù)字信號(hào)的表達(dá)：二進(jìn)制數(shù)組 ----二進(jìn)制編碼 數(shù)制轉(zhuǎn)換： 10進(jìn)制---2進(jìn)制 MSB和LSB 符號(hào)數(shù)的表達(dá)：符號(hào)位（補(bǔ)碼） 數(shù)字信號(hào)處理

2、分析方式： 理論分析設(shè)計(jì) 采用DT信號(hào)進(jìn)行 （本課程內(nèi)容） 實(shí)時(shí)電路處理 采用數(shù)字信號(hào)進(jìn)行 （數(shù)字電路內(nèi)容） 數(shù)字信號(hào)的特點(diǎn)及應(yīng)用 特點(diǎn)：數(shù)字信號(hào)與模擬信號(hào)的比較 抗干擾性強(qiáng)、精度高、容易存儲(chǔ)、可靈活處理 與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)兼容 數(shù)字技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域 語(yǔ)音技術(shù)（傳輸、識(shí)別、合成） 圖象處理（靜止圖象、移動(dòng)圖象、三維動(dòng)畫） 地波分析（地震探測(cè)、地質(zhì)探礦） 諧振分析（高層建筑、橋梁、機(jī)翼等） 自動(dòng)控制 實(shí)時(shí)檢測(cè) 本課程的主要教學(xué)安排： 主要內(nèi)容：（50學(xué)時(shí)） 數(shù)字信號(hào)的頻率分析：定義、變換與計(jì)算 (22學(xué)時(shí)) 頻率定義、CTFS與DTFS、CTFT

3、與DTFT、DFT與FFT 數(shù)字信號(hào)的頻率處理：濾波器設(shè)計(jì) （26學(xué)時(shí)） LTI系統(tǒng)分析 理想濾波器與低階數(shù)字濾波； FIR濾波器設(shè)計(jì)、IIR濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)與誤差分析 教材與參考書： 教材： 《 Digital Signal Processing –spectral computation and filter design 》（Third edition） (美) Chi-Tsong Chen 電子工業(yè)出版社 2002版 《數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)》（加）Joyce Van de Vegte 著

4、 侯正信 王國(guó)安 等譯 電子工業(yè)出版社2003版 《信號(hào)與系統(tǒng)計(jì)算機(jī)練習(xí)—利用MATLAB》 John R.Buck 劉樹棠 譯 西安交通大學(xué)出版社 2000版 主要工具： MATLAB ： 信號(hào)波形圖、頻譜計(jì)算與分析 濾波器設(shè)計(jì)及系統(tǒng)頻率特性分析 考核方式： 平時(shí)作業(yè) 30% 考試（筆試、操作） 70% MATLAB的基本應(yīng)用方法 命令窗口（Command window）的使用： 輸入各類變量或函數(shù)名稱，按回車即得到當(dāng)前變量或函數(shù)值； 輸入各類命令，按回車

5、即得到該命令執(zhí)行結(jié)果； 若需要輸入多行命令或程序，各行間用“；”間隔； M文件的編制與調(diào)試執(zhí)行 打開空白文件或已經(jīng)有的文件，進(jìn)行程序文件的輸入編輯； 各行間用“；”間隔； 一行中“%”以后內(nèi)容為注釋部分，不影響程序執(zhí)行； 程序編制完畢后，可以按“F5”鍵保存執(zhí)行，注意根據(jù)屏幕提示建立文件名稱；如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，可在命令窗口看到錯(cuò)誤類型及位置，根據(jù)錯(cuò)誤檢測(cè)信息對(duì)程序進(jìn)行調(diào)試； MATLAB命令及函數(shù) 信號(hào)的表達(dá)方式及作圖 在MATLAB中，任何變量或函數(shù)均表現(xiàn)為向量，任何向量的元素編號(hào)均從1開始； 序列（向量）表達(dá)方式 設(shè)定坐標(biāo)向量n和信號(hào)向量x；x和n為長(zhǎng)度相同的向量，向量

6、的編號(hào)從1開始； n=[-2 :0.1:2] 坐標(biāo)向量可以直接逐點(diǎn)寫出：n=[2 3 4 5 6 7]； 也可以采用起點(diǎn)，終點(diǎn)和步長(zhǎng)的形式寫出：n=[-2 :0.1:2] ； 信號(hào)向量可以直接逐點(diǎn)寫出：x=[1 2 3 4 3 2]； 也可以采用與n有關(guān)的函數(shù)運(yùn)算形式寫出： 例如： x=3*n x=exp(j*(pi/8)*n) 作圖： 采用stem（n，x） 作出離散圖形 DT信號(hào) 采用plot（n，x） 作出連續(xù)圖形（折線連接） CT信號(hào) 作圖時(shí)主要通過合理設(shè)置n的范圍及步長(zhǎng)來保證變量坐標(biāo)的正確性；可以利用title，axis等

7、函數(shù)為圖形設(shè)置說明和坐標(biāo)范圍； 特別注意：作圖時(shí)必須保證坐標(biāo)向量與信號(hào)向量長(zhǎng)度完全一致； 0101：離散序列的作圖 直接表現(xiàn)離散序列 n=[2 3 4 5 6 7]; x=[1 2 3 4 3 2]; stem(n,x); 0102：將圖形表現(xiàn)為連續(xù)曲線 n=[2 3 4 5 6 7]; x=[1 2 3 4 3 2]; plot(n,x); 0203：信號(hào)表現(xiàn)為坐標(biāo)向量的函數(shù) n=[2 3 4 5 6 7]; x=exp(j*(pi/8)*n); plot(n,x); 0204：圖形說明和坐標(biāo)范圍的設(shè)置 n=[-20:0.5:20]; x=exp(j*(pi

8、/8)*n); plot(n,x),title('n=[-20:0.5:20];x=exp(j*(pi/8)*n);plot(n,x)'); axis([-20,20,-2,2]); 第二章 DTFS和CTFS---周期信號(hào)的頻率分量 信號(hào)的時(shí)域表達(dá)形式： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)CT 離散時(shí)間信號(hào)DT DT信號(hào)由CT信號(hào)采樣得出 CT信號(hào) 采樣信號(hào) DT信號(hào) 周期信號(hào)：每隔一段時(shí)間重復(fù)的信號(hào) 信號(hào)變化快慢的描述： 周期T：信號(hào)重復(fù)的時(shí)間間隔 頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)信號(hào)重復(fù)的次數(shù) 頻域表達(dá)形式 人類接受的自然信號(hào)主要以頻率形式表達(dá)： 聲音 色彩

