新版高三數(shù)學(xué) 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí)

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2、 1 第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用 訓(xùn)練目標 (1)函數(shù)模型應(yīng)用；(2)審題及建模能力培養(yǎng)． 訓(xùn)練題型 函數(shù)應(yīng)用題． 解題策略 (1)抓住變量間的關(guān)系，準確建立函數(shù)模型；(2)常見函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)模型；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型；y＝ax＋型函數(shù)模型. 1.為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利

3、用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為： y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元． 該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？ 2．某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最

4、低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 3．(20xx·濰坊檢測)在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息)．在甲提供的資料中：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支2 000元． (1)當(dāng)商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除

5、職工最低生活費的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 4.某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完．公司對銷售及銷售利潤進行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系． (1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關(guān)系； (2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若

6、有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由． 5．(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值； (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t

7、. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域； ②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．  答案精析 1．解　設(shè)該單位每月獲利為S元， 則S＝100x－y＝100x－ ＝－x2＋300x－80 000 ＝－(x－300)2－35 000， 因為400≤x≤600， 所以當(dāng)x＝400時，S有最大值－40 000. 故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損． 2．解　(1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48≥2 －48＝32，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時取等號． ∴當(dāng)年產(chǎn)量為200噸時，每噸產(chǎn)品的平均成本最

8、低為32萬元． (2)設(shè)當(dāng)年獲得總利潤為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)， ∴當(dāng)x＝210時，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元． 3．解　設(shè)該店月利潤余額為L， 則由題設(shè)得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，① 由銷量圖易得Q＝ 代入①式得 L＝ (1)當(dāng)14≤P≤20時，Lmax＝450元，此時P＝19.5元； 當(dāng)20

9、

10、＝t≥0， ∴F(t)在[0,20]上是增函數(shù)， ∴F(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)＝6 000<6 300. 當(dāng)200，g(t)是增函數(shù)． 從而，當(dāng)t＝10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時f(t)min＝15. 答　當(dāng)t＝10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米．