第二章隨機(jī)變量及其分布22《事件的相互獨(dú)立性》

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1、2.2.2 2.2.2 事件的相互事件的相互獨(dú)立性獨(dú)立性1理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念2能進(jìn)行一些與事件獨(dú)立性有關(guān)的概率的計(jì)算3通過對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用 本課主要學(xué)習(xí)事件相互獨(dú)立性。通過知識(shí)回顧、問題探究引入新課，得到事件相互獨(dú)立概念，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)相互獨(dú)立事件與互斥事件概念的區(qū)別，通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生鞏固概念，由例1、例2、例3問題解決加深對(duì)較為復(fù)雜的實(shí)際問題求概率的解題方法，強(qiáng)調(diào)解決應(yīng)用問題的思想方法與一般步驟。 在概念教學(xué)過程中，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生理解概念、應(yīng)用比較法讓學(xué)生區(qū)分新舊概念的實(shí)質(zhì)突出本節(jié)課重點(diǎn)，采用例題與變式結(jié)合的方法，通過例1、例2、例3問題

2、分析與講解掌握求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率實(shí)際問題的分析、解決問題的思想方法，突破本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)。什么叫做互斥事件？什么叫做對(duì)立事件？?jī)蓚€(gè)互斥事件A、B有一個(gè)發(fā)生的概率公式是什么？若A與A為對(duì)立事件，則P（A）與P（A）關(guān)系如何？不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件互斥事件；如果兩如果兩個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)另一個(gè)必不發(fā)生個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)另一個(gè)必不發(fā)生，這樣的兩個(gè)互斥事件叫對(duì)立事件對(duì)立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1 條件概率 設(shè)事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率。 記作P(B |A).條件概

3、率計(jì)算公式:()()(|)( )( )n ABP ABP B An AP A注意條件：必須 P(A)0 我們知道，當(dāng)事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生有影響時(shí)，條件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有時(shí)事件A的發(fā)生，看上去對(duì)事件B的發(fā)生沒有影響， 比如依次拋擲兩枚硬幣的結(jié)果,拋擲第一枚硬幣的結(jié)果（事件A）對(duì)拋擲第二枚硬幣的結(jié)果（事件B）沒有影響，這時(shí)P(B|A)與P(B)相等嗎？?BA.B, A,3,13發(fā)生的概率嗎發(fā)生的概率嗎的發(fā)生會(huì)影響事件的發(fā)生會(huì)影響事件事件事件最后一名同學(xué)抽到獎(jiǎng)券最后一名同學(xué)抽到獎(jiǎng)券為為事件事件抽到獎(jiǎng)券抽到獎(jiǎng)券第一名同學(xué)沒有第一名同學(xué)沒有為為事件事件同學(xué)有放回地抽

4、取同學(xué)有放回地抽取名名現(xiàn)分別由現(xiàn)分別由張能中獎(jiǎng)張能中獎(jiǎng)張獎(jiǎng)券中只有張獎(jiǎng)券中只有思考思考 .BPAPA|BPAPABP,BPA|BP,31,.AB顯然 有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí) 最后一名同學(xué)也是從原來的 張獎(jiǎng)券中任取 張 因此第一名同學(xué)抽的結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒有影響 即事件的發(fā)生不會(huì)影響事件 發(fā)生的概率于是1 1、事件的相互獨(dú)立性、事件的相互獨(dú)立性相互獨(dú)立事件及其同時(shí)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件及其同時(shí)發(fā)生的概率設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B 相互獨(dú)立。即事件A（或B）是否發(fā)生,對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事

5、件叫做相互獨(dú)立事件。如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B是不是相互獨(dú)立的？注：注：區(qū)別：區(qū)別：互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同概念：兩個(gè)事件互斥是指這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響。相互獨(dú)立2、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：“第一個(gè)同學(xué)沒抽到獎(jiǎng)劵、第三個(gè)同學(xué)抽到獎(jiǎng)劵第一個(gè)同學(xué)沒抽到獎(jiǎng)劵、第三個(gè)同學(xué)抽到獎(jiǎng)劵”是一個(gè)事件，它的發(fā)生就是事件A,B同時(shí)發(fā)生，將它記作AB 這就是說，兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，這就是說，兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件的概率的積。等于每個(gè)事件的概率的積。 一般地，如果事件A1，

6、A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P P（A A1 1A A2 2A An n）=P=P（A A1 1）P P（A A2 2）P P（A An n）兩個(gè)相互獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生,即事件AB發(fā)生的概率為：)()()(BPAPBAP 判斷事件A, B 是否為互斥, 互獨(dú)事件? 1.籃球比賽 “罰球二次罰球二次” . 事件A表示“ 第1球罰中”, 事件B表示“第2球罰中”.2.籃球比賽 “1+11+1罰球罰球” ” . 事件A表示 “ 第1球罰中”, 事件B表示 “第2球罰中”.3.袋中有4個(gè)白球, 3個(gè)黑球, 從袋中依次取2球.事件A:“取出的是白球”

7、.事件B:“取出的是黑球”. ( 不放回抽取)4.袋中有4個(gè)白球, 3個(gè)黑球, 從袋中依此取2球.事件A為“取出的是白球”.事件B為“取出的是白球”. ( 放回抽取)A與B為互獨(dú)事件A與B不是互獨(dú)事件也非互斥事件A與B為互獨(dú)事件A與B為非互獨(dú)是互斥事件例1 某商場(chǎng)推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券。獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)。如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05 ,求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定號(hào)碼；（2）恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；（3）至少有一次抽到某一指定號(hào)碼。 11,2,.,.,ABABAB記第 次 抽 獎(jiǎng) 抽 到