9、 信號(hào)分析的重要任務(wù)：從時(shí)域信號(hào)得出頻域信號(hào) 頻率的定義----單頻率時(shí)間信號(hào) CT信號(hào)的頻率 與周期性密切相關(guān) 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 上述信號(hào)均為周期信號(hào)，周期為T；頻率均為 ； 周期與頻率的關(guān)系 取值范圍 DT信號(hào)的頻率 (仿照CT信號(hào)定義) DT信號(hào)由CT信號(hào)采樣得到； 周期信號(hào)的采樣不一定為周期信號(hào)； 對(duì)于DT信號(hào)，頻率與周期沒有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系； 仿照CT信號(hào)定義 基本信號(hào) 上述信號(hào)頻率均為 要點(diǎn)：信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)：非周期性 頻率性質(zhì)：多重性 頻率范圍 取值范圍 Nyqu

10、ist frequency range 與采樣頻率有關(guān) CT與DT信號(hào)頻率之間的關(guān)系：P. 29 fd與采樣頻率有關(guān)，位于范圍內(nèi)； 將高頻按周期折合到低頻（主值區(qū)）； 例 p.27 2.1 2.2 付氏級(jí)數(shù)及頻率分量 一般周期時(shí)間信號(hào)的頻率：采用單頻率信號(hào)表達(dá) CTFS （連續(xù)時(shí)間付氏級(jí)數(shù)） 定義式 （周期信號(hào)：周期為P） 存在條件：絕對(duì)可積，而且在一個(gè)周期內(nèi)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限； 頻率分量：CTFS coefficient / frequency component 通常為復(fù)數(shù)： Magnitud

11、e phase phase的范圍 共軛對(duì)稱性：奇偶性 real : even : odd real and even real and even real and odd imaginary and odd 周期信號(hào)頻率分量的計(jì)算 （例 P.38） 要點(diǎn)： 2.4 利用簡(jiǎn)單分解求 2.5 利用公式求矩形

12、脈沖的 2.6 利用公式求沖激串（sampling function）的 周期信號(hào)的時(shí)間范圍： 雙邊信號(hào) 一般周期信號(hào)的頻率范圍： 若對(duì)于所有的，則稱為帶限信號(hào)； 頻率分量的意義： 平均功率: 只與magnitude有關(guān) phase的影響：對(duì)信號(hào)波形的影響 對(duì)視頻有影響，對(duì)音頻沒有影響 DTFS（離散時(shí)間付氏級(jí)數(shù)） 定義式 頻率分量討論： 的周期性 只有N個(gè)獨(dú)立系數(shù) 共軛對(duì)稱性：奇偶性 m的取值范圍：應(yīng)使 的范圍為 時(shí)移的影響： 線性相位變化 例 p.48—54 2.8

13、 利用公式直接計(jì)算系數(shù) N=3 2.9 利用公式直接計(jì)算系數(shù) N=4 2.10 時(shí)移的作用 時(shí)移不影響DTFS系數(shù)的幅度，只在系數(shù)中加入線性相位； 利用MATLAB計(jì)算頻率分量 DTFS系數(shù)的FFT計(jì)算 重要函數(shù) c=(1/N)*fft(x) x=N*ifft(c) 應(yīng)用要點(diǎn)：x和c的序列都為N個(gè)元素，下標(biāo)排列都為[ 1 …..N]，分別對(duì)應(yīng)于離散時(shí)間n [0….N-1]和離散頻率 m [0….N-1]； DTFS可以利用任何一個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算； 在采用FFT的時(shí)候，輸入數(shù)據(jù)必須從n=0到N-1； 利用shift（）函數(shù)（P.56）可以使頻率向量排布在對(duì)

14、稱區(qū)間內(nèi)： N為odd時(shí)，下標(biāo)0在正中，N為even時(shí)，下標(biāo)0偏左； 利用m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1/2)可以得到對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)； 注意：c為周期序列，周期為N； 例2.8題的求解 N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; 例2.9題的求解 N=4;T=1; x=[ 2.5 -0.4 1 -2]; %program 2.2 N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; D=2*pi/(N*T); X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D; subplot(2,1,1),

15、stem(w,abs(shift(X))),title('(a)'); subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)'); CTFS系數(shù)的FFT計(jì)算 問題：x為連續(xù)信號(hào)；m取值范圍為無限大區(qū)間； 方案：在一個(gè)周期內(nèi)取N點(diǎn)對(duì)x進(jìn)行采樣（離散化）； 求出DTFS系數(shù)---周期序列； 取主值范圍內(nèi)的序列即為對(duì)應(yīng)CTFS系數(shù)； 當(dāng)x為帶限信號(hào)時(shí)，在滿足采樣定理?xiàng)l件下可以得出準(zhǔn)確的CTFS系數(shù)； 例 2.4題的求解 2.12 %program 2.2 P=2*pi/0.3;N=1

16、1;T=P/N;D=2*pi/P; n=0:N-1; x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D; subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X))),title('(a)'); subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)'); 對(duì)于帶限信號(hào)，在滿足采樣定理的條件下，不同大小的N值（采樣數(shù)量）得到的幅頻分量相同； 若采樣周期不夠小，則

17、將產(chǎn)生頻率混疊失真； 例2.3 頻率混疊的影響 例2.5題的求解 通過改變采樣點(diǎn)數(shù)量N，可以比較混疊的影響大小 %program 2.4 hold on; N=42;P=4;T=P/N;D=2*pi/P; q=floor(1/T); x=[ones(1,q+1) zeros(1,N-2*q-1) ones(1,q)]; X=fft(x/N); m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); stem(m*D,shift(X),'b','fill'); 對(duì)于在足夠逼近條件下，magnetude可以得到足夠良好近似值；（能量逼近）；但計(jì)算出的phase不

18、會(huì)得出良好近似值（通常不采用）； 關(guān)鍵：N的選取（足夠大以獲得良好近似，足夠小以減少運(yùn)算量） 根據(jù)設(shè)定的精確度，求出最小的N： 令N=2n，選定n的特定值，再逐1增加；重復(fù)計(jì)算在Nyquist范圍內(nèi)的系數(shù)差，直到系數(shù)差小于設(shè)定值為止； 例2.6 根據(jù)設(shè)定最大誤差，自動(dòng)選取最小采樣點(diǎn)數(shù)量，并求出滿足要求的頻譜 例2.5題的求解 % program 2.6 a=1;b=100;P=4;D=2*pi/P;beta=1; while b>beta N1=2^a;T1=P/N1;q1=floor(1/T1); x1=[ones(1,q1+1

19、) zeros(1,N1-2*q1-1) ones(1,q1)]; X1=fft(x1/N1); N2=2*N1;T2=P/N2;q2=floor(1/T2); x2=[ones(1,q2+1) zeros(1,N2-2*q2-1) ones(1,q2)]; X2=fft(x2/N2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100; a=a+1; end N2,b

