3、∩D=?,B∪D=I,故B與D互為對立事件.
答案 A與B,A與C,B與C,B與D B與D
4.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,A=30°,若將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所得的點數(shù)分別為a、b,則滿足條件的三角形有兩個解的概率是________.
解析:要使△ABC有兩個解,需滿足的條件是因為A=30°,所以滿足此條件的a,b的值有b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5,共6種情況,所以滿足條件的三角形有兩個解的概率是=.
答案:
5.某單位從4名應聘者A,B,C,D中招聘2人,如果這4名應聘者被
4、錄用的機會均等,則A,B兩人中至少有1人被錄用的概率是________.
解析 四人中任選2人,所有可能方式共6種,分別為:AB、AC、AD、BC、BD、CD,其中A、B中至少1人被錄取的有5種方式,概率為.
答案
6.從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù),則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是________.
解析 取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況,則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P=1-=.
答案
7.一只袋子中裝有7個紅玻璃球,3個綠玻璃球,從中無放回地任意抽取兩次,每次只取一個,取得兩個紅球的概率為,取得兩個綠球的概率為,則取得兩個同顏色的球的概率為_____
5、___;至少取得一個紅球的概率為________.
解析 (1)由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件,取得兩個同色球,只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可,因而取得兩個同色球的概率為P=+=.
(2)由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件,則至少取得一個紅球的概率為P(A)=1-P(B)=1-=.
答案
8.甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風,在同一時刻,甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75,則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為________.
解析 由對立事件的性質(zhì)知在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為1-(1-0.8)(1-
6、0.75)=0.95.
答案 0.95
9.把一個體積為27 cm3的正方體木塊表面涂上紅漆,然后鋸成體積為1 cm3的27個小正方體,現(xiàn)從中任取一塊,則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為________.
解析 由于“至少有一面涂有紅漆”的對立事件是“每個面都沒有紅漆”,只有中心一塊如此,故所求概率為P=1-=.
答案
10. 某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組,3個小組分別有39、32、33個成員,一些成員參加了不止一個小組,具體情況如圖所示.
現(xiàn)隨機選取一個成員,他屬于至少2個小組的概率是________,他屬于不超過2個小組的概率是________.
解析 “至
7、少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況,故他屬于至少2個小組的概率為
P==.
“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”,其對立事件是“3個小組”.
故他屬于不超過2個小組的概率是
P=1-=.
答案
二、解答題
11.由經(jīng)驗得知,在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下:
排隊人數(shù)
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:(1)至多2人排隊的概率;
(2)至少2人排隊的概率.
解 記“沒有人排隊”為事件A,“1人排隊”為事件B,“2人排隊”為事件C,A、B、C彼此
8、互斥.
(1)記“至多2人排隊”為事件E,則P(E)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)記“至少2人排隊”為事件D.“少于2人排隊”為事件A+B,那么事件D與事件A+B是對立事件,則P(D)=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74.
12.根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延誤天數(shù)Y
0
2
6
10
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于30
9、0,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求:
(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;
(2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.
解 (1)由已知條件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)
=0.9-0.7=0.2,
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列為
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,E(Y
10、)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.
(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===,
故在降水量X至少是300 mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是.
13.分期付款購買某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期
11、數(shù)ξ的概率分布為
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.
(1)求事件A:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的概率分布及數(shù)學期望E(η).
解 (1)設購買該商品的3位顧客中采用1期付款的人數(shù)為X,則P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-P(X=0)=1-C×0.63=0.784.
(2)η的概率分布為
η
200
250
12、
300
P
0.4
0.4
0.2
∴E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.
14.班級聯(lián)歡時,主持人擬出了如下一些節(jié)目:跳雙人舞、獨唱、朗誦等,指定3個男生和2個女生來參與,把5個人分別編號為1,2,3,4,5,其中1,2,3號是男生,4,5號是女生,將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上,并放入一個箱子中充分混合,每次從中隨機地取出一張卡片,取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目.
(1)為了選出2人來表演雙人舞,連續(xù)抽取2張卡片,求取出的2人不全是男生的概率;
(2)為了選出2人分別表演獨唱和朗誦,抽取并觀察第一張卡片后,又放回箱子中,充分混合后再從中抽
13、取第二張卡片,求:獨唱和朗誦由同一個人表演的概率.
解 (1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結(jié)果(如圖所示).
由上圖可以看出,試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為20,每次都隨機抽取,這20種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,試驗屬于古典概型.
用A1表示事件“連續(xù)抽取2人,一男一女”,A2表示事件“連續(xù)抽取2人,都是女生”,則A1與A2互斥,并且A1∪A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片,取出的2人不全是男生”,由列出的所有可能結(jié)果可以看出,A1的結(jié)果有12種,A2的結(jié)果有2種,由互斥事件的概率加法公式,可得P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=+==0.7,即連續(xù)抽取2張卡片,取出
14、的2人不全是男生的概率為0.7.
(2)有放回地連續(xù)抽取2張卡片,需注意同一張卡片可再次被取出,并且它被取出的可能性和其他卡片相等,我們用一個有序?qū)崝?shù)對表示抽取的結(jié)果,例如“第一次取出2號,第二次取出4號”就用(2,4)來表示,所有的可能結(jié)果可以用下表列出.
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3[
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)[
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為25,并且這25種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,試驗屬于古典概型.
用A表示事件“獨唱和朗誦由同一個人表演”,由上表可以看出,A的結(jié)果共有5種,因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率是P(A)===0.2
高考數(shù)學復習精品
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