高等數(shù)學：第五章 第1節(jié) 定積分的概念

《高等數(shù)學：第五章 第1節(jié) 定積分的概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學：第五章 第1節(jié) 定積分的概念（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1定積分的概念定積分的概念第一節(jié)第一節(jié)一、問題的提出二、定積分的定義三、存在定理四、定積分的幾何意義五、小結(jié)2abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一、問題的提出)(xfy 3abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）4觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下

2、列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系5求曲邊梯形面積的步驟：求曲邊梯形面積的步驟：abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfA)( 、分割、分割1niiAA1、近似、近似2、求和、求和3niiAA1niiixf1)( 、取極限、取極限4iniixfA10)(lim ),max(nxxx21 上任一點上任一點為為,iiiiiixxxxx11 6實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連

3、續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值71、分割、分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 3、求和、求和iinitvS)( 14、取極限、取極限,max21nttt iniitvS)(lim10 、近似、近似2niiSS1)(1TS)

4、(2TS)(1itS)(itS8上述兩個問題的共性共性:1、解決問題的方法步驟相同 :）取極限。）取極限。）求和，（）求和，（）近似，（）近似，（）分割，（）分割，（4321、極限形式一樣、極限形式一樣2iniixfA10)(lim 曲邊梯形面積：曲邊梯形面積：iniitvS)(lim10 變速直線運動路程：變速直線運動路程：9設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 ii

5、ixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義定義定義10怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積

6、分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和11說明：說明：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.12 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. . 且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則

7、)(xf在在三、存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .badxxfA)(）曲邊梯形面積）曲邊梯形面積（421TTdttVS)(變速直線運動路程變速直線運動路程13,)(,01xfba上上）在）在（ baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義abxyoA)(xfy ,)(,02xfba上上）在）在（)(xfy yxoabA14 dxxfba)(上變號，上變號，在在）若）若（,)(baxf3)(xfy 下方的面積下方的面積軸上方的面積軸上方的面積 x例如例如dxx sin015例例1 1 利用定義計算定積分利用定

8、義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ， (ni, 2 , 1 ) 小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 16nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 17原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xd

9、xix i 例例2 將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分. .18六、小結(jié)定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限19練習與思考題練習與思考題解答：解答： 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0,

10、 1)( 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1, 0)(顯然顯然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可積，但上可積，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可積。上都不可積。例例2020121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix2、用定積分表示下列極限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni區(qū)間不同i取值不同21觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的

11、關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系22觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系23觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系24觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系25觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系26觀察下列演示過程，

12、注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系27觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系28觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系29觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系30觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩

13、形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系31觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系32觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系33觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系34觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系35觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系36觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放