20、m=-N2/2+1:N2/2; stem(m*D,abs(shift(X2))); 對(duì)此程序作少數(shù)改動(dòng)可以得到對(duì)其他信號(hào)的計(jì)算： P.73 例2.14 平均功率計(jì)算 CT信號(hào) DT信號(hào) 例2.15 分別采用時(shí)域序列和頻譜序列求信號(hào)平均功率 例2.4題的信號(hào)功率 %program 2.8 P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N; n=0:N-1; x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); P1=sum(x.^2)*T/P X=fft(x/N); P2=sum(abs(X).^2)

21、例2.16 采用頻譜序列求信號(hào)平均功率 例2.5題的信號(hào)功率 %program 2.9 N=1024;D=2*pi/4; x=[ones(1,257) zeros(1,511) ones(1,256)]; X=fft(x/N); mu=floor(5/D); m=2:mu+1; p=abs(X(1))^2+2*sum(abs(X(m)).^2) 第三章 CTFT和DTFT---一般信號(hào)的頻譜 實(shí)際信號(hào)都是非周期信號(hào)（非雙邊信號(hào)） 周期信號(hào)對(duì)應(yīng)于離散頻率分量（離散頻譜） 非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)于連續(xù)頻譜 CTFT 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的付氏變換 定義式

22、 頻譜 存在條件：絕對(duì)可積，而且在一個(gè)周期內(nèi)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限； 例 3.1 eatu(t) 的頻譜 P.85 圖3.1 例3.2 wa（t）的頻譜：時(shí)域窗口函數(shù) P.87 圖3.2 主瓣：高2a，寬2π/a 旁瓣：寬π/a 零點(diǎn)：n π/a 窗口寬度與主瓣/旁瓣寬度成反比； 窗口的時(shí)移不改變幅頻特性，只引入線性相位； 例3.3 模擬理想低通濾波器 ：頻域窗口函數(shù) P.89 圖3.3 CT周期信號(hào)的頻譜 步驟：將CT周期

23、信號(hào)先展開為CTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 若干常用信號(hào)的頻譜（P.91 圖3.4） 例 3.4 沖激串的CTFT 頻譜的性質(zhì) 連續(xù)有界：若絕對(duì)可積，則有界并連續(xù)； 奇偶性： P.94 表3.1 時(shí)間實(shí)函數(shù)----幅頻偶、相頻奇 時(shí)間實(shí)偶----頻譜實(shí)偶 時(shí)間實(shí)奇----頻譜虛奇 時(shí)移與頻移： 時(shí)移引入線性相位，頻移對(duì)應(yīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制 時(shí)間尺度變換： 時(shí)間壓縮對(duì)應(yīng)頻譜擴(kuò)展 Parseval’s relation能量的頻率分布

24、 能量只與幅頻特性有關(guān)，時(shí)移不影響信號(hào)能量分布 周期信號(hào)與非周期信號(hào)的能量對(duì)比 周期信號(hào)能量為無限大，平均功率為，非零功率只存在于離散頻率點(diǎn)； 絕對(duì)可積的非周期信號(hào)能量為，在任何特定頻率點(diǎn)能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上； 連續(xù)時(shí)間信號(hào)截?cái)鄬?duì)于頻譜的影響 只有極少數(shù)信號(hào)可以求出頻譜的解析表達(dá)式； 絕大多數(shù)實(shí)際信號(hào)只能采用數(shù)值方式求解頻譜； 對(duì)無限長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)信號(hào)，在實(shí)際計(jì)算時(shí)必須考慮截?cái)嗖㈦x散化； 時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積： 其中 單頻率信號(hào)的截?cái)嘈Ч? （P.104 圖3.8） 使單頻率

25、展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應(yīng)越顯著; 對(duì)于連續(xù)信號(hào)，增大L可以將上述效應(yīng)削弱到可以忽略的程度； 例3.5 的頻譜：采用不同寬度的窗口截?cái)啵? （P.104 圖3.8） Gibbs現(xiàn)象 用付氏變換表達(dá)時(shí)間函數(shù)時(shí)，當(dāng)頻譜信號(hào)含有不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，頻譜的紋波將會(huì)變窄并靠近該點(diǎn)，但紋波不會(huì)隨L的無限增大而消失，而是趨于一個(gè)常量（寬度無限小，高度約為不連續(xù)變化量的9%）； （P.105 圖3.9） 將頻譜變換為時(shí)間函數(shù)時(shí)存在相同的現(xiàn)象； 采用矩形窗口截?cái)嘈盘?hào)必然出現(xiàn)

26、Gibbs現(xiàn)象。 DTFT 離散時(shí)間信號(hào)的付氏變換 定義式 頻譜 具有周期性 可以表達(dá)為任何一個(gè)周期上的積分 主值區(qū)域： 例 3.6 anu[n] 的頻譜 P.109 圖3.11 例 3.7 離散時(shí)間矩形窗口函數(shù)wd[n]的頻譜 N=2M+1 P.110 圖3.12 與連續(xù)時(shí)間窗口類似，離散時(shí)間窗口的頻譜在一個(gè)周期內(nèi)也產(chǎn)生主瓣與旁瓣，頻譜零點(diǎn)位于處；主瓣高度為N；旁瓣只有N-2個(gè)； 例3.8 數(shù)字理想低通濾波器 （P.112 圖3.13） DT周期信號(hào)的頻譜

27、 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 時(shí)域沖激串對(duì)應(yīng)于頻域沖激串 一般周期信號(hào) 將DT周期信號(hào)先展開為DTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 截?cái)嗟挠绊? 對(duì)無限長(zhǎng)時(shí)間DT信號(hào)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須進(jìn)行截?cái)啵? 時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 頻域?qū)?yīng)卷積： 其中 N=2M+1 截?cái)嘈Ч? P.116 圖3.14 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應(yīng)越顯著。 矩形窗截?cái)啾厝粚?dǎo)致Gibbs現(xiàn)象 P.117 圖3.15 連續(xù)

28、信號(hào)的離散化 連續(xù)信號(hào)不能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，必須離散化為離散信號(hào)； 連續(xù)信號(hào)離散化過程稱為采樣過程； Nyquist 采樣定理 理想采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化 時(shí)域離散化 頻域周期性復(fù)制 恢復(fù)采樣信號(hào)的條件： 1 帶限信號(hào) 存在最高頻率 2 采樣頻率（Nyquist rate） 滿足上述條件時(shí)，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號(hào)； 該操作等效于時(shí)域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個(gè)采樣點(diǎn)插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條件2時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù)； 不滿足條件1時(shí)，總是產(chǎn)生混疊；

29、 當(dāng)CT信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大T使得混疊影響足夠?。? 對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 時(shí)限帶限理論 任何非零連續(xù)信號(hào)都不可能即為時(shí)限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)時(shí)必然需要截?cái)?，必然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號(hào)可以近視看作為時(shí)限帶限信號(hào)，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號(hào)的實(shí)際處理過程 模擬信號(hào)---采樣及零階保持---ADC---數(shù)字編碼信號(hào) 數(shù)字編碼信號(hào)---DAC---零階保持信號(hào)---低通濾波---模擬信號(hào) DT周期信號(hào)的頻譜 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 時(shí)域沖激串對(duì)應(yīng)于頻域沖激串 一般周期

