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第14練 函數(shù)模型及其應用
訓練目標
(1)函數(shù)模型應用；(2)審題及建模能力培養(yǎng)．
訓練題型
函數(shù)應用題．
解題策略
(1)抓住變量間的關系，準確建立函數(shù)模型；(2)常見函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)模型；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型；y＝ax＋型函數(shù)模型.
1.為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利
3、用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為：
y＝x2－200x＋80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元．
該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
2．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產線年產量最大為210噸．
(1)求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最
4、低成本；
(2)若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
3．(20xx·濰坊檢測)在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉讓費(不計息)．在甲提供的資料中：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關系如圖所示；③每月需各種開支2 000元．
(1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除
5、職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；
(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？
4.某公司研制出了一種新產品，試制了一批樣品分別在國內和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進行調整，結果40天內全部銷完．公司對銷售及銷售利潤進行了調研，結果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內市場的日銷售量與上市時間的關系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關系．
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關系及國內市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關系；
(2)國外和國內的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若
6、有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由．
5．(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型．
(1)求a，b的值；
(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t
7、.
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；
②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．
答案精析
1．解 設該單位每月獲利為S元，
則S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因為400≤x≤600，
所以當x＝400時，S有最大值－40 000.
故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損．
2．解 (1)每噸平均成本為(萬元)．
則＝＋－48≥2 －48＝32，當且僅當＝，即x＝200時取等號．
∴當年產量為200噸時，每噸產品的平均成本最
8、低為32萬元．
(2)設當年獲得總利潤為R(x)萬元，
則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，
∴當x＝210時，R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴當年產量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元．
3．解 設該店月利潤余額為L，
則由題設得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由銷量圖易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)當14≤P≤20時，Lmax＝450元，此時P＝19.5元；
當20
9、
10、＝t≥0，
∴F(t)在[0,20]上是增函數(shù)，
∴F(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)＝6 000<6 300.
當200，g(t)是增函數(shù)．
從而，當t＝10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此時f(t)min＝15.
答 當t＝10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米．
新版高三數(shù)學 第14練 函數(shù)模型及其應用練習
