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1、第六節(jié) 廣義積分審斂法
判定一個廣義積分的收斂性,是一個重要的問題. 當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來,或者求原函數(shù)的計算過于復(fù)雜時,利用廣義積分的定義來判斷它的收斂性就不適用了. 因此,我們需要其它方法來判斷廣義積分的收斂性.
分布圖示
★ 無窮限廣義積分的審斂法
★ 比較審斂原理 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 絕對收斂 ★ 例6 ★ 例7
★ 無界函數(shù)廣義積分的比較審斂原理
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ -函數(shù)
2、 ★ -函數(shù)的幾個重要性質(zhì)
★ 例11 ★ 例12
★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 習(xí)題5-6
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內(nèi)容要點
一、無窮限廣義積分的審斂法
二、無界函數(shù)的廣義積分審斂法
三、函數(shù)： 定義 性質(zhì)
例題選講
無窮限廣義積分的審斂法
例1 (E01) 判別廣義積分的斂散性.
解 因為這里故由推論1知，題設(shè)廣義積分收斂.
例2 (E02) 判別廣義積分的斂散性.
解 因為這里故由推論2知，題設(shè)廣義積分收斂.
例3
3、判別廣義積分的斂散性.
解 因為 故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散.
例4 (E03) 判別廣義積分的斂散性.
解 因為當(dāng)時， 故由推論1知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 .
例5 (E04) 判別廣義積分的斂散性.
解 因為 故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 .
例6 判別廣義積分的收斂性，其中都是常數(shù)，且
解 而收斂 .
收斂，故題設(shè)廣義積分收斂 .
例7 (E05) 判別廣義積分.
解 由于而收斂，故收斂，即
絕對收斂 .
無界函數(shù)的廣義積分審斂法
例8 (E06) 判別廣義積分的收斂性.
解 被積函數(shù)在點的右鄰域內(nèi)無界.又由洛必達法則知
故根據(jù)推論4知，題設(shè)廣義積分發(fā)散.
例9 判別廣義積分的收斂性.
解 因為而收斂，根據(jù)比較審斂原理知，
廣義積分收斂，從而題設(shè)廣義積分也收斂.
例10 (E07) 判別廣義積分的收斂性.
解 由于是的瑕點，且
所以，當(dāng)即時，題設(shè)廣義積分收斂 ;當(dāng)即時，題設(shè)廣義積分發(fā)散 .
例11計算下列各式的值:
解 由公式得:
由公式得:
例12 計算下列廣義積分:
(1)
(2) 已知計算
(3)
解
令則于是
令則于是
高等數(shù)學(xué)備課教案：第五章 定積分 第六節(jié)廣義積分審斂法