30、信號(hào) 將DT周期信號(hào)先展開為DTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 截?cái)嗟挠绊? 對(duì)無限長(zhǎng)時(shí)間DT信號(hào)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須進(jìn)行截?cái)啵? 時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 頻域?qū)?yīng)卷積： 離散取樣函數(shù) N=2M+1 截?cái)嘈Ч? P.1116 圖3.14 使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4π/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2π/L）； 對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象； L越小，上述效應(yīng)越顯著。 矩形窗截?cái)啾厝粚?dǎo)致Gibbs現(xiàn)象 P.1116 圖3.14 Nyquist 采樣定理 采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時(shí)間

31、信號(hào)離散化 恢復(fù)采樣信號(hào)的條件： 3 帶限信號(hào) 存在最高頻率 4 采樣頻率（Nyquist rate） 滿足上述條件時(shí)，可通過頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號(hào)； 該操作等效于時(shí)域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個(gè)采樣點(diǎn)插入連續(xù)取樣函數(shù)）。 頻率混疊問題 不滿足條件2時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù)； 不滿足條件1時(shí)，總是產(chǎn)生混疊； 當(dāng)CT信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大T使得混疊影響足夠小； 對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。 時(shí)限帶限理論 任何非零連續(xù)信號(hào)都不可能即為時(shí)限又為帶限； 利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)時(shí)必然需要截?cái)?，?/p>

32、然產(chǎn)生誤差； 在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號(hào)可以近視看作為時(shí)限帶限信號(hào)，并利用數(shù)字技術(shù)處理。 音頻信號(hào)的實(shí)際處理過程 模擬信號(hào)---采樣及零階保持---ADC---數(shù)字編碼信號(hào) 數(shù)字編碼信號(hào)---DAC---零階保持信號(hào)---低通濾波---模擬信號(hào) 第四章 DFT和FFT---頻譜的計(jì)算 絕大多數(shù)信號(hào)不能采用解析方式進(jìn)行頻譜分析，只能采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算頻譜； DFT 離散付氏變換 只對(duì)有限長(zhǎng)度的序列定義，由DTFT頻譜在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行N點(diǎn)采樣得出 定義式 特點(diǎn)：將有限信號(hào)的無限寬頻譜壓縮到一個(gè)周期內(nèi)（有限寬度） 將離散信號(hào)的連續(xù)頻譜采樣

33、為有限序列 設(shè) 則 重要性質(zhì) 時(shí)間序列和頻譜序列均以N為周期；可擴(kuò)展為周期信號(hào)；可以從任何一個(gè)周期中計(jì)算； 例 DFT和DTFT的對(duì)比計(jì)算 DFT（離散序列）是DTFT（連續(xù)頻譜）的采樣 P.136—140 例4.1---4.3 DFT與DTFS的關(guān)系： 將有限長(zhǎng)時(shí)間序列看作無限長(zhǎng)時(shí)間序列的一個(gè)周期，就可以進(jìn)行DTFS變換 只相差常數(shù)N 反變換的時(shí)域混疊問題 當(dāng)時(shí)域序列為有限長(zhǎng)m時(shí)，作N點(diǎn)的DFT N≥m 不會(huì)產(chǎn)生混疊 DFT和DTFT反變換結(jié)果相同； N

34、DFT 當(dāng)時(shí)域序列為無限長(zhǎng)時(shí)，作N點(diǎn)的DFT的反變換一定會(huì)產(chǎn)生混疊；但若時(shí)域序列為絕對(duì)可和，則當(dāng)N足夠大時(shí)，混疊可以忽略。 DFT的性質(zhì) （與DTFS和DTFT類似） 對(duì)于時(shí)域序列，將有限長(zhǎng)序列擴(kuò)展為無限長(zhǎng)周期序列進(jìn)行討論。 奇偶性 周期時(shí)移—圓周移動(dòng) DFT解決頻率計(jì)算問題的方式： 對(duì)有限時(shí)間序列的連續(xù)頻譜，只計(jì)算其中離散的采樣點(diǎn)； DFT存在的問題： 計(jì)算量問題：對(duì)于N點(diǎn)DFT，需進(jìn)行N2次復(fù)數(shù)乘法，N（N-1）次復(fù)數(shù)加法；N的增加導(dǎo)致運(yùn)算量龐大，N的減少導(dǎo)致誤差增大； FFT 快速付氏變換 利用DFT的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行分解，降低計(jì)算量。

35、 要點(diǎn)：以N為周期，均勻分布于單位圓上 例：N=8 8點(diǎn)序列的DFT分析 利用的性質(zhì)可以得到 所以可以得出 注意： 是以0，2，4，6點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT 是以1，3，5，7點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT 將N點(diǎn)序列拆分為兩個(gè)N/2點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算： 運(yùn)算結(jié)構(gòu)：蝶形運(yùn)算（butterfly equation） 左邊m只取4個(gè)值，右邊m取8個(gè)值 繼續(xù)對(duì)和進(jìn)行分析： 利用的性質(zhì)

36、可以得到 所以可以得出第2層蝶形運(yùn)算關(guān)系： 是以0，4點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT 是以2，6點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT 將N/2點(diǎn)序列拆分為兩個(gè)N/4點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算 進(jìn)一步可以得到第3層蝶形運(yùn)算關(guān)系： 上述運(yùn)算過程可以由蝶形運(yùn)算圖表示為： 可以看到，在上圖中采用了蝶形運(yùn)算作為運(yùn)算基本單元，一個(gè)蝶形運(yùn)算的單元如下圖所示： 輸入3個(gè)復(fù)數(shù) A ，B，C 輸出2個(gè)復(fù)數(shù) X1，X2 輸入/輸出關(guān)系為： X1=A+B*C X

37、2=A-B*C 1個(gè)蝶形運(yùn)算涉及1次復(fù)數(shù)乘法（4次實(shí)數(shù)乘，2次實(shí)數(shù)加），2次復(fù)數(shù)加（4次實(shí)數(shù)加）。 FFT的蝶形運(yùn)算方式可以極大地減少DFT的運(yùn)算工作量；在P.150的表4.2中列出了隨著N的增加，DFT與FFT運(yùn)算量的比較； 在FFT的蝶形運(yùn)算圖中可以看出，各層蝶形運(yùn)算可以構(gòu)成流水線處理形式，一次蝶形運(yùn)算完成，數(shù)據(jù)提供給下一層后，就可以對(duì)新的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；因此，F(xiàn)FT對(duì)數(shù)據(jù)的平均處理時(shí)間可以壓縮到1次蝶形運(yùn)算的時(shí)間。 蝶形運(yùn)算在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以將其設(shè)置為函數(shù)，在運(yùn)算中調(diào)用；在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)可將其設(shè)計(jì)為基本功能單元（目前已有專用的FFT集成器件）； MATLAB的FFT函數(shù)定義 FF