8、 某 一 指 定 號(hào) 碼為 事 件第次 抽 獎(jiǎng) 抽 到 某 一 指 定 號(hào) 碼為 事 件則兩 次 抽獎(jiǎng) 都 抽 到 某 指 定 號(hào) 碼就 是 事 件由 于 兩 次 抽 獎(jiǎng) 結(jié)果 互 不 影 響 因 此與相 互 獨(dú) 立 于 是 由 獨(dú) 立 性 可 得兩 次 抽 獎(jiǎng) 都 抽 到 某 一 指 定解號(hào) 碼 的 概 率 BPAPABP.0025.005.005.0 所求的概率為獨(dú)立事件定義根據(jù)概率加法公式和互斥與由于事件表示可以用某一指定號(hào)碼兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到,BABA.BABA2 BPAPBPAPBAPBAP .095.005.005.0105.0105.0 所求的概率為立事件定義根據(jù)概率加法公式和

9、獨(dú)斥兩兩互和由于事件表示可以用到某一指定號(hào)碼兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽,BABA,AB.BABAAB2.0975.0095.00025.0BAPBAPABP?為什么為什么獎(jiǎng)概率的兩倍嗎獎(jiǎng)概率的兩倍嗎概率是一次開獎(jiǎng)中概率是一次開獎(jiǎng)中二次開獎(jiǎng)至少中一次的二次開獎(jiǎng)至少中一次的思考思考例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人 擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰由1人擊中目標(biāo)的概率（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率解：(1) 記“甲射擊1次,擊中目標(biāo)”為事件A.“乙射 擊1次,擊中目標(biāo)”為事件B.答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36.且A與B相互獨(dú)立，又A與B各射擊1次,都

10、擊中目標(biāo),就是事件A,B同時(shí)發(fā)生，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式,得到P(AB)=P(A) P(B)=0.60.60.36 例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：(2) 其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率？解：“二人各射擊1次，恰有1人擊中目標(biāo)”包括兩種情況:一種是甲擊中, 乙未擊中（事件 ）另一種是甲未擊中，乙擊中（事件B發(fā)生）。BA48. 024. 024. 06 . 0)6 . 01 ()6 . 01 (6 . 0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率是BA根據(jù)題意，這兩種情況

11、在各射擊1次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件B與 互斥，例2 甲、乙二人各進(jìn)行1次射擊比賽，如果2人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，計(jì)算：（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.解法1:兩人各射擊一次至少有一人擊中目標(biāo)的概率是84. 048. 036. 0)()()(BAPBAPBAPP解法2：兩人都未擊中的概率是84. 016. 01)(1,16. 0)6 . 01 ()6 . 01 ()()()(BAPPBPAPBAP目標(biāo)的概率因此，至少有一人擊中答：至少有一人擊中的概率是0.84.例3 在一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開開關(guān)，只要其中有1個(gè)開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)閉合的概率都

12、是0.7,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率. 由題意，這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響。027. 0)7 . 01)(7 . 01)(7 . 01 ()(1)(1)(1 )()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP所以這段事件內(nèi)線路正常工作的概率是973. 0027. 01)(1CBAP答：在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率是0.973.CBAJJJ、解：分別記這段時(shí)間內(nèi)開關(guān) 能夠閉合為事件A,B,C. 根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法式這段時(shí)間內(nèi)3個(gè)開關(guān)都不能閉合的概率是 1、分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)A是事件“第1枚為正面”，B是事件“第2枚為正面”，C是事件“2枚結(jié)果相同”

13、。問：A，B，C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？ 2、在一段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨相互之間沒有影響，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)：（1）甲、乙兩地都下雨的概率；（2）甲、乙兩地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某戰(zhàn)士射擊中靶的概率為0.99.若連續(xù)射擊兩次. 求: (1) 兩次都中靶的概率; (2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率; (4)目標(biāo)被擊中的概率.分析: 設(shè)事件A為“第1次射擊中靶”. B為“第2次射擊中靶”. 又A與B是

14、相互獨(dú)立的. （1）“兩次都中靶” 是指 “事件A發(fā)生且事件B發(fā)生” 即AB P( AB）= P（A）P（B）（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) （3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (不中,不中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) （4）“目標(biāo)被擊中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 AB + AB+ AB. 求 P(AB + AB+ AB) 解題步驟：1.用恰當(dāng)?shù)淖帜笜?biāo)記事件,如“XX”記為A, “YY”記為B.2.理清題意, 判斷各事件之間的關(guān)系(等可能;互斥;互獨(dú); 對(duì)立). 關(guān)鍵詞 如“至多” “至少” “同時(shí)” “恰有”.求“至多” “至少”事件概率時(shí),通?？紤]它們的對(duì)立事件的概率.3.尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系. “所求事件” 分幾類 (考慮加法公式, 轉(zhuǎn)化為互斥事件) 還是分幾步組成(考慮乘法公式, 轉(zhuǎn)化為互獨(dú)事件) 4.根據(jù)公式解答求較復(fù)雜事件概率正向反向?qū)α⑹录母怕史诸惙植絇(A+B)= P(A) + P (B)P(AB)= P(A) P (B)( 互斥事件)( 互獨(dú)事件)獨(dú)立事件一定不互斥獨(dú)立事件一定不互斥. .互斥事件一定不獨(dú)立互斥事件一定不獨(dú)立. .