高等數(shù)學(xué)：第五章 習(xí)題課

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1、2問(wèn)題問(wèn)題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問(wèn)題問(wèn)題2:2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計(jì)算法計(jì)算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容31 1、問(wèn)題的提出、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的面積A）iniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.dxxfba)(4實(shí)例實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路

2、程）iniitvs )(lim10 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 S.方法方法:分割、求和、取極限分割、求和、取極限.dttvTT21)(52 2、定積分的定義、定積分的定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干個(gè)分點(diǎn)若干若干個(gè)分點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2

3、, 1( i，在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)一點(diǎn)i （iix ），），定義定義,12110nnxxxxxx 6怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和S總總趨趨于于確定的極限確定的極限I，在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，記為記為記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba我們稱這個(gè)極限我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)為函數(shù))(xf作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i點(diǎn)點(diǎn)i 怎怎樣樣并并作作和和iinixfS )(1 ，7可積的兩個(gè)可積的兩個(gè)條件：條

4、件： 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1定理定理2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積.3 3、存在定理、存在定理84 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為常數(shù)為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)39 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如果

5、在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)410如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上上的的

6、最最大大值值及及最最小小值值，積分中值公式積分中值公式115 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).12定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)

7、是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個(gè)原函數(shù)，則上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于上的定積分等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明表明baba136 6、定積分的計(jì)算法、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv14、廣義積分、廣義積分(1)無(wú)窮限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 adxx

8、f)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分時(shí)，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. bdxxf)( baadxxf)(lim15(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分時(shí)，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim016例例1 1解解.2sin120 d

9、xx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例題二、典型例題17例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ設(shè)設(shè),220 dxJI則則 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即18例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262si

10、ncosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 19例例4 4. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln2123ln2320例例5 5.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù),dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 21例例6 6.)()(,)(1020212dxxfxdyexfxyy求求設(shè)設(shè)解解1002221dxdyexxyy)(原式原式10231002322

11、131131dxexdyexxxxyy)()(10211211612)()()(xdexxux 2)1(令令016duueeu).2(61e22例例7 7.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)證證, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左邊左邊,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(23dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdx

12、xxxf 24例例8 8.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù),)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf250)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即269例設(shè)

13、 、 在 區(qū)間上均連續(xù)，證明： )(xf)(xg,babababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222(柯西-施瓦茨不等式) 證明：)()()(xgxfx令0)()()(2)()(2222xgxgxfxfx0)(2dxxba0)()()(2)(222dxxgdxxgxfdxxfbababa即即對(duì)的二次三項(xiàng)式講， 從而 有 027bababadxxgdxxfdxxgxf)()(4)()(4222bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(22228例例1010.123)2(;94) 1 (:2122xxxdxxxdx求下列廣義積分解解 (1)02029494xxdxxx

14、dx原式bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim.529(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕點(diǎn)的瑕點(diǎn)為為xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 30nininin112lim11求極限例 解解： ninininininininn111211221110112121221lnlimlimdxnnxnininninin而而2112121111lnlimlimlimnnnnninin

15、nninin21121lnlimnininin3112例設(shè)設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明 )(ufaaxdxxaxfxdxxaxf121222)()()(1a 證明證明： tx 2令令tdtdxtx2,tdttatfxdxxaxfaa212122221)()(221221aaatdttatftdttatf)()(對(duì)后一積分，令對(duì)后一積分，令 tau2duuadt221222222aaaduuaauuuaftdttatf)()()(uduuaufa12)(32aaaaxdxxaxfuduuauftdttatfxdxxaxf121212122221)()()()(220422132edxee

16、xx證明例證明： ,)(xxexf2令令)()(122xexfxx,)(0 xf由由,21x得得,)(,)(,)(24212110efeff而而,)(24120eexf最大值最大值上有最小值上有最小值在在故故2202202044222edxedxeedxexx從而從而33 例14 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上可導(dǎo)，且 )()(12210fdxxxf試證在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至上存在一點(diǎn) 使使)()( ff1:證明證明)()(xxfxF設(shè)設(shè)01)()()()( ffff,)(上用積分中值定理上用積分中值定理在在對(duì)對(duì)210210dxxxf)()(1121021 fdxxxf,2101 34)()(

17、)()()(111210211 FfdxxxffF故故在區(qū)間 上F(x)滿足羅爾定理的條件， ,11 因此存在 ),(),(1011 0)( F使使,)()(0 ff即即)()( ff1, 0, 0)(, 1 , 0)(15 xfxf上連續(xù)在設(shè)例試證明不等式： 1011)()( fdxxf 證明： 由泰勤公式200002)()()()()(xxfxxxfxfxf （介于 之間） xx ,035,)(0 xf)()()(000 xxxfxfxf,110 xxx取取)()()(111111 xffxfdxxfdxfdxxf)( )()()(111111101010 )()()(1111111110

18、 fdxxff)()()()(111111111111 ffff36一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （A A）0； （B B）21； （C C）4 ； （D D）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （A A）)1ln(2 x； （B B）)1ln(2 t； （C C）)1ln(22 xx； （D D）)1ln(22 tt . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題373 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) ) （A A）0； （B B）1； （C C）31； （D D） . .4 4. .、定積分、定積分 10

19、dxex的值是的值是（ ） （A A）e； （B B）21； （C C）21e； （D D）2 . .385 5、下列積分中，使用變換正確的是、下列積分中，使用變換正確的是（） （A A）,sin103 xdx令令 txarctan ； （B B） 30321dxxx，令，令 txsin ； （C C） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （D D） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下列積分中，值為零的是、下列積分中，值為零的是（ ） （A A） 112dxx； ( (B B） 213dxx； （C C） 11dx； （D D） 112sin xdxx . .3

20、97 7、 已知已知5)2(,3)2(,1)0( fff, , 則則 20 )(dxxxf（ ） （A A）1212； （B B）8 8； （C C）7 7； （D D）6 6. . 8 8、設(shè)、設(shè) 0,110,11)(xexxxfx，則定積分，則定積分 20)1(dxxf = =（ ）（A A）)11ln(1e ； （B B）3ln)1ln(22 e；（C C）2ln)11ln(1 e; ; （D D）)11ln(1e . .409 9、廣義積分、廣義積分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）發(fā)散）發(fā)散. .1010、廣義積分、廣

21、義積分 20234xxdx（ ） （A A）3ln1 ； （B B）32ln21； （C C）3ln； （D D）發(fā)散）發(fā)散. .41二、證明不等式二、證明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的為為確定確定xy 函數(shù)，求函數(shù)，求dxdy. .42四、求下列定積分：四、求下列定積分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5

22、 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .43五、五、 設(shè)設(shè) 1,0)(在在xf上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,試證：試證： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 設(shè)設(shè))(xf在在00，11上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明： 10 10)()1(21)1()0(21)(dxxfxxffdxxf. .44一、一、1 1、C C； 2 2、A A； 3 3、C C； 4 4、D D； 5 5、C C； 6 6、D D； 7 7、B B； 8 8、A A； 9 9、C C； 10 10、D.D.三、三、1 1、81221213xxxx ； 2 2、2sin22xey . .四、四、1 1、34ln2； 2 2、4 ； 3 3、334 ； 4 4、371； 5 5、1 1； 6 6、5 ； 7 7、43arcsin2 ； 8 8、 . .測(cè)驗(yàn)題答案測(cè)驗(yàn)題答案