38、T函數(shù) fft（x，N） ：計(jì)算N點(diǎn)時(shí)間序列x的DFT 由時(shí)間序列計(jì)算頻譜序列：都為N點(diǎn)序列，下標(biāo)排列都為0---N-1。 對(duì)稱區(qū)間排布函數(shù)shift（fft（x，N））：參見P.56 Program2.1 可以使的取值位于的對(duì)稱區(qū)間內(nèi)； 用FFT進(jìn)行頻譜計(jì)算 有限時(shí)間序列的頻譜計(jì)算 從0開始的序列：直接對(duì)該序列進(jìn)行計(jì)算 (P.155 例4.4) 不是從0開始的序列：將該序列進(jìn)行周期性擴(kuò)展后，選取從0開始的周期進(jìn)行計(jì)算 % program 4.2 N=4;T=0.5;D=2*pi/(N*T); %設(shè)置序列點(diǎn)數(shù)N，時(shí)域采樣周期T，頻域采樣周期D x=[2 -1

39、1 1]; % 給出時(shí)間信號(hào)序列 X=fftshift(fft(x,N)); % 選取對(duì)稱區(qū)間進(jìn)行FFT，得出離散頻率序列 m=floor(-(N-1)/2):floor((N-1)/2); % 設(shè)置離散頻率坐標(biāo)向量 w=-2*pi:0.01:2*pi; % 設(shè)置準(zhǔn)連續(xù)頻率坐標(biāo)范圍及分辨率 X1=2-exp(-j*0.5*w)+exp(-j*w)+exp(-j*1.5*w); % 根據(jù)定義寫出連續(xù)頻率函數(shù) subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),'o:'),title('(a)

40、'); %幅頻特性圖 subplot(1,2,2),plot(w,angle(X1),m*D,angle(X),'o:'),title('(b)'); %相頻特性圖 當(dāng)序列很短時(shí)，頻域采樣點(diǎn)太少，頻率分辨率低； 提高頻率分辨率的手段：為時(shí)域序列補(bǔ)0，增加采樣點(diǎn)數(shù)N 從0開始的序列：在該序列之后補(bǔ)0可以通過直接改寫程序中的N值實(shí)現(xiàn)，當(dāng)N大于x序列長(zhǎng)度時(shí)，fft（x，N）自動(dòng)為x補(bǔ)0； 直接對(duì)該序列進(jìn)行計(jì)算 (P.155 例4.4) 不是從0開始的序列：將該序列進(jìn)行尾端補(bǔ)0后，再進(jìn)行周期性擴(kuò)展，然后選取從0開始的周期進(jìn)行計(jì)算；（P.158 例4.5） 若只是計(jì)算幅

41、頻特性，也可以將序列起點(diǎn)直接移到0點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（時(shí)移不影響幅頻特性）； 無限時(shí)間序列的頻譜計(jì)算 無限序列通常不存在分辨率問題，但必須進(jìn)行截?cái)嗖拍苡?jì)算； 截?cái)啾厝粚?dǎo)致誤差，計(jì)算時(shí)需要考慮計(jì)算精度問題； 方案：尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)； 要點(diǎn)： 只對(duì)幅頻特性進(jìn)行比較； 若時(shí)間序列為實(shí)序列，則幅頻特性為偶函數(shù)，只對(duì)正區(qū)間比較； 兩序列頻譜采樣點(diǎn)密度不同，只能在公共的采樣點(diǎn)上進(jìn)行比較； 例 P.161 Program4.4 要點(diǎn)：兩序列比較時(shí)，長(zhǎng)序列密度比短序列大，因此長(zhǎng)序列隔位與短序列逐

42、位比較； % program 4.4 T=0.5;a=1;b=100;beta=1; while b>beta N1=2^a; n1=0:N1-1; x1=0.9.^n1;X1=fft(x1); N2=2*N1; n2=0:N2-1; x2=0.9.^n2;X2=fft(x2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(2*m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100;a=a+1; end N2,b 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜計(jì)算 當(dāng)連

43、續(xù)時(shí)間信號(hào)不能表達(dá)為閉合形式時(shí)，只能采用數(shù)值計(jì)算； 連續(xù)信號(hào)的計(jì)算必須先在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的區(qū)間內(nèi)經(jīng)時(shí)間采樣（周期T）成為N點(diǎn)序列，才能進(jìn)行計(jì)算； 本節(jié)只考慮絕對(duì)可積的連續(xù)時(shí)間信號(hào)； 正區(qū)間信號(hào) （t<0時(shí)，x=0） 選擇信號(hào)區(qū)間[0，L]：L=TN 需考慮的問題： 頻率混疊---T 盡可能小 頻率分辨率---N 盡可能大 截?cái)嘈?yīng)---L 盡可能大 計(jì)算量---N 盡可能小 建議步驟： 首先選擇L使其包含x明顯不為0的主要區(qū)域； 然后尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使頻

44、率混疊可以忽略的采樣周期T； 利用已確定的T，尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使截?cái)嘈?yīng)可以忽略的信號(hào)區(qū)間L； 采用上述方式，可以使幅頻特性、頻譜實(shí)部及虛部均收斂于實(shí)際頻譜，只有相頻特性不收斂； 例 P.165—170 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜計(jì)算 對(duì)于周期信號(hào)，由于無限長(zhǎng)而且不滿足絕對(duì)可積條件，將其截?cái)鄷r(shí)必然產(chǎn)生嚴(yán)重的截?cái)嘈?yīng)（頻率漏泄）； 周期信號(hào)在頻譜中對(duì)應(yīng)于沖激，其特點(diǎn)為：當(dāng)N加倍時(shí)，沖激高度加倍，寬度變窄；由此效應(yīng)可判斷頻譜中是否存在周期信號(hào)。 對(duì)周期信號(hào)應(yīng)采用CTFS進(jìn)行計(jì)算：在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算頻

45、譜。計(jì)算可以得出精確的幅頻特性，但通常不能得到準(zhǔn)確的相位（相位與延時(shí)有關(guān)）。 由頻譜計(jì)算離散時(shí)間信號(hào) （反變換） 對(duì)反變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，同樣可以利用FFT函數(shù)進(jìn)行； 對(duì)于存在于對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的頻譜，計(jì)算開始前必須按周期擴(kuò)展方式，選取以0為起點(diǎn)的周期中的序列； 對(duì)頻譜采樣點(diǎn)N的選取應(yīng)確保消除時(shí)域混疊效應(yīng)，其判據(jù)為：所得時(shí)域信號(hào)有一段區(qū)域全為0； 由于DFT是由時(shí)域信號(hào)經(jīng)過周期擴(kuò)展后，任選一個(gè)周期計(jì)算所得，因而一次反變換通常無法確定時(shí)域信號(hào)的原始起點(diǎn)；采用不同的N進(jìn)行多次反變換，對(duì)比其公共序列，可以確定出原始時(shí)間序列的起點(diǎn)：不同的N對(duì)應(yīng)于不同的補(bǔ)0序列，這些序列由于周期長(zhǎng)度不同除了在原周期

46、內(nèi)一致外，在其他地方通常會(huì)有差異； 例：P.175—178 圖 4.21 4.22 4.23 若某頻譜所對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列為正區(qū)間信號(hào)，并且頻率采樣點(diǎn)N大于從n=0開始的時(shí)間序列長(zhǎng)度，則由inverse FFT計(jì)算出的序列就是原始序列。 由頻譜計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào) （反變換） 首先對(duì)無限的頻譜進(jìn)行截?cái)啵? 選擇T使得 然后對(duì)連續(xù)頻譜采樣離散化： 在有限區(qū)間內(nèi)選取N個(gè)頻率采樣點(diǎn)； 采用inverse FFT計(jì)算得到時(shí)間序列： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與時(shí)間序列的關(guān)系為： 例 P.180—182 采用FFT計(jì)算信號(hào)能量 對(duì)于連續(xù)信號(hào)，其總能量為

47、 將有限區(qū)域內(nèi)將時(shí)間信號(hào)離散化，得到： 利用FFT可以得出離散時(shí)間序列的離散頻譜，則其能量也可以表示為： 例 P.183—184 求矩形窗頻譜主瓣的能量百分比； 頻譜計(jì)算總結(jié)： 在信號(hào)分析時(shí)，考慮信號(hào)分布于全部時(shí)間區(qū)域有利于頻域分析的簡(jiǎn)化； 但在進(jìn)行FFT計(jì)算時(shí)，正區(qū)間信號(hào)比較簡(jiǎn)便； 對(duì)于連續(xù)信號(hào)，信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間可以選為t=0，因此所有實(shí)際信號(hào)都可以看作為正區(qū)間信號(hào)； 利用fft和shift函數(shù)進(jìn)行正變換，可以直接得到區(qū)間的頻譜； 將對(duì)稱區(qū)間的頻譜變換到區(qū)間，利用ifft函數(shù)可以得到原始的時(shí)間序列（選擇N使得得到的非零序列的最后若干位實(shí)際上全為0）；

48、 第5章 線性時(shí)不變集總系統(tǒng) 系統(tǒng)：信號(hào)之間的關(guān)系 輸入信號(hào)—系統(tǒng)處理---輸出信號(hào) 確定的輸入只產(chǎn)生唯一確定的輸出 連續(xù)系統(tǒng) 離散系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 可加性 比例性 時(shí)不變系統(tǒng) 時(shí)移不變性 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，可以將輸入信號(hào)開始出現(xiàn)的時(shí)間設(shè)置為0； 初始松弛條件 系統(tǒng)初始狀態(tài)為0； 在系統(tǒng)分析中，通常只考慮正時(shí)間區(qū)間 ； 線性時(shí)不變系統(tǒng)---LTI系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的卷積描述 沖激序列 只在一個(gè)時(shí)刻取值為1，在其他任何時(shí)刻取值為0； 任意信號(hào)序列可以用沖激序列表示： 沖激響應(yīng) 離散卷積

49、由系統(tǒng)沖激響應(yīng)可以得出系統(tǒng)的全部特性，設(shè)計(jì)系統(tǒng)就是設(shè)計(jì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)； 例5.1 由系統(tǒng)特定輸入輸出求，進(jìn)而得出的一般形式； 例5.2 由求系統(tǒng)的差分方程（移動(dòng)平均濾波器）； 因果性 輸出信號(hào)產(chǎn)生于輸入信號(hào)之后； 物理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的必要條件； 對(duì)于因果系統(tǒng)， 卷積具有交換性。 系統(tǒng)的表達(dá)：沖激響應(yīng)---序列 FIR濾波器 有限沖激響應(yīng) 長(zhǎng)度N為有限 例如：移動(dòng)平均系統(tǒng) 無記憶系統(tǒng)（乘法器） IIR濾波器 無限沖激響應(yīng) LTI系統(tǒng)的差分方程描述 在卷積描述中，隨著n的增加，的計(jì)算量增加； 利用差分方程，可以有效減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量； 例

50、5.1 儲(chǔ)蓄系統(tǒng) 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的一種具體方式） 只由3種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （P.201 圖5.3） 差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達(dá)； 集總系統(tǒng)：可以用有限個(gè)延遲器實(shí)現(xiàn)； 任何LTI系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述； 差分方程的一般形式： （后向差分） 系統(tǒng)的表達(dá)：序列a 序列b 遞歸方程 當(dāng)前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋； 與IIR系統(tǒng)對(duì)應(yīng)； 非遞歸方程：除了外，所有都等于0； 當(dāng)前輸出與以前的輸出無關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋； 與FIR系統(tǒng)對(duì)應(yīng)； 與沖激響應(yīng)的關(guān)系

51、： 系數(shù)序列即為沖激響應(yīng)序列 （序列b與序列h對(duì)應(yīng)）； FIR系統(tǒng)也能表達(dá)為遞歸方程以減少運(yùn)算量： 例 5.3 采樣周期與實(shí)時(shí)處理過程 在實(shí)時(shí)處理過程中，采樣周期受運(yùn)算周期限制，不能過小； 在非實(shí)時(shí)處理（存儲(chǔ)處理）時(shí)，可以不受運(yùn)算周期和因果性的限制； z-變換 系統(tǒng)表達(dá)的重要工具 定義：對(duì)于正區(qū)間信號(hào) ，其z-變換定義為 例5.4 z-變換的計(jì)算：直接利用定義式和求和公式； 反z-變換：長(zhǎng)除法，對(duì)z進(jìn)行降序排列； 收斂域問題：保障求和有限的z的可能取值區(qū)間； ROC 簡(jiǎn)單信號(hào)的z-變換：只考慮正區(qū)間，n從0開始

52、 單位延遲 時(shí)移性質(zhì) 若， 則 反z-變換的計(jì)算方法 長(zhǎng)除法 將表示為有理分式，直接用分子除以分母； 要點(diǎn)：分子和分母都必須以的降序形式 部分分式展開及查表法 將表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對(duì)進(jìn)行變換； 要點(diǎn)：將分母進(jìn)行因式分解； 基本變換對(duì)： FFT計(jì)算方法 選取常數(shù)c大于的最大極點(diǎn)的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號(hào)）； 取，對(duì)應(yīng)為頻譜函數(shù)； 利用FFT進(jìn)行反DTFT計(jì)算，選取足夠大的采樣點(diǎn)N，可以得到反z-變換序列； 例5.1 P.214 轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）

53、 進(jìn)行z-變換： 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述： 可以看作沖激響應(yīng)序列的z-變換； 可以看作差分方程序列b與序列a的分式： 利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進(jìn)行各種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換； 例5.5（ P.217）由差分方程得到系統(tǒng)函數(shù) 對(duì)于因果的LTI集總系統(tǒng)， 為真分式，的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)； 系統(tǒng)函數(shù)的MATLAB表達(dá)：采用序列a和b表達(dá)（長(zhǎng)度相同） 系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的計(jì)算 零點(diǎn)與極點(diǎn)的定義 MATLAB函數(shù)： zplane（b，a） [z，p，k]=tf2zp（b，a） 零點(diǎn)和極點(diǎn)的作用 極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響更大 例：P.221 圖5.6 與

54、系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他MATLAB函數(shù) dimpulse (bp,ap,N) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)：N點(diǎn)序列 dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)：N點(diǎn)序列 [r,p,k]=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應(yīng)表達(dá)式 例：P.221-222 圖5.7 FIR和IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) FIR濾波器只在原點(diǎn)存在極點(diǎn)； IIR濾波器在原點(diǎn)以外存在極點(diǎn)； 離散時(shí)間付氏變換與z-變換的關(guān)系 DTFT不適合用于正區(qū)間信號(hào)分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析； 系統(tǒng)穩(wěn)定性 BIBO 對(duì)于有界輸入，輸出必須有界；----穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)絕對(duì)可和；

55、 系統(tǒng)所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)； MATLAB函數(shù)： roots（bn） 計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)； 系統(tǒng)頻率響應(yīng)及其計(jì)算 對(duì)比z-變換和DTFT的定義式 可以得出 此關(guān)系式對(duì)于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對(duì)可和的輸入成立； 由以上關(guān)系可得： 系統(tǒng)—頻率響應(yīng) 信號(hào)—頻譜 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； MATLAB函數(shù)： [h，w]=freqz (bn,an,n) 給出區(qū)間上n點(diǎn)等分的頻率響應(yīng)； （沒有n時(shí)，自動(dòng)給出512點(diǎn)）； 可以用w為頻率坐標(biāo)，h為函數(shù)，利用plot函數(shù)畫出頻率響應(yīng)曲線； 系統(tǒng)一般響應(yīng)的計(jì)算 MATLAB函數(shù)

56、： y=dlsim (bp,ap,x) y=filter (bn,an,x) 對(duì)指定系統(tǒng)和輸入序列x，給出輸出序列y（長(zhǎng)度與x相同）； 例5.8 ( P.231 ) 例5.9 ( P.233 ) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 由穩(wěn)定輸入信號(hào)（如階躍信號(hào)、正弦信號(hào)）產(chǎn)生的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致； 由系統(tǒng)極點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式； 暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)時(shí)間（>1%最大值）的計(jì)算： 為系統(tǒng)的最大極點(diǎn)，為序列長(zhǎng)度； 有限時(shí)間后，可以認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)響應(yīng)。 連續(xù)時(shí)間LTIL系統(tǒng)

57、沖激響應(yīng)： 卷積形式： 微分方程形式： Laplace變換： 基本變換對(duì) P.241 表5.4 重要性質(zhì) Laplace變換與z-變換的關(guān)系 系統(tǒng)函數(shù) 對(duì)于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，所有極點(diǎn)位于左半平面； 穩(wěn)定性： 頻率響應(yīng)： 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)成立 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng) 時(shí)間常數(shù)= （極點(diǎn)實(shí)部絕對(duì)值的倒數(shù)）MAX 系統(tǒng)響應(yīng)與極點(diǎn)位置的關(guān)系 P.244 圖5.12 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計(jì)算與測(cè)量 MATLAB函數(shù) b=[b(1) b(2) …b(M+1)] ; a=[a(1) a(2)…a(N+1)]; [H,w

58、]=freqs(b,a) 已知系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)自動(dòng)選擇200個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算頻率響應(yīng)； 不知道系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，只能通過測(cè)量得到頻率響應(yīng)，再求得系統(tǒng)函數(shù)； 測(cè)量方案： 1 使用標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)實(shí)行掃頻測(cè)量，采用頻譜分析儀或網(wǎng)絡(luò)分析儀進(jìn)行測(cè)量并直接得出系統(tǒng)函數(shù)； 2 加入沖激信號(hào)，采用FFT由輸出響應(yīng)計(jì)算輸出頻譜；輸出頻譜直接對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)頻率響應(yīng)； 第6章 數(shù)字濾波器—理想濾波器與實(shí)際濾波器 濾波器基本概念 系統(tǒng)的作用：將輸入頻譜改變?yōu)檩敵鲱l譜 濾波：對(duì)于幅頻特性的改變 頻譜變形 頻率選擇 能物理實(shí)現(xiàn)的濾波器的系數(shù)必定為實(shí)數(shù)，其幅頻響應(yīng)為偶，相頻響應(yīng)為奇；所以濾波

59、器頻率響應(yīng)只需要在正頻率區(qū)間內(nèi)表達(dá)； 名詞：通帶 阻帶 截止頻率 帶寬 低通 高通 帶通 帶阻 理想低通數(shù)字濾波器 頻率響應(yīng) P.254 圖6.1 理想低通； 通帶內(nèi)：幅度為1， 線性相位（與時(shí)移對(duì)應(yīng)）； 阻帶內(nèi)：幅度為0； 沒有過渡帶； 只容許低頻信號(hào)通過；通帶內(nèi)的信號(hào)通過時(shí)只發(fā)生延遲，不發(fā)生信號(hào)畸變； 濾波器的實(shí)現(xiàn) 物理實(shí)現(xiàn)的必要條件—因果系統(tǒng)： 對(duì)于理想低通濾波器 理想低通濾波器為非因果系統(tǒng)，不能實(shí)現(xiàn)； 只考慮幅頻特性時(shí)的逼近處理： 1 采用長(zhǎng)延時(shí)，則在負(fù)時(shí)間區(qū)域內(nèi)，可以足夠接近于0；代價(jià)為系

60、統(tǒng)延時(shí)增加；（圖6.4） 2 采用截止頻率為的高階Butterworth濾波器；（圖6.5） 實(shí)際濾波器參數(shù) （圖6.6） 通帶波動(dòng) 阻帶波動(dòng) 過渡帶 通帶截止頻率 阻帶截止頻率 群延遲范圍 MATLAB函數(shù)： [gd,w]=grpdelay (b,a,256) 對(duì)采用b，a向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分256點(diǎn)給出群延遲和對(duì)應(yīng)頻率； 容許范圍越小，濾波器結(jié)構(gòu)越復(fù)雜； 對(duì)于FIR濾波器，總是具有線性相位，設(shè)計(jì)目標(biāo)為滿足指定的幅頻特性； 對(duì)于IIR濾波器，在設(shè)計(jì)時(shí)只能考慮滿足指定的幅頻特性，然后另行設(shè)計(jì)一個(gè)全通濾波器來改善其相頻特性； 設(shè)計(jì)

61、目標(biāo)： 最簡(jiǎn)單的數(shù)字因果濾波器，滿足指定的幅頻特性 系統(tǒng)函數(shù)為有理真分式，階數(shù)最小，系統(tǒng)穩(wěn)定； 模擬濾波器基本概念 P.260 圖6.8 MATLAB函數(shù) [H,w]=freqz(bn,an) 對(duì)采用bn，an向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分512點(diǎn)給出頻率響應(yīng)和對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)； 一階數(shù)字濾波器 單極點(diǎn)，無零點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應(yīng) (圖6.9 P. 262) 討論：極點(diǎn)位置對(duì)于頻率響應(yīng)的影響 a=0 全通，線性相位 全通濾波器（單位延遲元件） a<0 高通 a>0 低通 a絕對(duì)值越大，變化越大； 單極點(diǎn)，單零點(diǎn)

62、 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應(yīng) (圖6.10 P. 263) 討論：零點(diǎn)位置對(duì)于頻率響應(yīng)的影響 b絕對(duì)值越大，頻率幅度越?。唬ㄗ饔门c極點(diǎn)相反） 設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，零點(diǎn)應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離極點(diǎn)； 低通濾波設(shè)計(jì)方案： 帶寬確定 ，通帶截止頻率為 ： 通帶寬度（3-db帶寬） db： 即： 結(jié)論： 帶寬等于極點(diǎn)到單位圓的距離 例6.1 低通濾波 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理 離散化：根據(jù)采樣定理選擇采樣周期T，避免頻率混疊； 頻率范圍： 歸一化：對(duì)頻率乘以T； 頻率范圍： 根據(jù)所需頻率選擇帶寬，確定極點(diǎn)值a； 根據(jù)歸一化

63、條件得出系統(tǒng)函數(shù) 利用MATLAB程序畫出輸入/輸出信號(hào)：6.2 (P.267) 圖6.13 高通濾波設(shè)計(jì)方案 例6.2 高通濾波 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理 步驟與例6.1相同 結(jié)果： 圖6.15 數(shù)字高通濾波器的問題 由于采樣的限制，會(huì)引入對(duì)信號(hào)的低頻調(diào)制；這種調(diào)制效應(yīng)難以消除； 二階數(shù)字濾波器 雙極點(diǎn)，雙零點(diǎn) 系統(tǒng)函數(shù) 頻率響應(yīng) (P.270 圖6.16) 特點(diǎn)： 頻譜幅度隨極點(diǎn)到單位圓距離增大而減小，隨零點(diǎn)到單位圓距離增大而增大； 極點(diǎn)靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻峰值； 零點(diǎn)靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻谷值；

64、 適當(dāng)排布零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，可以得出不同的幅頻特性； 低通濾波器 高通濾波器 帶通濾波器 數(shù)字諧振器 圖6.17 例6.3 數(shù)字諧振器 連續(xù)信號(hào)的帶通濾波 根據(jù)采樣定理選取采樣周期T； 進(jìn)行頻率范圍的歸一化； 確定帶寬范圍：上下截止頻率 ； 利用標(biāo)準(zhǔn)公式求出歸一化常數(shù)： 結(jié)果：P.273 圖6.18 結(jié)果顯然優(yōu)于例6.2的數(shù)字高通濾波器； 阻塞濾波器 零點(diǎn)位于，極點(diǎn)靠近零點(diǎn) 圖6.19 例6.4 阻塞濾波器 濾除60Hz信號(hào) 選取采樣周期T，得出歸一化頻率； 帶入公式進(jìn)行設(shè)計(jì)； 結(jié)果：圖6.20 零點(diǎn)對(duì)濾波器特性的影響

65、 極點(diǎn)只能位于單位圓內(nèi)，但零點(diǎn)可以位于單位圓內(nèi)外的任意地方； 零點(diǎn)與互為倒數(shù)根；它們分別位于單位圓內(nèi)外的對(duì)稱位置； 在采用系統(tǒng)函數(shù)分析頻率特性時(shí)，將任何零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代，其幅頻特性不受影響；因此，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，總可以假定所有零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)； 將零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代會(huì)改變系統(tǒng)的相頻特性；單位圓內(nèi)的零點(diǎn)稱為最小相位零點(diǎn)；若系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)全在單位圓內(nèi)，稱為最小相位系統(tǒng)函數(shù)； 全通濾波器 當(dāng)所有極點(diǎn)與零點(diǎn)互為倒數(shù)根時(shí)，幅頻特性恒定為1； 所有零點(diǎn)均位于單位圓外，相頻特性變化大； 用于延遲單元或相位均衡器：提供延遲，改變系統(tǒng)相頻特性； 梳狀濾波器 阻塞濾波器的擴(kuò)展

66、：具有等距阻塞點(diǎn)的濾波器； 圖6.24 正弦發(fā)生器 在單位圓上有一個(gè)單極點(diǎn)：臨界穩(wěn)定，保持暫態(tài)； 第七章 FIR濾波器設(shè)計(jì) FIR濾波器基本特點(diǎn) 沖激響應(yīng)長(zhǎng)度有限： 設(shè) ： ， ； N階FIR濾波器，長(zhǎng)度為N+1 系統(tǒng)函數(shù) N個(gè)極點(diǎn)都位于原點(diǎn)，N個(gè)零點(diǎn)； 頻率響應(yīng)計(jì)算 MATLAB函數(shù) [H,w]=freqz (h,1) 給出區(qū)間上512個(gè)頻率點(diǎn)的頻率響應(yīng) 設(shè)計(jì)目標(biāo)： 求解有限沖激響應(yīng)，使其盡可能逼近要求的頻率響應(yīng)線性相位濾波器；圖7.1 P.295 對(duì)低通濾波器的設(shè)計(jì)要求 設(shè)計(jì)思想 對(duì)于絕大多數(shù)系統(tǒng)，希望實(shí)現(xiàn)的頻率響應(yīng)在區(qū)間具有奇偶對(duì)稱性；這種對(duì)稱性反映到實(shí)沖激響應(yīng)上，也可以使沖激響應(yīng)表達(dá)為偶序列或奇序列； 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)N足夠大時(shí)，總有，因此可以將無限沖激響應(yīng)截?cái)酁橹缓琋項(xiàng)的有限沖激響應(yīng)，使得后者頻率響應(yīng)逼近于前者； 若截?cái)鄥^(qū)間為對(duì)稱，則得到的有限沖激響應(yīng)具有奇偶對(duì)稱性，其頻率響應(yīng)可以表現(xiàn)為實(shí)函數(shù)； 例：設(shè)無限沖激響應(yīng)序列為實(shí)偶序列；其頻率響應(yīng)可表示為